2016届高三一轮复习步步高光盘-理科-全书课件第三章

数 A（理第三 导数及其应 导数与函数的单调性、极值、最基础知识·自主学题型分类·深度剖思想方法·感悟提练出高分函数的单调在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在个区间内单调递增；如果f′(x)

<0，那么函数y＝f(x)在函数的极判断f(x0)是极值的方一般地，当函数f(x)在点x0处连续

f′(x)>0，右

f′(x)<0，那么②如果在x0附近的左是极小值

，那么求可导函数极值的步①求②求方

的根③检查f′(x)在方

的根附近的左右两侧导数的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取

极大如果左负右正，那么f(x)在这个根处取

极小值函数的最在闭区间a，b]上连续的函数(x)在a，b]上必有最大值与最小值.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则

为函数的最大

为函数的最小值设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下①求f(x)在(a，b)内的②将f(x)的各极值

进行比较，其中最大的个是最大值，最小的一个是最小值思考辨判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或若函数f(x)在(a，b)f′(x)>0.(×如果函数f(x)在某个区 有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(√函数的极大值不一定比极小值大.(对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×定是极小值.(函数f(x)＝xsinx有无数个极值点.(1A2C3B4lnx2lnxln(x)<x<当k＝1时∴x＝1不是f(x)的极值点当k＝2时显然f′(1)＝0，且x在1附近的左边x在1附近的右边∴f(x)在x＝1处取到极小值.故选用导数研究函数单调例 已知函数(1)求f(x)的单调增区间用导数研究函数单调例 已知函数(1)求f(x)的单调增区间

思维点拨解析函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数用导数研究函数单调例 已知函数(1)求f(x)的单调增区间

思维点 解 思维升 则ex≥a，x≥lna.用导数研究函数单调例 已知函数(1)求f(x)的单调增区间

思维点 解 思维升因此当a≤0时，f(x)的单调当a>0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞).(1)利用导数的符号来判断函数的单调性用导数研究函数单调例 已知函数(1)求f(x)的单调增区间为减函数，若存在，求出a的取为减函数，若存在，求出a的取

∵f′(x)＝ex－a≤0(－2,3)上恒成立∴a≥ex在x∈2,3上恒∴e－2<ex<e3，只需当a＝e3时，f′(x＝exe3<0在x∈(－2,3)上恒成立为减函数，若存在，求出a的取

即f(x)在(－2,3)上为减函数，故存在实数a≥e3f(x)为减函数，若存在，求出a的取

(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式(3)f(x)为增函数的充要条件为减函数，若存在，求出a的取

f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零.应注意此时式子中的训练 (1)设函数f(x)＝1x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，3中常数a>1，则f(x)的单调减区间 解析 故f(x)在区间(2,2a)上是减函数训练 (1)设函数f(x)＝1x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，3中常数a>1，则f(x)的单调减区间为(2,2a)当x>2a时(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)(2,2a).(2)若f(x)＝－1x2＋bln(x＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则2的取值范围

(－∞，－1]解 转化为f′(x)＝－x＋

≤0在[－1，＋∞)上恒成所以g(x)min＝－1，则b的取值范围是题型二利用导数求函数的极值例2(2014·福建)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交(1)求a的值及函数f(x)的极值题型题型利用导数求函数的极例 (2014·福建)已知函数

由得ex－ax(a为常数)的图象与y轴交

又f′(0)＝1－a＝－1,得(1)求a的值及函数f(x)的极值

所以令f′(x)＝0，得x＝ln当x<ln2时，单调递减例2(2014·福建)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交(1)求a的值及函数f(x)的极值

当x>ln2f′(x)>0f(x)单调递增所以当x＝ln2时，f(x)取且极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－lnf(x)无极大值例2(2014·福建)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交(1)求a的值及函数f(x)的极值

在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是题型二利用导数求函数的极值例2(2014·福建)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交(1)求a的值及函数f(x)的极值

解 思维升(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函(2)证明：当x>0(2)证明：当x>0

g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0.因此，当x>0时g(x)>g(0)>0，即(2)证明：当x>0

