知识讲解-函数与方程

编稿：审稿1.函数的零yf(x在实数f(0，则ayf(xxyf(xf(x)0归纳：f(x)0有实数根y

f(xx轴有交点y

f(xyax2bxc的零点个数，方程ax2bxc0y

f(x)在一个区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即fafb0x0a，bfx00，x0也就是方程f(x)0的根.f(x在区间abf(af(b)0f(x在(abf(x)x21,1上，f(xx22x3在区间24上就是这样的．故f(x)在ab内有零点，不一定有f(a)f(b)0f(x在区间abf(x在ab内也可能是有零点，例如函数f(x)11在22上就是这样的．xf(x0f(x0f(x0F(x)f(xg(x)的零点就是方程

f(x)g(x)的实数根，也就是函数y

f(x)的图象与yg(xx1、x2ax2+bx+c=0（a＞0）x1、x2的分布范围与一元二次方程x1＜x2＜k时，有f(k0 k＜x1＜x2时，有f(k0 x1＜k＜x2f(k0f(k) ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有f(k2) kb x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）f(k1f(k20设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且b24acbba①x10,x20x1x2 0axxc1 b24acbba②x10,x20x1x2 0axxc1 c③x10x2a0④x1=0，x2＞0c=0a

0；x1＜0，x2=0c=0a

0y

fx定义在区间D上，求它在D的一个x0的近似值x，使它满足给定的精确Da0b0Dfa0fb0fa0fb00，零点位于区间a0b0中.第二步：取区间a0,b0的中点，则此中点对应的坐标 x0a0

b0a0

a0b0计算fx0fa0，并判断①如果fx00，则x0就是fx的零点，计算终止fa0fx00，则零点位于区间a0x0中，令a1a0b1x0fa0fx00，则零点位于区间x0b0中，令a1x0b1第三步：取区间a1,b1的中点，则此中点对应的坐标 x1a1

计算fx1fa1，并判断①如果fx10，则x1就是fx的零点，计算终止fa1fx10，则零点位于区间a1x1中，令a2a1b2x1fa1fx10，则零点位于区间x1b1中，令a2x1b2b1继续实施上述步骤，直到区间anbn，函数的零点总位于区间anbn上，当an和bn按照给定的精

fxf(af(bf

f(b)<0f(x)g(xF(x)f(xg(xF(xf(x)g(x1.f(x)x22x3fxx4f(x)x34x3，1（2）-11（3）f(x(x1)(x3fx0x11x23，故函数零点是-fxx41x21x1x1，令fx0x=1，-1，故函数的零点是-f(x0x34x0x(x240xx2x20x0x2

2，故函数的零点是- 1】求函数：(1)f(x)6x27x3；(2)f(x)x37x61（1）,3

（2）-3【解析】(1)令f(x)6x27x30，即3x12x30，得x1,x 3 (2)x37x60x36xx6xx2x由x1x2x30x13x21x3f(x)6x27x3的零点为13f(x)x37x6的零点为-3【变式2】已知函数f(x)logaxxb(a0,且a12a3b4f(x)0x(n,n1),nN*,则n 0【答案】 【解析】用数形logaxx作出ylog2xylog3x的图象，作出yx3yx4的图象由图象可知，当a在(2,3b在(34yxb2皆在区间(23)f(xx0(23，故n2．2例2．函数f(x)lnx x(1,A（1，2） B（2，3） (1,e

和 D（e，+∞）【答案】【解析】从已知的区间（a，b）f(af(bf(af(b0f(120f(2ln210，∴在（1，2）f(x无零点，A2又f(3)ln3 0，∴f(2)f(3)023f(x在（2，3）满足f(af(b)0，还要看函数f(x的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．22作出两函数y=lnx与y x【课程：函数与方程377543例3【变式1】若函数f(x)x33x1,x[1,1]，则下列判断正确的是 【答案】【变式2】根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的最小区间 x-0123e1x12345【答案】1

f(x)exx

9>0,f(1f(20，所以根所在的最小区间为（1，2【课程：函数与方程377543例53】若方程2ax2x10在（0，1）a【答案】1（1）当a0x10,1（2）当a0f(x)2ax2x118a

