第七章向量与空间解析几何-第三节

上一页下一页上一页下一页 二三一、曲面方程的图形例方程

M0(x0

y0,z0

R即

M(

y,

依题意(x(xx0)2(yy0)2(zz0(x

(y

(z

z0

特别,当M0x2

y2

R2zoMMxzoMMxyR2x2y2

表示上(下)球面x2

y2

2x

4

0表示怎样解配方得

M0

0),5半径 5说明:如下形式的三元二次方程(A0其图形可能是一个球面,或点,或虚轨迹.上一页下一页上一页下一页1、空间直线的一般方z定义空间直线可看成两平面的交线z1

B1

C1zD1 12

B2

C2zD2Ax

B1yB

C1zD1 CzD 空间直线的一般方2、空间直线的对称式方程与参数方方向向量的定义z如果一非零向量平行 一条已知直线，这个向量为这条直线的方向向量

M0M0(x0

y0,z0

M(

y, M

M0M// s{m,

M0

{x

x0,y

y0,z

z0xx0yy0z

直线的对称式方 令xx0

y

zz0npmnpxyy

x0mty0nt

直线的一组方向方向向量的余弦称zz 直线的方向余弦zz0直线的参数方例1用对称式方程及参数方程表xy

1.2x

y3z4解

s即可,令x0

z0=同理，令x1=0，代入题中方程组，y1 z= 即点

与点B(13在直线上 AB取sAB2x1yz2 x1yt参数方程 ytz 2z2一直线过点A(2,3,4)，且y轴垂直相 因为直线和y轴垂直相交所以交点

s

0,所求直线方

x22

y30

z44定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角L1

xx1m

yy1

zz1p L2

xx2m

yy2

zz2p |mmnn|mmnn122m2n2p2111m2n2p222 两直线的夹角公两直线的位置关系

L1

m1

n1n2

p1

(2)

L2mm

p1例如

L1

L2

s1

即L1L2例3求过点(325)且与两平面x4z32x

y

1的交线平行的直线方程解设所求直线的方向向

s{m,

根据题意

sn1

sn2 s

n1

所求直线的方

x34

y23

z514求过点M(2,1,3)且与直线x13

y1 解先作一过点M且与已知直线垂直的平面

2)

1)(z

3)再求已知直线与该平面的交点令x13

y12

yy

t

代入平面方程

t37

N(27

,13,3) 取所求直线的方向向量为MN{27

2,137

7

{7

,67

7所求直线方程

x2y1z3 4、直线与平面的夹定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．02L

m

yy0

zz0p

s{m,

Ax

ByCz

D

n{

B,C(s,

2

(s,

2sin

cos2

cos2

.sin

|Am

A2B2CA2B2C2m2n2p2直线与平面的位置关系

L

AB

Cp(2)

Am

Bn

例5设直线L:x1 y

z2:x

y

3，求直线与平面的夹角 n

s{2,1,A2A2B2C2m2n2p2

|Am

|12

(1)(1)6969

22| 636

为所求夹角三、平面及其方znM0Mo1、平面的znM0Mo如果一非零向量垂于一平面，这向量就叫该平面的法线向量 x法线向量的特征：垂直于平面内的任一

{

B,C},

M0(x0

y0

z0设平面上的任一点

M(

y,z)必有M0MnM0Mn M0

{x

x0,y

y0,z

z0 A(x

x0)

B(y

y0)

C(z

z0)平面的点法式方其中法向

n{A,B,C

已知

(x0

y0

z0平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．1求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)C(0,2,3)的平面方程

取n

AB

所求平面方程14x

y

z 化简

14x

9y

z15

y

73x

2y12z5

0的平面方程

n2

{3,取法向

n

n2

{10,15,所求平面方程10

1)(15y

z 化简得2x

3y

z62由平面的点法式方A(x

x0)

B(y

y0)

C(z

z0)(Ax0By0Cz0(Ax0By0Cz0Ax

ByCz

D

平面的一般方法向

n{A,B,C平面一般方程的几种特殊情况

D

平面通过坐标原点(2)

A

DDD

平面通过x轴；平面平行于x轴；类似地可讨

B

C

情形(3)

A

平面平行于

坐标面类似地可讨

A

B

0情形3设平面过原点及点(6,3,2)，且4x

y

8垂直，求此平面方程解设平面

Ax

ByCz

D由平面过原点

D6A3B6A3B2C

4A

B2CAB

2C3所求平面方程

2x

2y

4设平面与x,yz三轴分别交于P(a,0,0)Q(0,b,0)、R(0,0c)（其中求此平面方程

0，b

0

0解设平面为Ax

ByCz

DaAD将三点坐标代入

bBDDADa

BDb

CDc将A

Da

BDb

CDc代入所设方程xyz

平面的截距式方x轴上截 5求平行于平面6x

y6z5

0而与三个解设平面

xyz 1

ooV

3

x由所求平面与已知平1b1c1b1c（向量平行的充要条件

a 化简

111,

1

11t a1

b1,

c1

代入体积1

16

1

t16a

b

c所求平面方程

6x

y

定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的（1 21

B1

C1z

A2x

B2

C2z

n1n2

A2,B2,C2按照两向量夹角余弦|A1|A1A2B1B2C1C2A2B2C211A2B221222两平面夹角余弦公两平面位置特征

12

(2)

1

2

B1

C1C2例6研究以下各组里两平面的位置

x

2y

z1

y

1(2)

2x

y

1

4x

2y

1

2x

y

1

4x

2y

2z2

cos

2222

两平面相交，夹角

(2)

n1

n2

{4,

1 1

两平面平 两平面平行但不重合(3)

1

1

两平面平

1两平面重合例7设P0x0

y0

z0)是平面Ax

ByCz

DnN外一点，求nN

z1)d|PrjnP1P0Pr

n0

{x0

x1,y0

z1A2B2CA2B2C

A2A2B2CA2B2C,Pr

P1

A(x0A(x0x1A2B2CB(y0y1A2B2CC(z0z1A2B2CAx0Ax0By0Cz0(Ax1By1Cz1A2B2CAx1

Cz1

D

(

)Ax0By0Cz0Ax0By0Cz0DA2B2C2 d

D|A2B2A2B2C上一页下一页上一页下一页平面的方

点法式方程一般方程截距式方程（熟记平面的几种特殊位置的方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程两直线的夹角

（注意两直线的位置关系直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系上一页下一页上一页下一页思考若平面x

ky

02x

3y

0的夹4

，求k上一页