苏教版高中数学必修5同步讲义 2.1数列

**第章数【本章引入】毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子或用一些小棍来表示.他们研究过的三角形，，，，…正方形数，，，16，这数列各有什么特点?如何运用这些数列的特点来解决有关实际生活中的问题?本章我们将一起来学习两种特殊的数---等差数列和等比数.【综合解说】等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项公式的引申应用等差等比数列的性质解题可回避求其首项和公差或公比题到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重数是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具者的综合解题是对基础和能力的双重检验三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热.数列情导学校在操场的正前方准备建造一个看现该看台的座位是这样排列的：第一排100座位从第二排起每一排都比前一排2个座位，你能用式表示第n排座数吗？第0排能坐多少个人？知技详知点：列的念、数定：一定次序排列的一列数叫做数(sequsnceof．数列的数是按一定次序排列的此如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.数列项数列中的每一个数叫做数列的(term)数列的第

i

项用序号表示序号为

i

对应的项为第

i

项作ai

,第一项记为

1

；“项与“项数”是不同概念数”是该数列的所有项的个;数列第n一般简记为a.．数的类（）据数列的项数的多少分有数:如数列1,2,3,4,5,6是穷数列；无数:如数列1,2,3,4,5,6,„„无穷数列。根据列的项大小分①递数:若从第二起每一项都比前面一项大对有的N都1,2,3,4,5,6,则称该数列｛｝为递增数.如

a

②递数:若从第二起每一项都比前面一项大对有的

nN

*

都

a

1则称该数列｛

｝为递减数.如

6,5,4,3,2,1

③常列各项相等的数列，即对所有的

nN

*

都有

a

则该数列｛

｝为常数数列④摆数:第项起有些项大于它的前一项些项小于它的前一项的数列则称该数列为摆动数列如„；2,-6,12,30,-42,„„等都是摆动数列、数的质从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数N（或它的有限子集{1，，„

n

}）的函数，当自变量从小到大次取值时所对应的一列函数值．反过来对函数y=(x

,如

fi)

有意义那我们可以得到一个数列

f(2),f(3)„„f()

„数的项是序号的函数，序号从始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数这就是数列的实质。知点：列的单示法、数的项式如果数列{a}的第项与n之的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公(thegeneralterm)，记：a=f()

.(1)通公式可以理解为以

n

为自变量的函数解析式

f

（定义域为正整数集或它的有限子{，2„

n

}(2)不是每一个数列都能写出其项公式，如数列，1.41.41，，„„(3)数列的通项公式不唯一，：数列1,-1,1,-1,1,-1,„公式可以是n

=

c

。数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项；③反映该数列的共同规律。掌握如下一些基本数列的通项公:①数列1,1,-1,1,„公:

an

;②数列1,2,3,4,„项公式:

;③数列1,3,5,7,„项公式:

2

;④数列2,4,6,8,„项公式:

;⑤数列1,2,4,8,„项公式:

a

n

;⑥数列1,4,9,16,„公式:

a

2

数列列法示2nn数列可以看作是用列表未能给出的函数关系它的定义域为整数集

N

*

(或的有限集

{

),自变量省略列出函数值;我知道

,,

简记为｛

｝如

则列表表示如下:n

„„

k

k2(k

„„数列图法示由于数列是一种特殊的函,那数列就可以用图象来表示我利用函数图象的画法画数列的图,体的方法是以项数

n

为横坐标,相应的项

为纵坐,则以

n

,

)为坐标在平面直角体坛系中作出,所的数列的图形是一群孤立的点这点的个数可以是无限,可以是无限.因为横坐标为正整数所以这些点都在

轴右侧而的个数取决数列的项数从象可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋,如

的图象表示如右图所.用数列的通项公式表示数列的优点,数关系清楚公式反映了一个数列项与项数的函数关系；代入项数就可求出数列的相应项；便于研究数列的性.列表法的优点是不必计算，查表可得到每个项数所对应的数列的每一项的.(3)图象法的优点是直观形象地示出了

