函数概念要点精析

函数的概传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一xyyx的函数，x叫自变量，y叫因变量．B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域x的值相对应的y的值叫做函数值函数值的集合{f(x)|x∈A}①A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)②在现代定义中，By＝x2＋1可称为实数集到实数集的xfxf”可以看作是对“x”施加的某种法则或运算)fx)＝x－2x＋.＝2223x为某一个代数式或某一个函数记号x或函数记号f2x1＝2x－122(2x与A中的任一个元素，BBa，ba<b，我们规定：a≤x≤bx的集合叫做闭区间，表示为a<x<bx的集合叫做开区间，表示为a≤x<ba<x≤bx的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.题型一②f(x)＝x，g(x)＝④f(x)＝|x|，g(x)＝ g(x)＝1R②f(x)＝x的值域是R，g(x)＝x2的值域是[0，＋∞)，它们的值域不同，所以它们不表与④f(x)＝|x|g(x)＝x2R，值域都为[0，＋∞)，对应关系相同，所 题型二函数的求值f(x)＝x2＋x－1，求： f(x)＝5x ＝1 f(x)＝5x2＋x－6＝0x＝2点 g(x)f(x)题型三求下列函数的定义域：＋f(x)＝ 1；＋y＝ 3

一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使式子有意义的自变量的取

∴函数 x＋1＋1的定义域是{x|x≥－1且

3∴函数 3

x<0故定义域为∵f(x)的定义域为[2,3]2≤x＋2≤30≤x≤1，∴f(x＋2)的定义域为∵f(x＋3)的定义域为[－5，－2]， 得点 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集f(x)f(x)f(x)f(x)域也是指x的取值集合；②同一个f，括号内整体的取值范围相同，好比法律面前人人，y＝f(x)的定义域[a，b]y＝f[g(x)]a≤g(x)≤bx y＝2

Rkkx ∴Δ＝9k2－4k2<0，此时5k2<0，无解，∴k值不存在．错因分 本题忽视了k＝0的讨论，误认为k2x2＋3kx＋1一定是二次函数正 问题转化为：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值k＝0时，y＝1＝－8R，∴k＝0k≠0∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k2<05k2<02综上，k＝02kx

1．(Ⅰ高考)函数y＝x(x－1)＋x的定义域为

∴函数的定义域为答 22x

(x∈R)的值域 1 1解 y＝ ＝1－ ，由x＋1≥1，得0< x

x

x∴－1≤－1<0，∴0≤1－1<1 ∴值域为答 函数的定义域和值域可能是有限集，也可能是无限集，但不能是空集，故选B. 答 解 (xy＝x－1和y＝ B．y＝x和y(x

y＝(2答(2 A，B中两函数的定义域不同，C中的两个函数对应关系不同，故选D.4．下列函数中，定义域不是R的是( ＝ k＝＝ ＝x答 解 选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立下列对应为A到B的函数的是( A．A=R，Bx|x0，f:x→y=|x|B．A=Z,B=N*,f:x→y=xxx答 解 A、B不满足存在性，C不满足任意性若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是( 答 解 由

＝已知 1＝

(x∈R，且 (1)f(2)＝1 ＝1 )(0xa 由已知得0xa

ax1即ax1即

用数轴法，讨论(1)a＝02a≤－1时，x∈∅22当－1<a<02学习目标导引范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}4．(1)a≤x≤bx的集合叫做闭区间，表示为a<x<bx的集合叫做开区间，表示为a≤x<ba<x≤bxR用区间表示为.例 (1)x2xf(x)＝1AB分 函数是一种特殊的对应要检验给定两个变量之间是否具有函数关系只要检验根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应．解(1)x,2被x为以确定，所以当x0x2 xxA中任取一个值，B点 B中唯一(即多对一或一对一变式迁移 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数A=R,B=R,xAxx2（2）Axy|xyRBR,对任意的（x,y）A,(x,y)xyA=B=N*AA Ax＝3B例

1－1－ (4)y＝ 1

分 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围2 (1)函数y＝3－1x的定义域为2要使函数有意义，需

⇔x≤1且x≠0，所以函数y 的定义域为{x|x≤1 要使函数有意义，需

⇔x≤022

要使函数有意义，需2解得－3≤x<22所以函数 ＋1的定义域 变式迁移 求下列函数的定义域＝2－＝2－ f(x)＝3x－1＋1－2x＋4；f(x)＝|x|－x (1)由x2－3x＋2≠0，得 的定义域是{x∈R|x≠1x≠2}． 由

