第十四讲金融衍生产品与资产组合管理

第十四讲金融衍生产品与资产组合管理一金融衍生产品的基本功能金融衍生产品本身没有价值，它们的价值源自于其标的资产的价值。金融衍生产品的使用源自于降低风险的需求，它们只有在波动的环境中才有价值，它们最基本的功能是对冲标的资产（所有价格会发生波动的资产，如农产品、原材料和能源产品、货币、债券和股票等）的风险。2金融衍生产品并不能够减少标的资产价格波动的风险，但它能够将风险从规避风险的群体转移到愿意承担价格波动风险的群体中去。自1970s以来，金融衍生产品创新和交易量发生了急剧增长，这种现象出现的根本原因不在于金融衍生产品的设计、定价和管理技术更加复杂和先进，而在于利率、汇率和石油价格等的波动更为频繁和剧烈，这导致了对风险管理产品日益增长的需求。3二股票远期合约的套利定价几何布朗运动。设现在时刻是0，用S(y)表示未来y时刻的股票价格。如果对任何非负的实数y，t，随机变量[S(t+y)/S(y)]独立于y时刻及此前的所有价格，且㏑[S(t+y)/S(y)]是均值为μt，标准差σ√t的正态随机变量，我们就称价格族S(y)，0≤y<∞服从漂移参数为μ，波动参数为σ的几何布朗运动的分布。4假设时刻0的股票价格为S(0),可以计算出时刻t证券价格的期望值E[S(t)]=S(0)exp[(μ+σ²/2)t]在一个股票远期合约中，合约双方在时刻0分别同意在未来时刻t以价格F购买和交割一股股票。问：该远期合约的交割价格是否应定为F=S(0)exp[(μ+σ²/2)t]5根据证券未来价格的期望值进行远期交易会承担非常高的风险，它给出的仅仅是一个建议价格，而不是一个可执行价格。套利机制可以提供一个可执行的价格。假设所有投资者都可以以无风险利率借入或贷出资金。假设借款的年名义利率固定为r，且以连续计息的复利形式支付利息，那么，如果投资者在0时刻借入（或贷出）1元钱，他在t时刻将要归还（或获得）的本息和就为exp(rt)。6由于投资者可以将借入或贷出资金、买入或卖空股票现货、买入或卖出股票远期合约的操作组合起来进行套利，因此，为了不存在套利机会，股票远期合约的交割价格应定为F=S(0)exp(rt）套利策略。如果F>S(0)exp(rt)，投资者在时刻0借款S(0)购买1股股票，并卖出一个在t时刻以价格F交割1股股票的远期合约，那么他在t时刻交割股票和偿还借款后，还能获得正利润[F-S(0)exp(rt)]。7如果F<S(0)exp(rt)，投资者在时刻0购买一个在t时刻以价格F交割1股股票的远期合约，同时卖空1股票并将获得的资金贷出，那么，他在t时刻按远期合约的交割价F购买1股股票用于偿还当初借入的1股股票后，还能获得正利润[S(0)exp(rt)-F]8由股票远期合约的套利定价原理也可以推出，要使服从漂移参数为μ，波动参数为σ的几何布朗运动的分布的股票价格时间序列不存在套利机会，必须使E[S(t)]=S(0)exp[(μ+σ²/2)t]=S(0)exp(rt)]，从而μ=r-σ²/29也就是说，在关于股票价格时间序列服从的分布律中，惟一一个不存在套利机会的概率分布是漂移参数为(r-σ²/2)，波动参数为σ的几何布朗运动的分布。10三股票指数期货的套利定价股票指数股票指数是衡量股票市场总体价格水平及其变动趋势的尺度。股票价格指数的编制步骤。选择样本股票。从在一家股票交易所上市的全部股票当中，选出一部分能够反映整个市场价格变动趋势的代表性股票。这一部分样本股票通常包括规模最大的公司或每个行业中最具代表性的公司发行的股票。11选定基期，将基期股票价格指数（即股票价格指数的基数）指定为一常数，通常为10，100或1000。使用市值加权平均法计算报告期股票指数：报告期股票指数=（报告期总市值/基期总市值）*基期股票价格指数12股票指数期货合约的定义尽管股票指数仅仅反映股价随时间而发生的相对变动，其绝对水平是人为确定的，我们仍然可以给股票指数的每一绝对水平确定一个货币额。