2020高中数学 第1章 集合章末复习课学案 1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第1章集合集合的基本概念【例1】已知集合A＝{0,1，2},则集合B＝｛x－y｜x∈A，y∈A｝的子集个数是（）A．8B．16C．32 D．64[思路探究］先确定集合B中元素个数,再利用子集个数的计算公式求解．C[yx－yx01200－1－2110－12210由上表知，B＝{－2，－1，0,1，2｝，其子集个数为25＝32.]1．用列举法表示集合,其默认的条件是集合中的元素各不相同，也就是说集合中的元素一定要满足互异性．2．判断集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一个集合时只能算作一个．3．若集合中的元素含有参数，要抓住集合中元素的互异性,采用分类讨论的方法进行研究．1．若集合A＝｛x∈R｜ax2＋ax＋1＝0｝中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0 D．0或4A［当a＝0时,A＝∅，不合题意；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.]2．若2∈｛2a－1,1－a2｝，则a＝________.eq\f(3,2)[∵1－a2≤1,∴2a－1＝2，解得a＝eq\f(3,2)。］集合的基本关系【例2】已知集合A＝{x|x>0，x∈R}，B＝｛x｜x2－x＋p＝0},且B⊆A，求实数p的取值范围．［解]（1）当B＝∅时,B⊆A，由Δ＝(－1)2－4p〈0，解得p>eq\f(1,4)。(2)当B≠∅，且B⊆A时，方程x2－x＋p＝0存在两个正实根．由x1＋x2＝1〉0，Δ＝（－1)2－4p≥0，且x1x2＝p〉0,得0<p≤eq\f（1,4）.由(1）（2)可得p的取值范围为｛p|p〉0｝．1．判断两集合关系的两种常用方法一是化集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．3．已知集合A＝｛x∈R｜－2〈x<4}，B＝{x|x＋3>0}，则A与B之间的关系为（)A．ABB．ABC．A＝B D．ABA[B＝{x|x>－3｝,把集合A，B在数轴上表示出来由上图知，AB.］4．已知{x|x2－5x＋6＝0}⊆｛a，2,2a－1},求实数a的值．［解]由{x｜x2－5x＋6＝0}＝｛2，3}，得3∈｛a，2，2a－1}，∴a＝3，或2a－1＝3，解得a＝2或3。当a＝2时，集合｛a,2,2a－1｝中的元素不满足互异性,舍去．当a＝3时，{a，2，2a－1}＝｛3，2,5}满足题意．综上得,a＝3。集合的基本运算设集合A＝｛x|－1≤x≤6｝,B＝｛x｜m－1≤x≤2m＋1},已知A∪B＝A，求实数m的取值范围．[思路探究]由A∪B＝A知B⊆A,需按B＝∅与B≠∅两种情况讨论，当B≠∅时，利用数轴列出关于m的不等式组求得m的取值范围．[解]∵A∪B＝A，∴B⊆A。当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅,符合题意．当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴表示如图所示．则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2）.综上所述,实数m的取值范围是m〈－2或0≤m≤eq\f(5,2)。在集合运算过程中应力求做到“三化"：1意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集,还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集.2具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式。3直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.5．(1)已知集合P＝{x|x2≤1｝，M＝{a｝．若P∪M＝P，则a的取值范围是(）A．－1≤a≤1 B．a≥1C．a≤－1 D．a≥1或a≤－1（2）若集合A＝{x|｜x｜≤1,x∈R},B＝｛y｜y＝x2，x∈R｝,则A∩B＝（）A．｛x｜－1≤x≤1} B．｛x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅(3）已知A，B均为集合U＝{1，3,5,7,9｝的子集，且A∩B＝｛3}，(∁UB）∩A＝{9｝,则A＝(）A．{1,3} B．{3，7,9｝C．{3,5，9} D．｛3，9｝（4）设全集U＝{1,2,3,4，5｝，集合A＝{1，a2－1，4}，∁UA＝｛2，a＋3}，则实数a＝________。（1）A(2)C(3）D（4)2［（1)由P∪M＝P，得M⊆P，所以a∈P，所以a2≤1，解得－1≤a≤1.(2）A＝{x|－1≤x≤1｝，B＝{y｜y≥0},所以，A∩B＝{x|0≤x≤1}．(3)用Venn图求解．由上图知,A＝{3,9}．（4)依题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2－1＝3，，a＋3＝5))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2－1＝5，,a＋3＝3，）)解得a＝2.]补集思想的应用［探究问题］1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．2．∁UA在U中的补集∁U(∁UA）与集合A有什么关系？提示：相等．3．∁AC与∁BC相等吗？为什么？提示：不一定．依据补集的含义，符号∁AC和∁BC都表示集合C的补集，但是∁AC表示集合C在全集A中的补集，而∁BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以∁AC与∁BC不一定相等．因此，求集合的补集时,首先要明确全集，否则容易出错．如集合A＝｛1，2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0，1,2，3,4｝，C＝{1，3,4｝,则∁AC＝{2,5，6，7,8，9}，∁BC＝｛0，2}，很明显∁AC≠∁BC.若集合A＝｛x|ax2＋3x＋2＝0}中至少有1个元素，求实数a的取值范围．［思路探究]从已知的反面出发，求出a的取值范围,再求其补集．［解］由A＝∅，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a≠0，,Δ＝9－8a<0，））解得a〉eq\f(9，8)，所以，当A至少有一个元素时,a≤eq\f(9，8)。补集思想的解题方法,当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想.其解题步骤为：1否定已知条件，考虑反面问题;2求解反面问题对应的参数范围；3取反面问题对应的参数范围的补集.6．已知集合A＝｛y|y>a2＋1,或y〈a}