导数概念通俗化教学设计

导数概念通俗化教学设计作者：孙波来源：《教育教学论坛》2020年第40期孙波（湖南科技学院理学院，湖南永州425199）［摘要］研究导数概念教学设计。针对传统教材教法过于单调、抽象的缺陷，设计了易于理解和接受的通俗化教法。主要手段和特色是增加平均速度导入过程，加入市场营销等社会经济背景。［关键词］导数；通俗化；平均速度；经济背景［作者简介］孙波（1965—）,男，湖南澧县人，博士，湖南科技学院理学院教授，主要从事应用数学与教育数学研究。［中图分类号］G642.0［文献标识码］A［文章编号］1674-9324（2020）40-0295-02［收稿日期］2020-03-09一、引言高等数学或微积分主要由微分和积分两大块构成。这里的微分泛指导数及其应用，当然也包含光滑函数局部线性近似的微分。简单说来，导数就是函数的瞬时变化率。其严格定义则是函数值改变量与自变量改变量之比的极限（自变量改变量趋于零时）：国内数学分析和高等数学教材一般通过直线运动物体的瞬时速度简单引入［1-3］：设直线运动质点的位移s与时间之间t的函数关系为s=s（t）,要想知道t0时刻的运动速度，先在其附近取一短暂时间间隔，该时间间隔内的平均速度为,d厅显然，时间间隔At越短，则上面平均速度越能反映t0时刻的运动快慢，当At-0时上述平均速度的极限便是t0时刻的速度。将时间变量推广为一般自变量，位移函数推广为一般函数，瞬时速度即可引申为一般函数的导数。二十年以前这么一讲就完了，学生基本都能理解和掌握。但今天的大众化教育跟以前的精英教育大不一样了，学生心里还想着手机玩具呢！这已不是个别现象，而是普遍教学现象和社会问题。当然，加强课堂管理、强调教学纪律可以提高授课效果，但不可能完全解决问题。现在的高学历教师已占很大比例，授课水平应该是没得话说，可就是有那么多学生稀里糊涂，听了跟没听一个样。其实只要稍微推敲一下哲学和教育心理学，就会明白快刀斩乱麻的教法有问题。任何事物都须经历量变积累方可达到质变，瞬时变化率概念的形成也是一样。只是我们原来没想这么多，把沉重的思维负担强加给了学生。而在高等教育从精英型转化为大众型的过程中主流高数教材教法不仅没有相应转型，反而变本加厉：把书越写越复杂，使教材教法和生源质量之间的矛盾越来越突出。改革开放四十年来，我国市场经济的形成和发展拓宽了微积分应用面，经济学背景成了数学的半边天。考虑到社会经济现象和概念就在人们日常生活中，更容易被学生理解，本文参照欧美应用微积分教材把社会经济素材作为背景引入微积分概念，补充导数引入过程，并适当增加平均速度引入过程［4,5］。二、教学设计基于上述铺垫，笔者在教学实践中做了如下改革设计：首先以一家三口外出郊游为例引入平均速度概念：一家三口开车外出郊游，小孩每半小时记一下从家里出来的里程，前三小时的数据如下：其中时间单位为小时，里程单位为公里。课件开头可考虑播放一小段开车视频以吸引学生兴趣和注意力。用f表示出发t小时的里程，则表中数据可表示为函数值f（0）=0，f（0.5）=20，f（1）=50…汽车速度一般随时间变化，仅凭一组里程数据算不出每时每刻的速度，但可计算一段时间内的平均速度，公式为平均速度=距离♦时间如前三小时的平均速度为（公里/小时）蚂1里用3-0 3其他时间段内的平均速度亦可类似计算，如下表:总之，时间段t=a到t=b内的平均速度计算公式为b~(i时F超 |平均离BE——，,小耳讨，1 •/⑴7<W一f=U,J划/=1 =.5^0,5sut=].5川；：⑸-601.5~.5一氢”2 13=5。9_[t=}fii=3 ]⑴715上述平均速度计算公式还可抽象上升为一般函数的平均变化率。接着构造1〜2个经济学例子，如一家公司同时在两个地方做为期三个月的推销活动，以此预测市场。下面是那两个地方日销售量走势图，横轴表示月份，纵轴表示日销售量。从图像可以看出，尽管前三个月活动1的销售量一直高于活动2,但它后来往下走。相反，活动2一路攀升。在时间区间2川匕促销1的变化率等干川）72）20000-400（）0imv. 二 二一IUUINJ（4-2 2而促销2的变化率等于rf4M2）50000-25000…--……-二 二123004-2 2活动1的负结果表明，在所统计的这两个月内销售量以每月10，000件的速度下降；而活动2的正结果则表明其销售量以每月12,500件的速度增长。这两个促销活动的结果说明市场二未来更强势，故应放弃市场1。还可构造几个类似例子，如某款新手机上市后单位利润随时间变化函数。计算某些时间段的平均变化率以说明其增减情况，最后说明平均变化率还是不能细致反映函数值随自变量的变化情况，说明瞬时变化率的必要性。然后回到行车问题，如假设汽车发车后在一条直线马路上运行，t秒钟走过的路程为（单位：米）s（t）=t2+3t

若想知道它某一时刻的运行速度如第10秒末的运行速度，就只能通过第10秒附近短时间间隔内的平均速度来估算了：印a[0.1珊」卜购区扑加 -= =23]IM-100J皿QhQQ）」虹耻“肌,1H-HI-,rib.\m皿明制]3«]1303皿1狮-10一姗1一’学生从表中列出的三个平均速度显然能看出汽车在第10秒末的运行速度是23米/秒。然后趁热打铁，整出个绝对可靠的说法。先用h表示某个很小的正数，则汽车在第10秒到第10+h秒内的平均速度等于3（峥1由）』1以人）+3<l<UAH-130

（]O+A）-IO- ITHXJ+3Oh+『+WU+M-小Uh23h+h=2y+hh令人-对k面的平均速度取极限得]im 23+A)^23Ai-hO h这就进一步证实了我们从上面那个数据表看出的精确速度。我们称此极限为瞬时速度。接着将上述瞬时速度概念和计算方法提升为函数在某点的变化率：HH三、结语笔者首次在二类本科院校q按上述方式讲述导数概念，大部分学生都能听懂并掌握。教学班级为工程管理专业四个行政班130名学生，期末试题量为五大题22小题，在教研室统一命题且没有针对性复习的前提下格率达80%以上，说明学生理解了微积分基本理论。看来，多视角慢镜头引入抽象数学概念更适合大众化教育。参考文献[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，1978.[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007.[3]同济大学应用数学系.高等数学(本科少学时类型)[M].北京:高等教育出版社,2001.GilbertStrange,Calculus,Wellesley-CambridgePress.M.L.Lial,Calculuswithapplications,Springer-Verlag,2010.TeachingDerivativebyComprehensibleFormulationSUNBo(DepartmentofScience,HunanUniversityofScienceandEngineering,Yongzhou,Hunan425199,China)Abstract:Thispaperexploresanewteachingdesignoftheconceptofderivativesothatitiseasytounderstand.Ourmainmethodis