十大高中平面几何几何定理及证明

时间：二O二一年七月二十九日高中平面几何定理汇总及证明之勘阻及广创作1.时间：二O二一年七月二十九日共边比例定理有公共边ABPQ,AB与PQ于点MPABQABQM.证明：分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线,面积比=底长比）同理,S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线,面积比=底长比）定理得证！时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日特殊情况：当PB∥AQ△PAB△QABS△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,则PB∥AQ.正弦定理在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且即是2a/sinA=b/sinB=c/sinC=,R）证明：现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O.我们考虑∠C其对边AB.设AB长度为c.若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c=2r.∵ （特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`交⊙O于C`,连接C'A,显然BC'=2r=R.若∠C为锐角,则C'与C落于AB∴在Rt△ABC'中有时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日若∠C为钝,则C'与C落于AB的异,BC的对边为a,此时∠C'=∠A,亦可推出 .考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得.分角定理在△ABC,DBCB,C连结AD,则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC).证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD…………S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2)×AC×AD×sin∠CAD]=(sin∠BAD/sin∠CAD)×(AB/AC) (1.2)1.11.2张角定理在△ABC,D是BC上的一,连结AD.那么 证明：时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD由分角定理,S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)(BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC(1.1)S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)(CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB(1.2)(1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD帕普斯定理l1A,B,C,l2D,E,FAE,BDG,AF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H蝴蝶定理SABSCFDECFDEAB点M和N,则S是MN证明：过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O,S,N,L（一中同长）同理,O,T,M,S∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形极点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂足共线.（此线常称为西姆松线）.过三角形外接圆上异于三角形极点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂足共线.（此线常称为西姆松线）.证明：时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日若L、MNBP,CP,则因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、LPN和P、 MC、L分别四点共,有∠NBP=∠NLP=∠MLP=∠MCP.故A、BPC若A、PBC∠NBP=∠MCP.因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、LPN和P、M、C、L∠NBP=∠NLP=∠MCP=∠MLP.故L、MN证明：PM⊥AC,PN⊥ABA,M,N,P圆清宫定理设P、Q△ABC的外接圆上异于ABC,P关于三边BCCAAB时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、EF,则DE、F证明：A、B、P、C四点共圆,因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称,所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子,有∠PCV=∠PBW另一方面,因为∠PCQ∠PBQPQ∠PCQ=∠PBQ两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV△QBW时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日可是 , ,所同理,于是根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在同一直线上.密克定理三圆定理：设三个圆C1,C2,C3交于一点O,而M,N,PC1和C2,C2C3,C3C1A为C1点,直线MA交C2于B,直线PA交C3于C.那么B,N,C这三点共线.,M,N,PAB,BC,CA△AMP、△BMN、△CPN的外接圆交于一点完全四线形定理如果ABCDEFO克点.四圆定理设C1,C2,C3,C4,A1和B1C1和C2A2和B2是C2和C3,A3和B3C3和C4时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日A4和B4是C1和C4的交点.那么A1,A2,A3,A4四点共圆当且仅当B1,B2,B3,B4四点共圆.△ABCBC,AC,ABW,M,N,对AMN,△BWN该定理的证明很简单,利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理.现在已知U是和的公共点.连接UM和UN,∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形,∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180∴∠UWB=∠UNA.同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180∴∠UWB=∠UMC.∵∠UMC+∠UMA=180∴∠UNA+∠UMA=180度,这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形,而该圆必是,U必在上.婆罗摩笈多定理时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,M.EF⊥BC,且M在EF上.那么F是AD证明：∵AC⊥BD,ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF,即F是AD逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边.证明：∵MA⊥MD,F是AD中点∴AF=MF时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC托勒密定理圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)即是两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．圆内接四边形ABCD,求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CPBD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP,AC·BP=AD·BC①.又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP,AC·DP=AB·CD②.①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日即AC·BD=AB·CD+AD·BC．梅涅劳斯定理当直线交时,

