2020高中数学 第1章 解三角形 1. 正弦定理、余弦定理的应用讲义 5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精1。3正弦定理、余弦定理的应用学习目标核心素养1。能将实际问题转化为解三角形问题．(难点）2。能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点）通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.正、余弦定理在物理学中的应用【例1】如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA,OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA,OB所受的力．思路探究：先借助向量的合成与分解画出图示,然后借助正弦定理求解．[解]如图，作eq\o（OE，\s\up12(→）)＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解,即作▱OCED,则eq\o(OD,\s\up12（→))＝eq\o(CE,\s\up12(→))＝F1,eq\o（OC，\s\up12(→））＝F2.由题设条件可知，｜eq\o(OE，\s\up12(→)）｜＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°,所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°。在△OCE中，由正弦定理，得eq\f（|F｜，sin50°)＝eq\f(｜F1|,sin60°），eq\f（|F|,sin50°)＝eq\f（｜F2｜，sin70°）,因此，|F1|＝eq\f（10sin60°,sin50°）≈11.3N,|F2|＝eq\f(10sin70°，sin50°)≈12.3N.即灯杆OA所受的力为11。3N，灯杆OB所受的力为12.3N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形,得出实际问题的解。1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30N,F2＝50N,F1与F2之间的夹角是60°,求F3的大小与方向(精确到0.1°)．［解]F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中,由余弦定理,得F＝eq\r(302＋502－2×30×50cos120°）＝70（N），再由正弦定理,得sin∠F1OF＝eq\f（50sin120°,70）＝eq\f（5\r(3），14），所以∠F1OF≈38。2°,从而∠F1OF3≈141.8°。即F3为70N，F3和F1间的夹角为141。8°.正、余弦定理在几何中的应用【例2】如图，在△ABC中，B＝eq\f（π，4），AC＝2eq\r(5),cosC＝eq\f(2\r（5）,5）。（1）求sin∠BAC的值；(2）设BC的中点为D,求中线AD的长．思路探究：(1)（2)［解］(1)因为cosC＝eq\f（2\r(5),5），且C是三角形的内角,所以sinC＝eq\r（1－cos2C)＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5)，5)))2）＝eq\f(\r(5）,5)。所以sin∠BAC＝sin[π－（B＋C)］＝sin（B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f（\r（2）,2)×eq\f（2\r(5），5)＋eq\f(\r(2）,2)×eq\f(\r(5)，5)＝eq\f(3\r（10)，10)。(2)在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(BC,sin∠BAC）＝eq\f(AC，sinB），则BC＝eq\f（AC，sinB)×sin∠BAC＝eq\f（2\r（5)，\f（\r(2),2))×eq\f(3\r(10），10）＝6,所以CD＝eq\f（1，2）BC＝3。又在△ADC中，AC＝2eq\r（5)，cosC＝eq\f(2\r(5），5），所以由余弦定理得,AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CD·cosC）＝eq\r（20＋9－2×2\r（5）×3×\f(2\r(5）,5))＝eq\r(5).（三角形中几何计算问题的解题思路1正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形，一般问题便能很快解决。2此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件。2.如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°,BD交AC于E，AB＝2。（1）求cos∠CBE的值；(2)求AE.[解］（1）因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°.所以cos∠CBE＝cos（45°－30°）＝eq\f(\r(6）＋\r（2）,4）。（2）在△ABE中,AB＝2，由已知和(1）知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得eq\f(AE,sin30°)＝eq\f（2,sin105°),∴AE＝eq\f（2sin30°，sin105°)＝eq\f(2×\f（1，2),\f(\r（6）＋\r(2)，4))＝eq\r（6）－eq\r(2）。正、余弦定理在测量学中的应用[探究问题]1．如图,A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？［提示]在河岸这边选取点C，D,测得CD＝a,∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC,BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB。2．如图,如何测量山顶塔AB的高?(测量者的身高忽略不记)［提示］测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．【例3】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋eq\r（3））海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3）海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时？思路探究：在△ABD中,利用正弦定理求出BD的长，再在△DBC中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间．［解］由题意知AB＝5（3＋eq\r(3)),∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°,所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f（1,2）＋eq\f（\r（3），2)×eq\f(\r(2）,2)＝eq\f（\r（2)＋\r(6),4），在△ABD中，由正弦定理得eq\f（BD，sin∠DAB）＝eq\f(AB，sin∠ADB），所以BD＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3）·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·\f（\r(2），2)，\f(\r（2)＋\r（6），4))＝eq\f（10\r（3)1＋\r(3）,1＋\r(3）)＝10eq\r(3）,又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°,BC＝20eq\r（3）,在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r（3）×eq\f(1，2)＝900，所以CD＝30(海里),则至少需要的时间t＝eq\f（30,30)＝1(小时)．本例中，A与B的距离改为“5(eq\r（2)＋eq\r（6））海里”，点C的位置改为“位于A点南偏西15°且与A点相距10eq\r（3）海里,如图所示”,其他条件不变，应如何解答？[解］在△ABD中，由正弦定理得eq\f（AD，sin∠ABD)＝eq\f（AB,sin∠ADB），所以AD＝eq\f（AB·sin∠ABD，sin∠ADB)＝eq\f(5\r（2）＋\r（6)·sin30°,sin105°）＝eq\f（5\r(2)＋\r(6)·\f（1,2),\f(\r（2）＋\r(6)，4））＝10。在△ACD中，∠CAD＝90°＋45°＋15°＝150°,AD＝10，AC＝10eq\r(3)，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2×AD×ACcos150°＝100＋300－2×10×10eq\r(3）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3）,2)））＝700，所以CD＝10eq\r（7)(海里），则需要的时间t＝eq\f(10\r（7)，30）＝eq\f（\r(7），3）(小时）．1．解决测量高度问题的一般步骤(1)画图:根据已知条件画出示意图；（2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达,两点都不可达．解决此问题的方法是,选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息,避免出现增解或漏解．1．本节课要掌握四类问题的解法（1）测量距离问题．（2)测量高度问题．(3)角度问题．(4)与立体几何有关的测量问题．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．1．判断正误（1）已知三角形的三个角，能够求其三条边．(）（2）两个不可到达的点之间的距离无法求得．（）（3)东偏北45°的方向就是东北方向．(）(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．（)［答案](1）×（2）×(3)√(4）√［提示]已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故（1）错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．2．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°，用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有()A．d1〉d2 B．d1〈d2C．d1>20m D．d2<20mB［如图，设旗杆高为h,则d1＝eq\f（h,tan50°），d2＝eq\f(h，tan40°）.因为tan50°>tan40°,所以d1<d2。］3．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r（3）h，该船实际航程为________．6km［v实＝eq\r（22＋42－2×4×2×cos60°)＝2eq\r（3)(km/h)．所以实际航程为2eq\r（3）×eq\r（3）＝6（km)．］4．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要________元．150a[∵S△＝eq\f（1,2）×20×30×sin150°＝eq\f(1，2）×20×30×eq\f（1,2）＝150（m2）,∴购买这种草皮需要150a元．］5．如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达)，若在河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠BCA＝60°,∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A,B两点间的距离是多少?[解]在△ACD中，应用正弦定理得AC＝eq