例如，将金融时报100指数的每一个点数确定为“价值”25英镑，则2830点的指数水平“价值”70750英镑。13要使这一人为确定的股票指数的绝对“价值”有意义，必须使其等于一篮子股票（该篮子中的股票对应于股票指数的成分股，且花费在每一只股票上的货币额与花费在所有股票上的货币额的比例等于该股票市值与所有股票市值的比例）的市值总额。这样的一篮子股票的市值变动会精确地股票指数的变动。14股票指数期货的定义利用了股票指数“价值”的上述特点。所谓股票指数期货，就是买入或卖出相应股票指数面值的合约，而股票指数面值则被定义为股票指数乘以某一特定货币额所得的值。例如，标准普尔500指数期货于1982年开发出来，并于1983年开始在芝加哥商品交易所交易。该指数期货合约规定，每一指数点价值500美元。1993年4月19日，该指数处于448.94点的水平，相应的指数期货合约的面值则为224470美元。15股票指数期货合约的清算机制与有形商品期货合约的清算机制（有一部分合约会在到期日进行实物交割）不同，以无形的金融工具（如利率和股票指数）为基础的期货合约即使持有到期，也不会发生实物交割，而是全部采用现金结算形式。所有头寸的损益将由一方以现金的形式支付给另一方。16与远期合约（仅在平仓后或在交割日以现金支付损益）不同，每份未清仓的期货合约在每个交易日结束后都要根据商品交易所期货合约价格变化情况清算一次，每天计算出的损益都会记录在交易者保证金账户的借方或贷方，损失必须在第二天用追加保证金补上，盈余则可以从保证金账户中提走。这种保证金制度使得期货合约每日的损益都能以现金形式实现。17订立股指期货合约时交易双方之间不发生现金支付，在交割日，按最后交易日（交割日的前一个营业日）10:10-10:30之间的平均股票指数水平进行现金结算。18股指期货作为投机工具和资产组合管理工具的优点：由于持有股指期货多头头寸就相当于直接持有股票市场组合，持有股指期货空头头寸就相当于卖空股票市场组合，因此，股指期货使投资者既能对股票市场进行投资，又能避免直接买卖股票的麻烦和费用，它对希望频繁进出市场的投机者尤其具有吸引力。19保证金交易制度使投资者无须投入大量资金就能对股票市场整体的波动进行投机。由于股票指数期货合约要求的保证金仅限于交易者持有头寸在一天内的潜在最大损失，因此，这种保证金要求可以提供10至40倍的杠杆率。股指期货合约的交易成本比股票低许多倍。建立一个期货头寸并在一段时间后对冲的费用为每份合约25英镑或25美元，而买卖价值相当的一篮子股票的交易费用通常为800英镑。20建立股指期货空头头寸要比卖空股票容易得多。卖空股票通常需要一定的股票借贷安排，有些股票交易所还有“只允许在价格上扬时卖空”的规定。而在期货市场上，买卖期货合约完全是对称的交易过程，多方和空方的权利和义务是对称的，因而无需交易所对期货交易施加严格的限制。21大型资产组合的管理人可以在无须直接买卖股票的情况下，使用股指期货对冲其资产组合的市场风险。由于股指期货的上述优点，它提高了风险在个人间配置的效率，从而能够提高社会的总福利。22股指期货的套利定价方法在交割日之前，股指期货合约的卖方可以使用现金-持有策略对冲其空头头寸的风险。具体操作如下：以无风险利率r借入相当于股指面值的资金；用借入的现金买入一个能复制股票指数的股票组合（其组合比例与股指结构相同，总价值等于股指面值）；卖出一份股指期货合约；23持有股票组合直到股指期货的最后交易日，并将该期间获得的所有股息投资于无风险债券；在股指期货的最后交易日卖出股票组合；在交割日对股指期货合约进行现金结算；将卖出股票组合和期货结算所得的现金用于偿还借款。24使用上述策略会使投资者的收益免受股指波动的影响。例如，如果股市在交割日前下跌了，则卖出股票所得的现金可能不足以偿还借款，但在这种情况下，期货合约的空头头寸会获得正利润。由①+②+③构成的无风险证券组合可用来确定股指期货合约的公正价格。