随着

n

的变化规律注:数的图象一般是“连续”的，而数列的图象是“离散”.技应导题1根数的几，写数的个项式例1写出下列数列的一个通项公式，使它的前4分别是下列各数：（），，，3222（），，，（）

111，，，14【析写通项公式，就是去发现an的系，对各项进行多角度、多层次观察，找出这些项与相应的项数（即序号）之间的对应关系．【解）项1=21-1×2-1×3-1×4-1↓↓↓↓序号1234即这个数列的前4项是序号的2减去1，∴它的一个通项公式是：

2

；3（）号123↓↓↓↓项分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1↓↓↓↓项分子：2-13-14-15-1即这个数列的前4项的分母都是号加上，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是：1

n2

(n2nn3

；4（）号

11

1123

14‖‖‖‖(

1

(

2

11((2(23(3(2这个数列的前4项绝对值都等序号与序号加1积的倒数数为负项为正，所以它的一个通项公式是：

n

n

(【纳由数列的前几项求数列通项公式的一般步骤1定符号2）分子；3)定分母；4）综合写出项与项数的关系．中“三定”的依据是前后项的变化规律及与项数的关系，若为正负相间的项，则可-的次幂或偶次幂进行符号交换，有时也可根据相邻的项，适当调整有关的表达式．变练1.求出下各数列的一个通项公式

11119,,,2,,31524222变练2已数列3,7,，„3是列的（）第18项

B.项

C.第17

第20项例2求出下列各列的一个通项公式．2，，，，，„7，77，777，7777，77777，„，，-7，„【析解这类题要从多角度考，全方位观察，广泛联想，将原数列做适当转化，变形后，作为基本数列或特殊数列放可迅速求解．【解1法一„1+11+11-1„为n法二：看作2，，，„变，因此所给数列的通项公式=

0

为(n为)

这一题说明了数列的通项公式42nnnn102nnnn107所给数列7可以改写为9

，77×99，999，×9999ׄ以看作－，997777×－，×－－1)，×(100000－„9999因此所给数列的通项公式为a=

79

n－(3)所求的通项公式可转化为数„公联想三角函数“五点法”作图的基本,则得

a7sinn

2

【纳求数列通公常用的方法是观察法找项公式的关键出变量和变化量，观察每一项的序号与变量之间的关系关系不明显应将项作适当变形或分解让规律突现出来便找到通项公式同要借助一些基本数列的通项及其特点联想将较复杂的数列通过合理的转化归纳出数列的通项公式，数列的通项公式还可用分段函数来表示．常见的一些数列的通项公式：1）自然数列：=n；2）自然数平方数列a＝；）奇数数列：a＝－；4）偶数数列a=2n；5）

倒数数列：an

1n

；）列1，，，，„

n7）数列9999999999„：

an

n

；8）数列，0.990.9990.9999„：an

n

；）列1,0,-1,0,1,0,-1,0,„=sin

n2变练3.求出下各数列的一个通项公式1111,0,,0,3

(2)，，0.222，，0.22222，„变练4在列，2，3，3，，4，，4，„„中，等于（）A.13C.10D.14题2通公的用例3已知数列

n

n

n

，则

619【析通项公式定义可知将通项公式中n依取6即可到数列的【解取，，6则619

,a619

．【评由列的通项公式求数列的指定项是简单的代入法列通项公式具有双重身份，它既表示数列的第项又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系给数列的通项公式这个数列便确定了代入项数就可求出数列的每一项．5．nnn20．nnn20变练5已数列

n

，数列

n

=-2+3，数列

n

cnn求

c

4变练6数25，11，x，47„„中的x等（）A.28B.32例4.数列

}中，

=

－

＋，么150是第

项【析将a用150替，则解关于n的程即可．【解由于=－n＋6150n则2n有【评本题紧扣通项公式实质，利用方程的思想进行求解，在得到结果后应注意数列n的取值范围，而方程思想是解决数列问题的重要方法变式练习7数列{a的通项公是a=n-3n-28，这个数从第几项起各项都是正nn数[]A．第项B．第7项C．D第项变练8.已知数{