，得 1－2x＋4的定义域是

由

，得

∴x<0∴原函数的定义域为{x|x<0例 f(x)＝x，g(x)＝(f(x)＝x，g(x)＝f(t)＝t，g(x)＝3x3； g(x)＝x2＝|x|的定义域为 变式迁移 试判断下列函数是否为同一函数f(x)＝x·x＋1g(x)＝f(x)＝x2－2xf(x)＝1 ，而例 (2)f(x)＝1，x∈Rx＝0,1,2 (1)函数的定义域为A＝{0,1,2,3}，分别令x＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－ x＝0x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但不会等于0. 1 从而可知，这个函数的值域为y|y＝ x 点评(1)求函数的值域的问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域AC＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域和对应关系．对应关f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]f(x)＝x2－2x，x∈R.变式迁移 (1)函数f(x)＝x－1的值域为(用区间表示

＝x(1≤x≤2)的值域为(用区间表示 答 函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在fy”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将 y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z A中的两函数定义域不同，B中的两函数值域不同，D中的两函数对应法则不同．C正确．下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是( 答 解 在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它的对应的数1设f(x)＝ ，1

x

f 答

3

55解

2＝ ＋ff

的定义域是 答 解 由

x>0f(x)＝5(x∈R)xf(0)＝5 B．2 C．3个D．4答 将集合{x|x＝1或2≤x≤8}表示成区间 答 ＝若 ＝x

答 函数y＝x2－x(－1≤x≤4，x∈Z)的值域 答 f(x)＝

(2)y＝x－1＋

，即

x<－3或－3<x<3f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．当然也可以表示为{x|x<－3或－3<x<3

，即 x＝1，从而函数的定义域为 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2008)＋f1＋f1＋…＋f1x2x

2

1

1＋

1

1＋由(1)f(x)＋f1＝

1

1

2f(2008)＋f12∴原式＝1＋1＋1＋1＋…＋

.＝2007＋1＝4. 2007 函数的表示分段函数是一个函数 它误认为是几个函数∈(1,2]y=2-xy=eqb\lc\{\rc\a\vs4\al\co1(x，解析式分别作出．,3.,B.,→B.,对概念的理解：,B，其中A，B是两个非空集合；A到B的与B到A的往往不同；,→B，其中A，B是两个非空集合；A到B的与BA的往往不同；,(2)AB中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)；,B(A，B是非空集合)BA中元素对应，AB中元素BA中元素对应，AB中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．,(4)函数是集合A，B为非空数集的一种特殊，是函 (1)在下列对应关系中，哪些能构成A到B的？,P={x|0≤x≤4}Q={y|0≤y≤2} B.f:x 3f:x D.f:x→y＝3 对于②、③，也满足的定义对于⑤，元素a. 判断集合P中任何一个元素能否在集合Q中都有唯一确定的元素与它对应由3f:xy＝2x3 答 在中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不题型二分段函数的图象及应用求下列函数的图象及值域：

；x(x≥1)分 解答本题可先将解析式化简，然后画出函数图象，再根据图象得到函数的值域 1(0x函数y=函数y= 的图象如图观察图象，得函数的值域为2x1(x

1x 2x1(xy≥3，点评本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数题型三

已知函数 根据图象可知，设左侧射线对应的函数解析式y=kx+by=-x+2x>3y=x-2x>3)．y=a(x-2)2+21≤x≤3，a<0)．1≤x≤3y=-x2+4x-2(1≤x≤3)．x2(xy=x24x2(1xx2(x 设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4. 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域上面的解法似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数． 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，∴f(x)＝x2－4 32

|x-1|y=33|x-1|232

-|x-1|y=1-|x-1|解 方法 (特殊值)取x=0可排除A、C，取x=1可排除D，故选3方法 (直接法)0≤x<1时23

，则 231≤x≤2时线段过23

)，(2,0)两点，则 22

3x,0x1∴y=3x3,1x2 答 ，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，则A∩B中所含元素的个数是 C．0或 D．0或1或 若1∈[a，b]，则根据函数定义知，x＝1与y＝f(x)交点只有一个，若1∉[a，b]，则A∩B＝∅，∴应选C.答 答 由f(1)＝f(2)＝0，得p＝－3，q＝2，故f(x)＝x2－3x＋2，于是f(－1)＝6.①从角度看，函数是其定义域到值域的y＝x－1，x∈Zx∈(－3,3] ③函数

其中正确的论断有 B．1 C．2个D．3答 解 函数是特殊的，由此知①正确②中的定义域为y＝x－1M＝{0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}M的的是 A．f:x

6C. 6答 解 由定义判断，选项C中，x＝6时

＋x的图象是 答 解

|xx

x1,xf(x)=x1x0103km(3km)1km1.6元(不足1km，按1km计费)，若出租车行驶在不需等待的公，出租车的费用y(元)与行驶x(km)之间的函数图象大致为()答 由题意，当0<x≤3时，y=10；当3<x≤4时，y=11.6；4<x≤5…n-1<x≤n时，y=10+(n-HVh之间的函数关系如图(1)所示，那么水瓶的形状(如图(2)所示)是()答 Vh的精确解析式，需要对图形进行整体Vh的函数图象上看，V0开始后，h先增加较慢，后增加较H方法 取特殊值当2V

