材料-线代第二章

第二 矩一 矩阵一 矩阵概二 矩阵的基本运三 逆矩四 矩阵的分五 初等变换与初等矩1矩阵的定特殊矩阵的定特殊矩矩阵的应用实矩阵的定由mn

(i

1,2,,m;

1,2,,排成的m行n简称mn矩阵

称为m行n列矩阵记作A

a1na2n

简记AA

am

am

amn

或2 复矩阵：元素是复例如：

5

是一33

2

实矩阵13 2i 2222

2是一2

3

复矩阵31 2

是一

3

矩阵 4

是一个1

矩阵 是一个1

矩阵4问题： A 4 5一些特殊的矩

(对Amn型矩阵零矩阵(Zero元素全为零的矩阵称为零矩阵

omn注意：不同阶数的零矩阵是不相例如：

00 00

6行矩阵(Row

只有一行的矩

Aa1,a2,,an称为行矩阵(或行向量

a1 1列矩阵(Column

只有一列的矩

Ba2,a称为列矩阵(或列向量 a n方阵(Square

行数与列数都等于n的矩阵

称2i

n阶方阵.也可记

例如

2222

2 是一3方阵27对角阵(Diagonal方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零

,a2

,an)

an数量矩阵(Scalar方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零

k 单位矩阵(Identity方阵，主对角元素全为1

n n

1nn行列式与矩阵的一个是行列式与矩阵的一个行列数相n记为:9矩阵的应用例1：(通路矩a省两个城

a1a2

b省三个城

,的交通联结情况如图。每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路总数.由该图提供的通路信息可用矩阵形式表示,称之为通路矩阵. 4 0 1 2 32 32 矩阵的应用例2：(价格量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵 S2

191S3例3：(赢得矩阵我国古代有“赛马”的事例,说的战国时代与其大将赛马,双方约定各出上、中3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马3次,每已知在同一等级马的比赛中，之马可稳操胜券,但的上、中等级的马分别可胜中、比赛策略 (上、中、下1(上、下4的赢得矩阵

(中、上、下2(中、下、上5策

(下、中、上3(下、上、中6 11111111111 1例4：(系数矩阵n个变量x1x2xn与m个变量y1

y2,

之间的关系

a12x2

xnya ya

a22x2

a2nxn

am1

am2

amnxn表示从变

x1,x2,

到变量y1

y2,ym的线性变换

为常数

A(aij)mn称为系数矩

a11a21

a22

a1nxna2nxn

am1

am2

amnxnA

a21

a22

a1n a2n

系数矩am1

am1

amn线性变换与矩阵之间存在着一一对应y1

x1

0恒 等

x2

对

0位变

换yn

1

对 n线性变

对 cos

sin cosYP1x1,y1PxOYP1x1,y1PxOX问题：例2：(价格量单位计）用以下矩阵给出。求各商家的总收入 S2

20 230 15 2 4 4

S3

45 矩阵相加减数乘矩矩阵相加减数乘矩矩阵的乘矩阵的转方阵的行列矩阵相等同型矩阵：两个矩阵相

设矩阵Amn与Bmn是同型矩阵，且对应元素相等，即

b (i,j

称矩阵A与B相等，记作AB.

8 z

4

4矩阵的加减加设有两个mn矩阵A B

那末A与B的和记作AB，规定AB

a2

b1nb2n am

am

bmn注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算例如

12 6 13 1

6 6负矩阵A

a1n a2n

a am

m

mn

称为矩阵A的负矩阵减法

AB

A(B)矩阵加法满足的运算规律1交换律：ABB2结合律：A

BC

A

C

A0

A,其中A与O是同型矩阵

A

A数与矩阵相数乘

数与矩阵A的乘积记作A或A规定A

A

1n. 2n. m

m mn注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别32 64122252 42545数乘矩阵满足的运算规律（A、B

m

矩阵，,为数123A

B

A

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运矩阵与矩阵量单位计）用以下矩阵给出。求各商家的总收入 S2

20 230 15 2 4 4

S3

45 矩阵与矩阵定义

A

是一

ms矩阵B

是一s

矩阵，那末规定

A与矩

B的乘是

mn矩阵C

，其

i2b2

k

i

j1,2,,并把此乘积记

C例

4

4

32?C ? 22

22

22例

2

4 A

0

B

4

1求

1解 A

B

C 2 2注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如

8

3199

不存12

3

13

1 例3算下列矩阵的2

2 3 2

1

22 4

解:2 3

1

32

4.6 2 aa

=(

b2b3 例4：计算下列矩阵的

a1s

1s

a2s

2s2 2

a nnn n2

nsns

n2

nsns

a1na2n

na1n 2n

an2

annnn

n

n2

nannnn

nn

bnnn

nn矩阵乘法满足的运算规律1结合律

ABC

ABC2分配律

C

AB

AC,

CA

BA

3AB

（其

为数4

EA即：AB注意：矩阵乘即：ABA

1 B 1

1 1

0

BA

2

0

2 但也有例外，比如A

0

B

1, 2

1则

2 2BA 2 AB

ABACA0不能推B例如

A

1B

1C

2,

1 022 AB022

000

AC00

000

AB但是BAB0不能A0B方阵的幂若A是n阶方阵

Ak为A

k次幂，

k并 AmAm

AmkAmk

mk为正整数当ABBA时

ABk

AkBk方阵的多项式f(x)

axk

ak

xk

a1xk0kf(A)k0k

a

ak

Ak

a1Aa00矩阵的转定义把矩

A的行换成同序数的列得到新矩阵，叫

A的转置矩阵，记作 例 AB

5

2,,8BT

18.

22

45;88 6转置矩阵满足的运算规律1AT

32A

BT

4

BTAT例5：已 A

求ABT解法解法

17 ABT

3131解法AB解法

BT

2 0

1 232

1713.

1

10对称阵

A

阶方阵，如果满足A

AT， 那末称为对称阵

1例如A

0 6

为对称阵说明

对称阵的元素以如果

则矩阵A

称A是对称矩 A 称矩阵

T例

设Bmn,

BT

..例

T n 例

AAT

注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩 1 例

1 3 方阵的行列定义：由n阶方

A的元素所构成的行列式叫做方阵

的行列式，记作Adet例:A 3 8

A6

38