a①

21a 8②18a0，a8f(0)1f(1)0即2a110，a1f(0)1f(10a1f(x0的另一解是12综上所述，满足条件的a的取值范围是a1．23f(xlogx2x72【解析】ylogxy2x7y1，y2 2由图可知y1与y2只有一个交点，则logx2x70有一个根，∴函数2

f(x)有一个零f(2log222272f(3log232370f(2f(30，∴零点的一个大致区间（2，3．f(x的零点个数求方程log2x2x70④存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根． 【答案】【解析】据题意令|x2－1|=t（t＞0）①，则原方程化为t2―t+k=0 t=0t＞12个不等的实根；0＜t＜14个不等的实根；t=13个不等的实根．当0k1t2―t+k=021822422k=0时，t=0t=1，原方程存在

}5 当 时，

2,

2 6,

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21k＜0t2―t+k=01t2―t+k=0的t＞12个不等的实根；1当k 44x若方程两根均在区间（0,1）内，求m 2 m （2） m 2 （1）yx22mx2m1的零点在区间（-1,0）和（1,2）1mf(1)2 mf(0)2m1 f(1)4m20，∴m12 2f(2)6m5 m ∴ m

f(0)（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有m ∴m 222m 2或m21m21∴ m 212“（m2+2+m+2=0，≠0号与mg(x)mx22xm2m0，则在（1）mg(1)mg(0)

mg(0)，在（2）中有

0 A（0，3，B（3，0）m的取值范围．

3,10 3 AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题m范围．ABx+y=3（0≤x≤3xy3(0x由题意得方程组yx2mx

②①代入②得x2－(m+1)x+4=0（0≤x≤3）有两个实f(x)x2m1)x4f(x)x2m1)x4x∈[0，3]上有两个(m1)216 m0 ，解得3m3f(0)4f(3)93(m1)4m的取值范围是310 3 f(x)在[0，3]f(x)在[0，3]x轴有两mm的取值范围，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的1x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a11【答案（1）a0或a （2）0a1（3）不存在实数a（4）a31【解析（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即x 121当a0时方程为二次方程因为方程有一根所以12a40解得a 综上可知当a3a1x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=03a10．又12a40解得0aa1，图象大致如图a

a2(a11或2(a11 所以不存在实数aa a所以必须满足f(10或f(10a0 6.fxx32x23x6【答案】中点-5-7-8-9f1中点-5-7-8-91fxx25的一个正零点（精确到0.01【答案】f21,f2.51.25f2⑵取2,2.5的区间中点2.25f2.255.062550.0625

f2.50可知函数的一个正零点在22.5区间中f2f2.250，则有零点的新区间为2⑸取2,2.25的区间中点2.125f2.1254.49442550.505575f2.125f2.250，则有零点的新区间为2.125⑻取2.1252.25的区间中点2.1875f2.18754.785156350.248437f2.1875f2.250，则有零点的新区间为2.18752.25⑾取2.18752.25的区间中点2.21375f2.213754.9006895f2.21375f2.250，则有零点的新区间为2.213752.25⒁取2.213752.25的区间中点f2.2318754.98126650.018734f2.231875f2.250，则有零点的新区间为2.231875⒄取2.2318752.25的区间中点2.2409375f2.24093755.0220815f2.231875f2.24093750f2.23640625f2.24093750，则有零点的新区间为2.2364062552.2409375为零点要求精确到0.012.24，fxx25730200100张课桌．已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比10∶730名工人如何分组（一组制作课桌，一组制作椅子）能使任务完成最快？【答案】13人、17【解析】设x（1≤x≤29，x∈N）（30－x）名工人制作椅子．一710100P(x100200把椅子所需要的时间Q(x

10(30

y=max{P(x)，Q(x)}3-1-2-5x0y取最小值时的xP(x)=Q(x)x0的整数值．

令f(x)P(x)Q(x) 0，f(29) 200，所以 x1

29∈（1，29

x0∈（1，15x0（81502∈（1.5，15，0∈（1.5，1325，x0∈（12.3713.25，x0（12.37512.8125x0=1313名工人制作课桌，17名工人制作椅子，可使任务完成最快．2010A200680%50%的20