三边所在直线 于点.证明：过点C作CP∥DF交AB于P,则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点FD、E分别在边三角形的三边ABBCCAAF/FB×BD/DC×CE/EA=1,F、DE证明：先假设E、F、D三点不共线,直线DE与AB交于P.由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1.∵(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1.∴AP/PB=AF/FB；∴(AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB；∴AB/PB=AB/FB；∴PB=FB；即PF时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日∴D、E、F三点共线.塞瓦定理在△ABC内任取一点O,延长AOBOCO边于D、E、F,则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1.∵△ADC被直线BOE所截,∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①∵△ABD被直线COF所截,∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②/①约分得：(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1圆幂定理相交弦定理：如图Ⅰ,AB、CD为O连接ADBC,由于∠B∠D弧AC所对的圆周,因此由圆周角定理知：∠B=∠D,同理∠A=∠C,以 .所以有： ,即： .割线定理：如图Ⅱ,连接AD、BC.可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日所以有,同上证得 .AC、AD.∠PACPAAC切角,因此有∠PBC=∠D,又因为∠P,易证图Ⅳ,PAPC∠PAO=∠PCO=90°,OC=OA=R,PO.所以PA=PC,所以.综上可知,是普遍成立的.点对圆的幂P点对圆O的幂界说为点P在圆O→PO点P在圆O→PO时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日点P在圆O→PO三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心各极点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心根心定理三个两两分歧心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一：三个两两分歧心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点,该点称为三圆的根心.平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日根轴界说：A与B的根轴L1：到A与BB与C的根轴L2：到B与C证明设A、BC考察L1与L2的交点P.因为P在L1P到A=P到B因为P在L2P到B=P到C到A=P到B=P到C到A=P到C在A与C所以：三个根轴交于一点.鸡爪定理设△ABC的内心为I,∠A内的旁心为J,AIK,则KI=KJ=KB=KC.证明：由 内心和 旁心的 界说可 知时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日∠IBC=∠ABC/2,∠JBC=(180°-∠ABC)/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理,∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆,且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点∴KB=KI=KJ=KC逆定理：设△ABC∠BAC△ABCK.AKKI=KB=KJI△ABC,J△ABC是△ABC,J△ABC证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理.取△ABC的内心I'和旁心J’,根据定理有KB=KC=KI'=KJ'时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日又∵KB=KI=KJ∴I和I',JJ’重合即I和J费尔巴哈定理三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切设△ABC的内心为I,九点圆的圆心为V.三边中点分别为L,M,N,内切圆与三边的切点分别是P,Q,R,三边上的垂足分别为D,E,F.无妨设AB>AC.假设⊙I⊙VTLT⊙I交,设另一个交点为S.过点S⊙I的切线,分别交AB和BCV,U,连接又作两圆的公切线TX,使其与边AB位于LT∠XTL=∠LDT而TX和SV⊙I∠XTL=∠VST时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日因此∠LDT=∠VST则∠UDT+∠UST=180°这就是说,S,T,D,U共圆.而这等价于：LU×LD=LS×LT又LP²=LS×LT故有LP²=LU×LD另一方面,T⊙V因此L,D,T,N∠LTD=∠LND由已导出的S,T,D,U共圆,得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日=∠C-∠B（这里用了LN∥AC,以及直角三角形斜边上中线即是斜边的一半）所以,就获得∠AVU=∠C注意到AV,AC,CU,UV均与⊙I相切,于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加,即知∠AIU=180°也即是说,A,I,U三点共线.另外,AV=AC,这可由△AIV≌△AIC获得.（这说明,公切点T连接AI,并延长交BC于点U,过点U⊙IS,交ABV,最后连接LS,其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点连接CV,与AUK,时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日则K是VC前面已获得：LP²=LU×LD而2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV即LP=BV然而LK△CBV于是LK=BV因之LP=LK故LK²=LU×LD由于以上推导均可逆转,因此我们只需证明：时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日LK²=LU×LD.往证之这等价于：LK与圆KUD相切于是只需证：∠LKU=∠KDU再注意到LK∥AB（LK△CBV）,即有∠LKU=∠BAU又AU∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需证：∠CAK=∠KDU即证：∠CAK+∠CDK=180°这即是证：A,C,D,K四点共圆由于AK⊥KC（易得）,AD⊥DC所以A,C,D,K确实共圆.这就证明了⊙I⊙V证毕另略证：OI2=R2-2Rr时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日IH2=2r2-2Rr'IH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'(其中r‘H,Rr角形ABCFI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切（九点圆半径为外接圆半径一半.F,I）莫利定理将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交获得一个将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交获得一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c3α,3β,3γ,α+β+γ=60°.在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sin(α+β).不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]∴AF:AE=[4sinβsin