}的通项公式为

，则[]A．不是数列

B.只是数列

项C.只数列

6项D.是数列

项或6项例5.已数列

{}(nn

*

)

满足：(,则_________(且N*)【析本题以分段函数形式给出，探究该数列的周期性即可得解．【】(n*知而知n于是知a2008334

,【评本题根据分段函数思路寻求到了该数列所具有的周期性质，从而使问题得以解决，在处理数列问题中应当重视函数思想在数列中的应用．变练9已数列

{}n

a0满足ana

6，若a则=（）A．

6B．C．D．77变练10设列a,,满足aa任何自然数都1n3n又aa+++a，a++a的是nnnnnn+1n+2n1题3利通公求值问6*nn．．．*nn．．．例6.已知

an

9(n10

(∈N),则列{}最项______.n【析由于数列是一类特殊函数，故此问题可转化为函数求最值问题，注意n的值．【】设{}第最大，则有n

即

(n9nn10n9n9n(1010

∴8n≤即a、a最8【评数列是特殊数因用函数思想解决数列问题是不容忽视的要意此时数的定义域为正整数集这一约束条件．本题考查了一般数列的最大项的求解问,通过不等式组

可以全面的求解出具体的n的值范围但是要注意不等式组求解过中的等价性变练11已知数列

n

n

，则此数列前（）的和最小A．B．．11或12．以上都不对变练12设函数

f)x

2

（1,4]fx)

的最小值为最值为b，n记

c)(1)n

，则数列

cn

题4以际题载求数通例7.如图，第n个形由第n+2边“扩展而的记n个形顶点数()为

，则2005=．【析首先将实际题数学化根据所得的数据利用观察法求其变化的通项公式．

图1

图

图

图【解法一】由图易知：aa42从而易知142)(n(na.0083n2005法：n个图由第n+2边形“扩展”而来的，这个形共n个n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶点，故第个图形的顶点数为n2)(n(1,2,3......)n

2005

20084030056【评求解几何计数问通常采用“归纳—猜想—证明”的解题思路．在解决此类问题时一般首先将问题数学化，再利用所给出的附加条件进行探讨．变练13根下列5个图及应点的个数的变化规律测n个中有__________个点.

．．（）（）（3）（）（）7nn变练14观察下列图形和所给表格中的数据后回答问:11

1211梯形个数图形周长

111417

„„

当梯形个数为时,图形的周长为

()3(n+2)B.C.D.技拓探基综题例8已

n

*

项中最大项和最小项分别是第项【析利用常量分离法将式子进行变形，分类讨论即可求解【】

n

N*nn当

时

a数n当

时，为递为,为10【评数列是特殊的函，本题是以函数为背景，利用函数性质构造的有关数列问题，解题时要能充分运用函数性质于数列中，促使问题的转化．例9下数列的每一项由个数组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5（2，6，10）（，9，15）„100个组内3个的和是多少？【分用察观察数列特征出项共同的构成规律向各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，而归纳数列的通项公式．【解法一：注意观察，发现这些数组的第1个量次是1，，„邻差1，故可推算第100个数中的第个为100这些数组的第2个分3，，„邻数差3，且×，6=3×，×，所以第100个数中的第2个为3×100=300；同理，第个量为5×100=500，所以，第100个组内三个数的和为100+300+500=900．法二因题目中问的只是和所以可以不去求组里的三个数而直接求和察各组的三个数之和．第1组1+3+5=9，第2：2+6+10=18第：9+15=„9=9×1，82218=9×2，9×，所以9，18，27„项公式为

nn

的数列，故第100项9×100=900，第100个数组内三个数的和为．【评本题法一从个对应序列的数字出发进行观察研究中到内在联系相当求了三个数列的通项公式而二体意识较强求解过程简捷明了但是对思维层次的要求明显较高，在处理数列问题时，要尽可能的多角度进行思维，优化做题过程．拓探题例10.