V2V

2

，A2

A，C，D

，则 答 解 F(x)＝f(x)＋g(x)f(x)x的正比例函数，g(x)x答 x解 设x

F(x)＝kx＋mx

得

.解得

答

则不等式xf(x)＋x≤2的解集 当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，P1ABCDAB、C、DA，设xP点的行程，f(x)PAf(x)的解析式． 如图，当P点在AB上运动时，PA＝x；当P点在BC上运动时，由Rt△ABP可得 PCDRt△ADPPDA上运动时，PA=4-x.故f(x)的表达式为：x,0x

1(3x)2

x22x2,1xx26x10,2x4x,3x函数的表示法(一学习目标导引.例 已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式b 过20人tt分 可用待定系数法求函数解析式 (1)由题设条件知：当x＝2时＋b2x＝14时，t＝28得方程组2

解此方程组得

xt＝x＋196x≤20，x为正整数，y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；x，共取x123456789t(3)t20个点组成的一个点列．(4)x1～2020个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间714变式迁移 (1)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：100kg)如表所示月份t123456789零售量y956(2)y是x ∵对于集合{1,2，…，12}y∴yt(2)①yx的函数．∵x＝0时，由图①y有两个值±1②yx的函数．∵x在{x|x<－1x≥1}中任取一个值时，由图②可确定唯一的y的值与它对应；确定y有唯一的值与它对应；例 (1)已知：f(x＋1)＝x＋2xf(x) 求实际问题的解析式．在求解的过程中要根据题目的结构特征，选择适当的方法进行求解 x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．方法 t＝x＋1，x＝(t－1)2，t≥1.代入原式有，f(x)＝x2－1x≥1)．a2abb∴ab

~b 点评(1)中方法一为配凑法，这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求；方法二变式迁移 设t＝2x＋1，则x＝2

＝2＋1.∴f(x)＝2 例 (2)y＝|x－1| (2)所给函数可化简为y＝

点 函数图象的作法大致有两种变式迁移 ②若(2)中定义域为{x|x≥1x≤－1} ①如图所

答 解 只有D符合函数定义，即在定义域内每一个x对应唯一的y值下列表格中的x与y能构成函数的是( xy1x0y10xy1xy10答 解析Ax＝0时，y＝±1；B0x＝0时，y＝0y＝－1，D中自x＝1∈N(Z，Q)yA、B、D均不正确．

答 解 方法 令1－2x＝t，则x＝ ∴f(t)＝

方法 令1－2x＝1，得 已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于( 答 解 设f(x)＝kx＋b

函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为( A．可能无数B．只有一个C．至多一个D答 设函数f(x)的定义域为D，则当m∈D时，f(x)图象与直线x＝m有且只有一个交m∉D时，f(x)x＝m已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值 答 解 2个进水口，106点，给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是 答 3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～43～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，x123211x123321 ；当g[f(x)]＝2时 答 解 函数的表示法(二学习目标了解的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是导引x的不同取值范围，有着不同的对应关B为从集合A到集合B的一 →B为从集合A到集合B的一 ， 函数的两个集合A，B必须是非空数集.， 例 已知函数f(x)＝x2f[f(3)]f(a)＝3a分析本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论． (1)∵－1<3<2.∴f(3)＝(3≥2，∴f[f((2)a≤－1时，f(a)＝a＋2当－1<a<2时，f(a)＝a2∴a＝±3，其中负值舍去，∴a＝3；当a≥2时，f(a)＝2a，又f(a)＝3，2∴a＝3(舍去)．综上所述，a＝2点 a2 2变式迁移 设x

答 解 当a≥0时，f(a)＝1a－1，解 得a<－2与a≥0a<0时，f(a)＝a

， >a，得a例2在运距不超过500公里以内投寄快递，首重不超过1000克需付邮资5元0005002元，50015001x克的需付邮资y元请写出在运距不超过500公里以内投寄快递需付邮资y元与包x克(0<x≤4000)之间的函数表达式，求出函数的值域，并作出函数的图象．解5,x7,x9,xf(x)=11,x17,x根据上述函数的表达式可知，该函数的值域为 变式迁移 120千米(20千米)0.2y，xy=f(x)的表达式，并画出其图象． 当4<x≤20时，y=10+(x-x>20时，y=10+16+(x-综上所述，yx的函数关系为10(0xy= 1.2x2(x如图所示,三、概念及运例 判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的，哪些不是，为什么x（1）A=x|xR*,By|yR,f:xyx0，xA=Z,B=Qfxy1x (1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是A1A中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是．集合A中的0在集合B中没有元素和它对应，故不是在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是点 判断一个对应是不是，应该从两个角度去分析是否是“A中的每一个元素”；(2)B中是否“有唯一的元素与之对应变式迁移 下列对应是否是从A到B的，能否构成函数A=R,B=R,f:xy