第五节+投影变换（64学时以上讲解）

XX1V1c1'b1'a1'ABCacbc'b'a'HV基本要求一、投影变换概述二、换面法三、换面法的应用第五节投影变换1基本要求掌握换面法的基本原理与其变换规律。掌握换面法求线段实长、平面实形及对投影面倾角的方法。掌握用换面法解决一般空间几何元素的定位和度量问题。2aabb

两点之间距离aabbcc三角形实形aabbccdd

直线与平面的交点一、投影变换概述aabbaabbccabcdabdcaabbccddabcdabcd

两平面夹角3一、投影变换概述投影变换的基本方法有以下两种：

1．空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为换面法。

2．投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投影。这种方法称为旋转法。

4XV/H体系变为V1/H体系X1V1c1'b1'a1'A

新投影面必须满足下列两条原则：①

新投影面必须对空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。②

必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。BCacbc'b'a'HV换面法5X1V1a1aaAVHX二、点的换面规律6aa

1、点的一次换面V1a1X1X1V1a1AVHXa1X1HV1ax1VHXaaax点的换面规律：①点的新投影与不变投影的连线垂直于新的投影轴；②新投影到新投影轴的距离等于被更换的投影到旧轴的距离。

二、点的投影变换规律——换V面7

1、点的一次换面H1X1aaa1HVH1X1Va1VHXaaAX

二、点的投影变换规律——换H面8

2、点的两次换面2X2a2AXaa'a1'HVV1X1a2X2H2V1V/H→V1/H→V1/H2VHXHV1X1a'aa1'

二、点的投影变换规律9

换面法中的四个基本作图问题，主要是解决将直线及平面变换成对投影面处于特殊位置的问题。在变换过程中必须遵循点的变换规律。三、换面法的基本作图10三、换面法的基本作图V1X1a1b1ABabb'a'a1b1

X1V1HVHXaba'b'作图特点：①

新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角②求直线对某投影面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影VH1、一般位置直线变换成平行线11将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出角？X1H1Va1b1aba'b'VHX三、换面法的基本作图12VHXX1H1a1b1X1H1VbbVHXaa作图特点：新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。a1b1三、换面法的基本作图

2、将平行线变换成垂直线13V1X1a1b1ababXVH2X2a2b2必须经过两次变换若将一般位置的直线变换成投影面垂直线三、换面法的基本作图14X2H2V1a1(b1)X1HV1a1b1aba'b'VHX两次变换的作图三、换面法的基本作图15cH1dc1a1b1d1ababcACDdVHXBacXVHbbacdX1H1Vdb1a1c1d1作图特点:①取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。②

若求平面对此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线。三、换面法的基本作图

3、将一般位置平面变换成垂直面16a作图特点：

新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。V1X1c1'b1'a1'X1V1c1'a1'b1'XHVbbaccABC三、换面法的基本作图

4、将垂直面变换成投影面的平行面17X1V1c1'a1'b1'XHVabbaccABCa1'c1'b1'X1Xabca'b'c'变换的作图过程三、换面法的基本作图18必须经过两次变换db1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1实形abcabcd三、换面法的基本作图如何将一般位置平面变换成投影面平行面19四、换面法的应用

应用换面法解题时，首先分析空间几何元素间的相互关系及位置，使几何元素处于何种位置时，才有利于解题，然后确定换面的具体步骤，应用上面的基本方法进行图解。下面展示了特殊位置的几何元素的投影，可直接反映其空间距离、角度等关系。20aabbcc四、换面法的应用axxx(b)a(d)cabcdmnmne)f)a(b)bmmb)Laa(b)bxccddc)Lx(b)a(d)cabcdmnmnd)Lθθabcdcd(b)a(d)ef(f)eg)xθaabba)xL

例题1

例题2

例题3

例题421应用举例

[例题1]

已知多边形ABCDEF对H面的倾角α=45°,试完成多边形的正面投影。xOabcdefa'b'x1d1'(c1')f1'(e1')45°a1'(b1')f'e'd'c'22应用举例

[例题2]

已知A与直线BC的投影，求点A到BC直线间的距离。c'2X2H1V2H1X1Vb'2a'2k'2距离kk'baa'b'c'cXHVa1b1c1k1空间分析23应用举例[例题3]

求交叉两直线AB和CD间的最短距离