2022-2023学年人教A版必修第一册 3-2-1-2 最大(小)值 学案

第2课时最大(小)值[新课程标准][新学法解读]借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义.通过图象经历函数最值的抽象过程，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.[笔记教材]知识点一最大值1．定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)________M；(2)∃x0∈I，使得________．那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．答案：(1)≤(2)f(x0)＝M2．几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最________点的________坐标．答案：高纵知识点二最小值1．定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)________M；(2)∃x0∈I，使得________．那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．答案：(1)≥(2)f(x0)＝M2．几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最________点的________坐标．答案：低纵[自我排查]1．函数f(x)＝eq\f(1,x)－2x在区间[1,2]上的最小值是()A．－eq\f(7,2) B.eq\f(7,2)C．1 D．－1答案：A解析：函数f(x)在[1,2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝eq\f(1,2)－2×2＝－eq\f(7,2).故选A.2．函数f(x)＝x－2，x∈{0,1,2,4}的最大值为________．答案：2解析：f(x)max＝f(4)＝4－2＝2.3．已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．答案：[－3,1]2－3图象法求函数的最值[典例1]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x＞1，))求f(x)的最大值、最小值．解：作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1，当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0.故f(x)的最大值为1，最小值为0.[巧归纳]1．分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值．2．如果函数的图象容易作出，画出函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．[练习1]函数y＝|x－1|＋|x|，x∈[a,2]的最大值为3，则a的取值范围为________．答案：[－1,2)解析：函数式可化为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x，x＜0，,1，0≤x≤1，,2x－1，x>1.))函数图象如图所示．因为x∈[a,2]时最大值为3，又当x＝－1时，y＝3，当x＝2时，y＝3.由图知a的取值范围是[－1,2).利用单调性求函数的最值[典例2]已知函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．解：(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．证明：设任意x1，x2，满足3≤x1＜x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,x1＋1)－eq\f(2x2－1,x2＋1)＝eq\f(2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[3,5]上是单调递增的．(2)由(1)可知函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[3,5]上是增函数，∴f(x)min＝f(3)＝eq\f(2×3－1,3＋1)＝eq\f(5,4)，f(x)max＝f(5)＝eq\f(2×5－1,5＋1)＝eq\f(9,6)＝eq\f(3,2).[巧归纳]利用函数的单调性求最值，一般并不证明函数的单调性，而应该熟练掌握一些常见函数的单调性，比如：(1)y＝kx＋b的单调性；(2)y＝eq\f(k,x)的单调性；(3)y＝ax2＋bx＋c的单调性；(4)y＝x＋eq\f(k,x)的单调性．若熟练掌握这些函数的单调性后，再求其最值显然就容易很多了．[练习2]求函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在x∈[1,3]上的最大值与最小值．解：设1≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋eq\f(4,x1)－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2))).又因为x1<x2，所以x1－x2<0.当1≤x1<x2≤2时，1－eq\f(4,x1x2)<0，所以f(x1)－f(x2)>0，所以f(x)在[1,2]上是减函数．当2<x1<x2≤3时，1－eq\f(4,x1x2)>0，所以f(x1)－f(x2)<0.所以f(x)在(2,3]上是增函数．所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋eq\f(4,2)＝4.又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,3)<f(1)，所以f(x)的最大值为5.实际应用中的最值[典例3]在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台(x∈N*)的收益函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：万元)，成本函数C(x)＝500x＋4000(单位：万元)，该公司每月最多生产100台该医疗器材．(利润函数＝收益函数－成本函数)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少？(精确到0.1)(3)求x为何值时利润函数P(x)取得最大值，并解释边际利润函数MP(x)的实际意义．解：(1)由题意知：x∈[1,100]且x∈N*，P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x.(2)每台医疗器材的平均利润eq\f(Px,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20x＋\f(4000,x)))＋2500≤－400eq\r(2)＋2500，当且仅当x＝10eq\r(2)时等号成立．因为x∈N*，当每月生产14台机器时，每台平均约为1934.3万元，每月生产15台时，每台平均约为1933.3万元，故每月生产14台时，每台医疗器材的平均利润最大，最大为1934.3万元．(3)P(x)＝－20x2＋2500x－4000＝－20(x－62.5)2＋74125.由MP(x)＝2480－40x≥0，得x≤62，此时P(x)随x增大而增大；由MP(x)＝2480－40x≤0，得x≥62，此时P(x)随x增大而减小．∴当x＝62或63时，P(x)取得最大值．MP(x)反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少．[巧归纳]解实际应用问题的五个步骤(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系．(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数．(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系．(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式．(5)答：回归实际，明确答案，得出结论．[练习3]近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160.))设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？解：(1)当x＝128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总收益f(128)＝4eq\r(2×128)－6＋eq\f(1,4)×112＋2＝88(万元)．(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥80，,240－x≥80，))解得80≤x≤160.当80≤x<120时，120<240－x≤160，f(x)＝4eq\r(2x)－6＋32＝4eq\r(2x)＋26<26＋16eq\r(15).当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，f(x)＝4eq\r(2x)－6＋eq\f(1,4)(240－x)＋2＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋56.令t＝eq\r(x)，则t∈[2eq\r(30)，4eq\r(10)]，所以y＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋56＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋88，当t＝8eq\r(2)，即x＝128时，y的最大值为88.因为88>26＋16eq\r(15)，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，且最大收益为88万元．1．函数f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(8,3)C．－2 D．2答案：A解析：函数y＝－x，y＝eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上均是减函数，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上是减函数，所以函数最大值为f(－2)＝2＋eq\f(1,－2)＝eq\f(3,2).2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C解析：由已知，得f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2.f(x)max＝f(1)＝1，故选C.3．函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x<1，,－x＋6，x≥1))的最大值为________．答案：5解析：当x<1时，函数y＝x＋2单调递增，则有y<3，无最大值．当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，故当x＝1时，ymax＝5，所以函数在整个定义域内的最大值为5.4．若函数y＝ax＋1在区间[－1,3]上的最大值为4，则a的值为________．答案：1或－3解析：当a>0时，y＝ax＋1是增函数，故当x＝3时，ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.当a＝0时，不合题意．当a<0时，y＝ax＋1为减函数，故当x＝－1时，ymax＝－a＋1＝4，解得a＝－3.综上，a＝1或a＝－3.5．已知函数f(x)＝eq\f(3,2x－1).(1)判断函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的单调性；(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．解：(1)设x1，x2是区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且x2>x1>eq\f(1,2)，f(x1)－f(x2)＝eq\f(3,2x1－1)－eq\f(3,2x2－1)＝eq\f(6x2－x1,2x1－12x2－1).由于x2>x1>eq\f(1,2)，所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是减函数．(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，因此，函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝eq\f(1,3).课后自读方案[误区警示]忽视对称轴与区间的位置致误[示例]已知二次函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]上有最大值－5，则a的值为()A.eq\f(5,4) B．－5或eq\f(5,4)C．－1或－5或eq\f(5,4) D．－5或－1或eq\f(5,4)或1[答案]B[解析]f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－4a，所以函数f(x)的对称轴为x＝eq\f(a,2)，抛物线的开口向下．(1)当eq\a\vs4\a