教学 设计：平面上两点间的距离

平面上两点间的距离教学目标掌握平面上两点间的距离公式；掌握平面上连结两点的线段的中点坐标公式；能运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题．教学重点与难点本节课的重点两点间距离公式，难点是理解两点间距离公式和中点坐标公式的应用．教学过程一、问题情境本节课研究的问题是：——平面上任意两点间的距离如何用坐标来表示？——平面上任意两点的中点的坐标如何用其两点的坐标来表示？二、学生活动、建构数学探究：已知A（−1，3），B（3，−2），C（6，−1），D（2，4），四边形ABCD是否为平行四边形?除了用对边是否平行的判别方法，还可以通过对面是否相等来判别.下面我们就想计算点A（−1，3），B（3，−2）间的距离.为此，我们先来回顾一些简单的距离问题.x轴上两点P1（x1，0），P2（x2，0）的距离|P1P2|＝|x2－x1|．y轴上两点P1（0，y1），P2（0，y2）的距离|P1P2|＝|y2－y1|．推广：P1（x1，a），P2（x2，a）的距离|P1P2|＝|x2－x1|．P1（b，y1），P2（b，y2）的距离|P1P2|＝|y2－y1|．数轴上A，B两点的距离：AB＝｜x1－x2｜；由于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y2）构成直角三角形，于是可以用勾股定理得：平面上AB＝.数学理论、数学运用平面上两点间的距离一般地，平面上P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点间的距离.说明：两点间距离公式的本质就是在直角坐标系中的勾股定理的体现，但是更重要的是两点间距离这个几何量被代数的方法表示出来．例1（课本P87例1）（1）求A（−1，3），B（2，5）两点间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，−5）两点间的距离是17，求实数a的值．解：由两点间距离公式，得.由两点间距离公式，得，解得a=±8.评：本题就是直接运用两点间距离公式来解决问题.课内练习求下列两点间的距离：(1)A(6，0),B(−2，0)；(2)C(0，−4),D(0，−1)；(3)P(6，0),Q(0，−2)；(4)M(2，1),N(5，−1).两点的中点坐标公式对于一开始提出的问题，由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以只需要说明对角线AC和BD的中点相同，即可以推得四边形ABCD为平行四边形.如果求出AC的中点的坐标呢？x轴上两点P1（x1，0），P2（x2，0）的中点为（）．y轴上两点P1（0，y1），P2（0，y2）的中点为（）．推广：P1（x1，a），P2（x2，a）的中点为（）．P1（b，y1），P2（b，y2）的中点为（）．由于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，y2）构成直角三角形，在直角坐标系中，AC的中点的纵坐标是AB中点的纵坐标，BC中点的横坐标是AB中点的横坐标，从而AB的中点坐标为（）.一般地，平面上P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点的中点为M，则M的坐标为（）.说明：1.中点坐标公式是将一个几何概念用代数的方法表示出来．2.若三角形ABC的三个顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则其重心坐标是.例2（课本P89例2）已知三角形ABC的顶点坐标为A(−1,5)，B(−2,−1)，C(4,7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.解：设中点M的坐标为（x，y）.因为点M是线段BC的中点，所以x=1，y=3，即M的坐标为（1，3）.根据两点间距离公式，得.因此，BC边上的中线AM的长为.由两点式，得中线AM所在直线的方程为，即x+y−4=0.例3（课本P89例3）已知三角形ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：.证：以直角三角形ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为（b，0），（0，c）.因为点M是BC的中点，故点M的坐标为（），即（）.由两点间距离公式，得，