高中数学学业分层测评20(含解析)北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题

..学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【剖析】点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P到直线x＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，吻合抛物线的定义，故点P的轨迹是抛物线．【答案】D22．已知双曲线方程为x2－y4＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L( )A．4条B．3条C．2条D．1条22y【剖析】因为双曲线方程为x－＝1，因此P(1,0)是双曲线的右极点，因此过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，别的还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，因此吻合要求的共有3条．【答案】B3．已知抛物线y2＝2px(＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于，B两点，若pA线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2pp【剖析】抛物线的焦点F，0，因此过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－2，即2＝p2＝2p＝2＋2，x＋，将其代入y＝2pxpy＋py22py因此y2－2py－p2＝0，1＋2因此yy＝p＝2，2因此抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.【答案】B4．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为()DOC版...A．1B．2C．3D．4【剖析】由22－2＝2得2y222与两支订交时需||≥2xyx－＝1，∴a＝1，＝2，当直线l2bABa2b2＝2.由|AB|＝4可得直线l有两条；当直线l只与右支订交时，需|AB|≥a＝4，由|AB|＝4可得直线l只有1条．综上，吻合题意的直线l共有3条．【答案】Cx2y2y＝x25．设双曲线a2－b2＝1的一条渐近线与抛物线＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()5A.4B．55D．5C.2【剖析】设双曲线的渐近线方程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x2＋1相切，联立方y＝kx，22b程得y＝x2＋1，整理得x－kx＋1＝0，则＝k－4＝0，解得k＝±2，即a＝2，故双曲ca2＋b2b2线的离心率e＝a＝a2＝1＋a＝5.【答案】D二、填空题6．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________．【剖析】联立方程组得y＝x＋4，消去y得x2－(＋4)2＝1，则x＝－17，代入x2－y2＝1，x815y＝x＋4得y＝8.221715故直线y＝x＋4与双曲线x－y＝1的交点坐标为－，8.8【答案】－17158，87．已知直线l过点(0,2)且与椭圆2＋22＝2只有一个公共点，则直线l的方程为Pxy____________．【导学号：32550096】【剖析】当直线l斜率不存在时，方程为x＝0，与椭圆x2＋2y2＝2有两个公共点，舍去；DOC版...当直线l斜率存在时，设方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x2＋2(kx＋2)2＝2，整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，由＝64k2－4×6×(2k2＋1)＝0，解得k＝±6.266【答案】y＝2x＋2或y＝－2x＋28．已知抛物线y2＝4x，过点Q(4,0)的直线与抛物线订交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值是________．2＝4，得x2－(8＋4t2)x【剖析】设直线AB的方程为ty＝x－4(t∈R)，由ty＝x－4，2224＋x2＝8＋4t222＋＋16＝0，＝(8＋4t)－4×16＝64t＋16t≥0，∴x1≥8，∴y1＋y2＝4(x1x2)≥32.【答案】32三、解答题9．已知双曲线C：2x2－y2＝2与直线l上一点P(1,2)．求直线l的斜率k为何值时，l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点？【解】设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，代入C的方程，并整理得22k2(2－k)x＋2(2k)x－k2＋4k－6＝0，当k＝±2时，方程组有唯一解．3当k≠±2时，由＝0，得k＝2.3因此当k＝±2或k＝2或k不存在时，l与C只有一个交点．如图，当2＜32或－2＜＜2时，l与C有两个交点．＜或＜－23当k＞2时，l与C无交点．x2y2F，F，过F且倾斜角为45°的直线l与32121椭圆订交于A，B两点．求AB的中点坐标；求△ABF2的周长与面积．DOC版...x2y2【解】(1)由3＋2＝1，知a＝3，b＝2，c＝1.∴1(－1,0)，2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，FFx2y2联立3＋2＝1，消去y得5x2＋6x－3＝0.y＝x＋1，1122001261230＝x1＋x2＝设A(x，y)，B(x，y)，AB中点M(x，y)，则x＋x＝－5，xx＝－5，x23y＋y2x＋1＋x＋1x＋x22321121＝x0＋1＝－＋1＝)，∴中点坐标为－，y0＝2＝2＝＋1＝(或y0525552M－5，5.(2)由题意知，2到直线的距离＝|1－0＋1|＝2＝2，FABd12＋122|AB|＝2·x＋x2x83k2x＝，l1122118346，∴S△ABF＝2|AB|d＝2×5×2＝5∴△ABF的周长＝4a＝43.2[能力提升]1．曲线x2＋4y2＝52与x2＋y2＝37的交点个数是()A．4B．3C．2D．1【剖析】将方程x2＋4y2＝52与x2＋y2＝37相减可得3y2＝15，则y有两个值，依据任何一个曲线方程可知y的一个值对应两个x值，因此，两曲线共有4个交点．【答案】A2．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交CC于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()3393A.4B．8639C.D．324333【剖析】由已知得F4，0，故直线AB的方程为y＝tan30°·x－4，即y＝3x3.4DOC版...y＝3－3①1122)，联立3x4设A(x，y)，B(x，yy2＝3x②127321将①代入②并整理得3x－2x＋16＝0，∴x1＋x2＝2，3∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋2＝12.3到直线AB的距离为d＝43又原点(0,0)1＝8.3＋11139S△OAB＝2|AB|d＝2×12×8＝4.【答案】D22y3．已知双曲线x－＝1，过P(2,1)点作素来线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．【剖析】法一：显然直线AB存在斜率，设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB方程为y－1＝k(x－2)，由y＝kx－2＋1，22yx－＝1，2222得(3－k)x＋(4k－2k)x－4k＋4k－4＝0，2k－4k2∴x1＋x2＝3－k2＝4，∴k＝6.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，222y1＝2y21212两式相减得(1－2)(1＋2)＝1－y212xxxx3显然x1－x2≠0，y1－y23x1＋x2＝6，即kAB＝6.∴x1－x2＝y1＋y2【答案】6x2y24．已知点A(1,2)在椭圆16＋12＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋DOC版...2|PF|最小．【解】∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，