已知实数列

}满足

0

=

a

,

a

为实数

a

3

(

n

∈

N

)，求

2008【析本题以递推系给出数列用代入法写出前几项再用观察法求通项公式可发现该数列的周期性，利用周期性解决较易完成．【解

a

3a3

33

；

3a31a1

,a

3

1a

；

4

33

3())

a5

a

3a3

；a

3

33a33a3

a∴

a71

a8

2

9

3

„于是对于任意正整数k有

6

r

(r=0,1,2,3,4,5,)2000=6×334+4∴

2000

4

a

.【评递推关系是示数列的另一种方法反映了数列相邻几项的关系题考查期数列面的困难是找不出数列规律于发现项与项数之间的关系引函数的思想用函数的方法去解决相对来说容易．易辨题例11.列

共有__________项．错：项为

1n

,末为

1n2

，故项数共有n项【析数一个数列的项数都是从1始的，找项与项数的关系关键是找首项与的关．正：知数列的项数与数列

的项数相同，9又

，所以又与数列

的项数相同．因为

共有

个数，所以

共有

个数．因此

有

个数．【评数清项数是决数列问题的首要问题有穷数列中数列的末项未必是数列第项，即有穷数列的项数未必是，一定要区分有穷数列的末项与通项信迁题例12.西人读《易经》发现其中隐藏有“二进制”，“二进制”是现代计算机的语.西方人从《易经》看出“二进制”是西方人的智慧；东方人保存《易经》是东方人的骄.骄傲的智慧就是宇宙文明由于技术原,计算机内部一律采用二进,而人们在编程中经常使用十进制,有时了方便还采八进制和十六进制计算机中常用的十六进制是逢进1的计数制采用数字和字母F共个数符号些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制十进制十六进制十进制

0088

1199

22A10

33B11

44C12

55D13

66E14

77F15例如，用十六进制表示

B,则

（）A．6B．72．5F．0【析对于意的一个十进制数,首应将其分解为16的数并分析其余数的值逢进掌这个法则可以进进位制间的换.【】

A6

∴

AE

,故选A．【评进制与十六进制间的相互转其本质上为两列数间的不同的表示方根据其间的对应法则,将题中夹杂大量的无用信息或起干扰作用的信息,字信息等灵活迁移变生为熟悉、变抽象为具体即可正确解答．高考考点析真展例12006.家庄质检一）下列四个,着色三角形的数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为()nn

.n

ann

n

Dann

n(2)(3)(4)【析结合图形的变化寻求突破口【】1:特例淘10n23n1n23n1当n＝时

否定，D1当n＝时

定3

,故选A法2:将数前四项列举出;1,3,9,27,故

an【评于象变化问,一定抓住其本质将变量与变量分清,寻求变规,一般是建立一个递推关系,让后再求解,对选择题可采用特例法较快.例2全改编数列

{}n

的首项

a1n

32

n，n

．写出数列

{}n

的前四项并猜想该数列的通项式.【析关键准确求出通项公式，处可先分析相邻两项的关,找数列中各项与其它1的的关系再行突破．【】

3an，2得

33a;222

)

;4

)312

即可猜想得a)

n

.【评本题以递推数列为载体查学生对数列通项公式的求解及学生对大比较的方法掌握情况．一般地，形如

n

cad(n

)型的数列，可将其变形

n

an

，其中

dc

（常数利叠乘法进行求解，此法在高考中是一种比较重要的方法．考透本知归知体数列的概念和简单表示数列的定义数列的函数本质

数列的分类11

图象法

数列的表示方法列举法

解析法a4141a4141规总价值定位学习方法数学思想课实演

数列是以正整数为自变量的一种特殊函数，是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一是进步学习高等数学的基础而自然充满了神秘．斐波那契列一直是人们不断研的问题，自然界与该数有如此多的联系，世人惊叹．综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数列，是一种非常重要的学习能力．在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或反例)来检验所提出猜想．此外，利用数列的函数实质解决问题的函数方法应用也是本节应当掌握的学习方法．在研究数列概念及其表示方法中应当注意以下思想的灵活应用：1、函数思想：处理有关数列的周期、最值及增减性问题中常用此思、方程（方程组）的思想：已知数列通项公式求数列某项的相关问题时此法应用较多3、递推思想：解决有关递推数列问题4、转化思想：求较为复杂的数列通项公式时，通过联想与变形，将式子转化为常见数列的相关问题进行处理、用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．1.数

