数学-6对数与对数函数

第六 重点难点重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公②对数函数的概念、图象与性质难点：①对数的换底公式②对数函数在a>1与0<a<1时图象、性质的区别③对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等式的求解．01Nb4．运算法则：

log

aN＝

1log N＝ (M>0，N>0，a>0

，a>0 m由换底公式得：logab＝logba，loganb＝n另外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别叫做常用对数和自然对数．二、对数函数的图象与性定义 图象定义 性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)x＝1(4)a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数．同底的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于＝x三、反函数的概念与性质若函y＝f(x)的定义域A，值域B，对于B中的每一个A中都有唯一的x0与之对应，y＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)y＝f－1(x)的定义域、值域分y＝f(x)的值域、定义域．指数函数y＝ 且a≠1)与对数函数ylogax(a>0且a≠1)互为反函互为反函数的图象之间的y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称若点P(a，b)在y＝f－1(x)的图象上，则在y＝f(x)的图象上误区警示忽视a>10<a<1时性质的区别及函数的义域致误．如函数2

(x2－3x＋2)的单调增区间(－∞，1)；函y＝loga(ax－1)(a>0a≠1)的定义域在a>1时为(0，＋∞)0<a<1时为(－∞，0)．一、转化的＝N与对数式loa＝(a0且≠0)可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事半功倍的效果．二、数形结合的思[例 不等式x2－logx<0在

1时恒aa的取值范围是 B.

D．0<a≤解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们熟知函数y＝x2与y＝logax的图象因此可在同一坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在同一坐标系中画出 1)与

x的图象 2由图象易得 2

0<a≤16.三、解题技同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间量0、1的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y轴(逆时针底数依次变小)，在x＝1右侧，底大图低(区分x轴上方与下方)．[例 (1)已知函数 (a＝ (2)(2011·)(lg2)2lg2lg5lg5 分析：(1)

的倒数关系及对数运算法则logaNn＝nlogaN求解．

(2)注意到lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生＋lg5求解．

解析

f(a)＝－b.故选(2)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2答案 (文 高考 解析＝2，故选解析：(1)原式

(2)原式

lg3 3lg2

＝答案

2lg35

[例2] ＝a＋(a≠a＝1象只可能是( 分析：a>0，∴b>0(文)已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则＝ 解析：由图象知

(理)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( ∵＝2＋－1f(x)∴a>1.由图知－1<f(0)<0，∴－1<logab<0，∴a－1<b<1，故选[例3] 若0<x<y<1，则(

解析∴①由y＝3u为增函数知3x<3y，排除②∵log3u在(0,1)内单调递增∴log3x<log3y<0，∴logx3>logy3，∴B错③由y＝log4u为增函数知log4x<log4y，∴C正确

④由

为减函数知 ，排除

(文)a>1函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最1值与最小值之差为2，则 解析：a>1f(x)＝logax在区间[a,2a]loga2a，最小值为logaa.因此log log

a＝2， a＝2，解(理)a>0a≠1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]1的最大值与最小值之差为2，则a等于 或 或4 D．4或4解析：当0<a<1时，f(x)在[a,2a]

a－log

log

a＝－2，∴当a>1时，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，∴log2a－log

a＝4a

a＝2[例 对于0<a<1，给出下列四个不等①log(1＋a)<log ②log(1＋a)>log ③a1＋a<a1＋a；④a1＋a>a1＋a.其中成立的是 A．①与 B．①与C．②与 D．②与解析：由于

∴log(1＋a)>log

1∴

>aa(文)设a>1，且＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为( 解析：a>1(理)a

x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1x1x2、x3的大小关系是 解析：取 ＝22

2

x3>0[例 已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，记f(x)的反函为f－1(x)，那

44

分析：f(x)f－1(x)解析：

—1

＝a，则

5

图象关于直线y＝x对称．(文)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)的值为( (理)(2010·重庆 中学)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为( 解析：解法1：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选解法2：函数y＝lg(x＋1)的反函数为y＝10x－1，故选D.[例6] (文)(2011·浙江省“百校 ”交流联考卷)已知0<a<1，loga(1－x)<logax则(

1

解析：∵0<a<1时，y＝logax∴原不等式化为

(理)设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x取值范围是( 解析 即 ∴ax>3或ax<－1(舍 ∴x<loga3，故选点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbcm的大小关系是 解析∴ > ，即log

logca 一、选择已知0<a<1，logam<logan<0，则( [答案 [解析 由0<a<1得函数y＝logax为减函数logam<logan<0＝loga1m>n>1f(x)＝loga(x＋b)(a>0a≠1)的图象过(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于 [答案 [解析 由题意得b＝1.于是a＋b＝4，选

解得[点评 反函数的图象和原函数的图象关于直线xP(a，b)在原函数y＝f(x)的图象上⇔点P′(ba)在反函数y＝f－1(x)的图解答该题是不需要求出反函数的．3．(文)若x∈(1 则a、b、c的大小关系是( [答案

[解析 ∵1 a<c<b(理)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则( [答案 [解析 ∵1<e<3，∴1<∴0<lge<1.则

，即

＝2lge·lge2>0.∴c>b，故选4．(文)若定义域为区间(－1,0)1)，满足f(x)>0，则a的取值范围是 1