25股指期货合约公正价格FP的计算公式为：FP=I(0)(1+rt)-∑DIVi(1+rti,D)其中，I(0)表示实施现金-持有策略时的股指面值，r表示借款利率，t表示实施现金-持有策略的时间，DIVi表示现金-持有策略实施期间第i只股票的股息（i=1，2，…，n），ti,D表示第i只股票支付股息日距离交割的时间。26如果在交割日前任何一天的股指期货合约的价格高于或低于根据上述公式计算出的价格，投资者就可以通过实施现金-持有策略或反向现金-持有策略进行套利。27四期权定价模型为什么期权与众不同？尽管远期、期货和互换等衍生工具能够为参与人提供完全的套期保值，但是，确定性并不总是最好的，尤其是在事后看来。这是因为，如果我们选择用确定性替代风险，那么，我们在消除对己不利的可能结果的同时，也消除了对己有利的可能结果。28在所有金融衍生工具中，期权是独特的一种，它使买方有能力规避不利的可能结果，同时从有利的可能结果中获利。因此，期权以及由它衍生出来的其他工具似乎是世界上最好的东西。当然，期权不是的，获得一种永远不会带来坏处的东西肯定是要付钱的。尽管要付出代价，期权仍然是投资者控制和管理风险（而不是完全规避）的理想选择。29尽管人们使用各种各样的期权已有几百年的历史，但是，金融期权直到1970s才被创造出来，并在1980s获得广泛的应用。如今，期权已成为所有金融工程工具中功能最多和最富吸引力的工具。期权的灵活性创造了很多可能性，且其他金融工程工具常常隐含期权原理。30由于期权允许买方从市场价格的有利变动中获利并避免不利变动对其造成的损失，相反，市场价格的变动只会给期权卖方造成损失，而不可能提供赢利的机会，因此，期权的买卖双方的权利和义务是不对等的，这就使得在订立合约时买方向卖方支付一笔费用成为必要。31期权还具有内在杠杆作用。例如，假设某一股票的现价为24.47元，并假设执行价格为25元并在一个月后到期的该股票看涨期权的价格为1.05元，那么，购买一手股票与购买一份看涨期权合约相比，如果股票价格在这一个月内从24.47元上升到30美元，前者的收益率仅为22.6%，后者的收益率则超过376%32期权定价的困难期权合约的卖方不能像那样采用现金-持有策略进行套期保值。这是因为，期权的卖方在事前并不知道期权在到期日是否会被行使，从而不能确定自己是否应在到期日前买入（或卖出）标的资产。33例如，假设投资者采取卖出看涨期权合约+买入标的资产的证券组合策略，那么，如果看涨期权在到期日处于虚值状态（标的资产价格低于期权合约的交割价格），期权买方就不会行使期权，从而期权卖方就不能通过交割标的资产抵消其购买的标的资产所遭受的价格下跌的损失。可见，由于期权最终是否会被行使的不确定性，期权卖方很难进行套期保值，从而很难通过建立零风险证券组合来确定合适的期权价格。34有两种方法可用来解决期权最终是否会被行使的不确定性问题，从而确定期权的合适价格。一种方法是对标的资产在一段时间内的价格变动的概率分布做出假设，从此出发就可以估计期权在到期日的期望价值。著名的布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是使用这种方法推导出来的。35另一种方法根据的是在第一次卖出期权时将期权与标的资产按一定比率结合起来创造零风险的证券组合的可能性，并在此后不断根据标的资产价格的变化调整套期保值率直至期权到限。使用这种方法可以推导出期权定价的二项模型。363Black-Scholes期权定价模型假设条件：不存在交易费用、税赋或保证金要求，资产具有无限可分性；标的股票在期权到期日前不支付红利；无风险利率r和标的股票收益率的标准差σ在期权有效期内固定不变；标的股票价格是连续的，不会突然发生大的跳跃；套期保值过程是连续进行的，因此，套期保值头寸一直保持得很完美。37定价方法：前面已证明，在关于股票价格时间序列服从的分布律中，惟一一个不存在套利机会的概率分布是漂移参数为(r-σ²/2)，波动参数为σ的几何布朗运动的分布。根据套利定理，期权价格要么等于在标的股票价格运动服从上述概率分布的情况下，期权在到期日的期望收益的现值，要么存在套利机会。38Black-Scholes看涨期权定价公式：欧式看涨期权的公正价格应等于其到期日期望收益的现值，用公式表示为：