1的个通项公式为（）A．

n

B．

n

C．

nn

D．

n

n

已知

fx

为偶函数且

f(2f)当(

x

若nN*n)n

，则

2008

（）A．2008．－2008．．

数列

510,,中有序数(，)可以是）38a（）(21－（）(16，－1)（(，)（），)222考虑如下逐步定义的序列:

为意正数1

u

n

un

n哪个值时,

n

()14B.C.E.18设

,,12

50

是从

这三个整数中取值的数列，若

1127.2327.232，(a50

2

2

2

a50

2

107，a,,1

50

中数字个数为（）A．10B．11CD13已知点A(n,a)为函数F:yn1

上的点，点)为函数F:y=上点其中nN，n2设c=a-b∈N),则c与c的小关系为)nnA=n

Bc>nn+1

Cccnn+1

D不定，211，，则5是这个数列的第

项．8．定义“等和数列一数中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数{a}是和数列，且a=2，公和为5，那么a的为．9知数aa任

，有

则______．10.根下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,„；(2)

2810,,,,,„„；315356399(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,„„；(4)2,6,－30,－42,„.已知数=(－1)(n－≠±1)是递增数列，确定的值范围．12．数列{}，a=a－（∈*,求a的n2n13．知数列｝通项公式为a=2,问45是此数列中的项吗3呢什么?n求数列

22,,51535

„公13n2222nnn444n2222nnn444参答变练答）

·n

n．2n(n2解:（）一的分子都是1，而分母所组的数列3，15，35„为1×，2×，3×，4×，5×，„一项可以看成序号与n＋2的，也即n(n＋．项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为：·n

．（）给数列可改写为

125,,2222

„成数列为1，4，，，，„是序号的方即n，分均2因此所给数列的通项公式为：

n

解析∵－3=11－7=15－11=4即－aa（－14=4n－令4n－nn则=19.3.（）

n

n

（）

an

29

解:（）分母可看成1，，，，，，„为10，1，，，，，„以看作是2，，，，，，，„项的公式为nn

构成为

，因此所给数列4（）给数列0.2，0.22，0.222，0.2222„写2220.9,可看成99910.10.01,110.0001,99

因此通项公式

D解个个2,3个个4,„累计可得第个为个14的一项,即第项为14.故应选

1316

解

1113a则42161616解析∵×1,11=5+3×∴=20+34=32.故应选B.7.C解析由n解n<-4或n>7由于为整数，故n>78.D解析

3

则

n0,即

或n141233412021233412029.B解析

a1

61,,同理可得a721360aa以为期则a27解析将递推式中的换为n+1,aa++两式相减得n+1n+3na(-a)-a,aa得+4nn+4+2+3-,即nnn∴数列{a}周数列,周期为k(∈n故a+a++aa+++a.11002

故选B.析

n

，出随的增大a

由负值变为正值，故和最小则加数为负数或零．由通项公式可看出

12时

，故选C.

43

解:由

f()x2)

(

x1,4]

可得

f()f(2)最小值

最值

)f(∴a,b

∴

c)(1)(1)n8)nn

2

n

解:法1：图上易看出图形的对称性，抓住中心点，则2）现二个岔，每个有1个，,3）出现三个分岔，每个有2个4）出现四个分岔，每个有3个5）出现五个分岔，每个有4个点，次类推，则第个图形应出现n个分岔，每个有（n-1）个点，加上中心一个，故总共应有

2

,即图（1）中为1，（）中为

，图（）为

，图（4）中为

，图（）为

2

，„n个图中为

2

.14.B解:由图形及表格易得通项公式为3n+2,故应选B课实演答：1.C解析:用代入法进行筛选即得正答案．2.D解析:∵

f(x)

为偶函数，且

f(2)f)

，∴

f)f(2))f(2))f(f)

，∴

f(x)

是以4为周期的周期函数，∴

2008

(2008)ff(0)2

0

，故选DD解析由所给字发分的数字比分子根号内的数字