C=S(0)N(d)-Kexp(-rt)N(d-σ√t)，其中，

d={㏑[S(0)/K]+(r＋σ²/2)t}/(σ√t)

其中，C为期权价格，S(0)为标的股票在0时刻的价格，K为执行价格；r为无风险利率，它以连续复利为基础；σ为标的股票收益率标准差；t为距离到期日的时间；N(d)为标准正态分布小于d的概率（累积概率）。39Black-Scholes看涨期权定价公式的推导过程：C=exp(-rt)E{I[S(t)-K]}

其中，I=1[若S(t)>K]或0[若S(t)<K]E[I]=P[S(t)>K]=P{㏑[S(t)/S(0)]>㏑[K/S(0)]}=N(d-σ√t)E[IS(t)]=∫S(0)exp(x)exp[-(x-rt+σ²t/2)²/σ²t]dx/σ√(2πt)[积分区间为（㏑K/S(0），∞）]=∫S(0)exp[rt-σ²t/2+yσ√t]exp(-y²/2)dy/√(2π)40可以求得：E[IS(t)]=S(0)exp(rt)N(d)C=exp(-rt)E{I[S(t)-K]}=exp(-rt)E[IS(t)]-Kexp(-rt)E[I]=S(0)N(d)-Kexp(-rt)N(d-σ√t)41Black-Scholes看跌期权定价公式可以使用下述无风险证券组合确定看跌期权合约的公正价格：卖出一份看涨期权+买入一份看跌期权+买入一手标的股票+借款Kexp(-rt)，其中，看跌期权和看涨期权的到期日都为t，交割价格都为K。上述证券组合在交割日的价值为零，从而在0时刻的价值也应为零，因此，看跌期权价格P=C-S(0)+Kexp(-rt)42Black-Scholes期权定价公式的应用某一期权的套期保值率是标的股票价格上涨1元时该期权价值的变化。使用Black-Scholes期权定价公式，很容易计算出期权的套期保值率：看涨期权的套期保值率为N(d)，看跌期权的套期保值率为N(d)-1。43投资者可以采取“买入股票+买入该股票的看跌期权”或“买入股票+卖出该股票的看涨期权”或“卖空股票+买入该股票的看涨期权”的策略，并使股票数量/期权数量=套期保值率，就能够实现证券组合的套期保值。套期保值率应根据股票价格的变化不断地进行调整，才能使证券组合始终保持在风险对冲的状态。44如果看涨期权的市场价格高于或低于按Black-Scholes期权定价公式计算出的期权基本价值，则意味着看涨期权价格高估或低估。如果投资者相信市场将会纠正定价的错误，他就会试图通过在当前卖出或买入期权来赚取差价。但是，由于期权基本价值会随着标的股票价格的变化而变化，而投资者又无法预测股票价格未来会上升还是下降，因此，投资者要想赚取无风险利润，需要按上述原则构建能够对冲期权和股票风险的证券组合。45例.假设一个执行价格为25元的10月份看涨期权的市场价格为2.00元，其标的股票的当前价格为25元，根据Black-Scholes期权定价公式计算出的期权基本价值为1.63元，套期保值率N(d)=0.55。投资者在当前以25元的价格购买550股股票，花费13750元；以2.00元卖出1000个看涨期权（假设一个期权控制1股股票）获得2000元的收入；净投资为11750元。46假设在两天后，期权市场价格回归其基本价值，但股票价格和期权基本价值也发生了变化。考虑股票价格上涨到26元和下跌到24元这两种情况。如果股票价格上涨到26元，那么，股票头寸产生550元的利润。同时，期权基本价值变为1.63+0.55=2.18元，期权头寸损失180元。期权和股票组合的净利润为370元（刚好等于期权的错误定价部分带来的收益）。47如果股票价格下跌到24元，那么，股票头寸损失550元；同时，期权基本价值变为1.63-0.55=1.08元，期权头寸获利920元。股票和期权组合的净利润为370美元。可见，无论股票价格上涨还是下跌，上述证券组合都产生370美元的利润。48除了首先根据历史数据估计标的股票收益率的标准差并将其代入Black-Scholes公式计算期权的基本价值外，投资者也可以从另一个角度来看期权的定价问题。我们可以假设期权的市场价格与Black-Scholes公式计算出的期权基本价值一致的，然后将期权的市场价格代入该公式计算出期权价格中隐含的股票标准差。如果股票的实际标准差高于隐含标准差，则意味着期权价格低估。49五资产组合保险从上一节可以看出，期权能够为标的股票提供保险。比如，购买看跌期权能限制标的股票多头头寸遭受的价格下跌风险，购买看涨期权能限制标的股票空头头寸遭受的价格上涨风险。但是，在实践中，使用期权对股票组合进行保险存在一些困难。首先，投资者的股票组合可能不同于股票指数。其次，大多数股票和股票指数期权的期权一般只有几个月，只有股票指数期权和少数大盘股的期限可以达到几年，且这些期权的交易不活跃。50因此，期限为几年的股票组合保险的供应者不能简单地将委托人的股票组合购买看跌期权作为权宜之计，而需要采取能复制期权与股票组合收益的投资策略。伯克利大学金融学教授利兰德和鲁宾斯坦在1980s开发出了一种资产组合保险技术，这是一种在不同类型的资产之间动态地分配资金的策略。51当股票市场正在上升时，更大比例的资金应当投向投票；在某一高点之上，可以将资金全部投资于股票，如果股票继续上涨，就能够大获其利。相反，当股市下跌时，应减少投资于股票的资金的比例，将更多的资金转向有利息收入的存款或债券，以此来限制资产组合价值的损失；当股市下降到某一低点时，资金应完全投资于固定收入证券，如果股市继续下跌，资产组合的价值也不会继续损失。52这种动态资产分配策略之所以被称为“资产组合保险”，是因为它与保单（以及期权）非常类似。起始价格和底部价格之间的差额类似于保单中的免赔额：这部分损失必须由保单持有者自己承担。保单的成本具有逐步性的特征。当市场开始下跌时，股票组合逐步变现，但仍持有一些股票。当市场上涨时，开始购买股票，但仍持有一些现金。结果是这个资产组合在上涨和下跌两个方向上的表现都有轻微的滞后，这个滞后就构成了费用。市场的波动性越大，这个滞后所表现出的费用就越多，这正如同传统保单中的保费取决于承保项目的不确定程度。53在实践中，这个资产组合保险计划的实施会遇到同时处理买卖几百只股票指令的困难和高交易成本。这可以通过减少触发点（股票投资比例需要重新调整的价格水平）和使用计算化指令执行系统来缓解。使资产组合保险计划得以成功实施的一个重要原因是，1983年开始在芝加哥商品交易所形成的标准普尔500期货合约交易市场。54标准普尔500期货合约提供了一种可替代直接买卖股票的灵活且低成本的方法，因而使资产组合的动态调整变得容易和廉价。当股市下跌时，投资者不必将股票组合变现，而可以通过卖出股票指数期货合约来对冲股票组合的价格下跌风险。例.假设标准普尔500指数目前为1000点，投资者的股票组合的价值为3000万元。55当股票指数下降到975点时，其下降百分比为2.5%，假设股票组合的β值为0.8，则股票组合的损失率为2.0%，账面价值损失为2.0%*3000万=60万元。为了对冲这个风险，投资者可以在目前卖出标准普尔500期货合约。由于该合约的乘数为250美元，指数下跌25个点会给合约的卖方带来6250元的收入。这样，股票组合持有者通过卖出60万/6250=96个期货合约，就能对冲其股票组合价值随市场下跌而降低的风险。561980年秋天，利兰德和鲁宾斯坦的资产组合保险有了第一个客户。不久后，对资产组合保险的需求急剧增长，于是，很多实力强大的竞争者也加入到了这个领域，其中最著名的是旧金山的美商富银行旗下的资产组合管理集团。截至1987年，大约有价值600亿的资产组合参加了此类保险，其中的大部分是大型养老基金投资的资产组合。57但是，资