在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是(2)证明：当x>0

解 思维升(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函a 3(1)当a＝4时，求f(x)的极值3 对f(x)求导得 2 1＋ax3(1)当a＝4时，若f′(x)＝0，则3x＝3，x＝1结合① 所以x＝3是极小值点，所以x＝3是极小值点，x＝1是极大值点12223(1)当a＝4时，求f(x)的极值3x 12 32 ＋0–0＋↗极大*极小↗(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，由此并结合a>0，知所以a的取值范围为题型三利用导数求函数的最值例3(2014·改编)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对题型题型利用导数求函数的最例 改编)已知函f 由有g(x)＝′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，当x∈0,1时，g′(x)∈1－2a，e－2a].1a≤2时，g′(x)≥0g(x)在[0,1]1因此g(x)在[0,1]上的最小值是例 改编)已知函2fa≥e时，g′(x)≤0g(x)在[0,1]2因此g(x)在[0,1]上的最小值是当 2<a<2时，令g′(x)＝0得x＝ln(2a)∈(0,1)，题型题型利用导数求函数的最例 改编)已知函1f于是，g(x)在[0,1]上的最小值是1综上所

g(x) 2当a≥e时，g(x)在[0,1]上的最小值是2题型三利用导数求函数的最值例3(2014·改编)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数

解 思维升求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0设g(x)是函数f(x)的导函数，求

处的函数值，最后比较即得数g(x)在区间[0,1]上的最小值

可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况 x–0＋*↗(2)(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值解 当k即k(x)0,1上单调递，(x)0,1上的最小值()－k；当0<k－1<1，即1<k<2时(x)在0，k－1上单调递减，在k－1,1上单调递增，所以(x)在区间0,1(k－1)＝－ek－1；k1k2(x)0,1所以f(x)在区间[0,1]上的最小值综上，当k≤1时，(x)在0,1上的最小值为(0)＝k；当1<k<2时，(x)在0,1上的最小值为(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为答题模板系列 利用导数求函数的最值问思维点 规范解典例：(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).思维点 规范解(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0f′(x)<0的解区间，并注意定义域答题模板系列 利用导数求函数的最值问典例：(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).答题模板系列 利用导数求函数的最值问典例：(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).思维点 规范解 f′(x)＝1－a ①a≤0即函数f(x)的单调增区间为 ②a>0f′(x)＝1－a＝0可得 答题模板系列 利用导数求函数的最值问典例：(12分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).思维点 规范解

当0<x<a时

故函数f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为 (2)(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值思维点 规范解 答题模 温馨提思维点 规范解 答题模 温馨提思维点 规范解 答题模 温馨提a ①当即a≥1时函a所以f(x)的最小值是f(2)＝ln a≥20<a≤2f(x)在区间[1,2]所以f(x)的最小值是 ③当1<a<2，即2<a<1时，函数f(x)在1，a上是增函数 思维点 规范解 答题模 温馨提在 2上是减函数又f(2)－f(1)＝ln所以所以2<a<ln

时，最小值是当ln2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 思维点 规范解 答题模 温馨提综上可当0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是 思维点 规范解 答题模 温馨提第一步：(求导数)求函数f(x)的导数第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值思维点 规范解 答题模 温馨提第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点第四步：(求最值)将x)的各极值与()的端点值进行比较，确定(x)的最大值与最小值； 思维点 规范解 答题模 温馨提1,2.本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面，确的情况.思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含 数时，要讨论参数的大小 3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点巧求函数单调区间与函数极值时要养成列表 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最 防 3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点12123456789函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是 解 由故函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如所示，则y＝f(x)的图象可能为( 解 根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升最后下降，排除从适合f′(x)＝0的点可以排除e设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则 Aee e解 则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解∵x>0

2设函数f(x)＝1x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]2则实数a的取值范围是 ∵f(x)＝12－9ln 当 0时有0<x≤3即在(0,3]上原函数是减函∴a－1>0且a＋1≤3，解得已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若mn∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是 解 对函数f(x)求导得由此可得12123456789易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递故f(m)＋f′(n)的最小值为答 函数y＝1x2－lnx的单调递减区间2

解 令y′≤0，得∴函数的单调递减区间为–3–3＝ 函数 x2－3x－4 上的最小值 ＝ 3解 f′(x)＝x2＋2x－3，令得x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－1，3f(2)＝－10，可知最小值为 已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围 解 当a＝0时，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值当a≠0时，令f′(x)＝0，则若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数(x)不存在极值；若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，不符合题意若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′(x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数(x)在x＝a处取得极大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时当x∈(a，－1)时，f′(x)>0，所以函数(x)在x＝a处取得极(,).答 已知函数f(x)＝1＋lnx，求函数f(x)的极值和单调区间 因为f′(x)＝－x2＋x＝ 令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表x1–0＋↘极小↗22 函数f(x)的定义域为若x＝0，则即f(x)的单调减区间为(2)若x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围 由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减∴当m<2－e2时，不等式f(x)>m恒成立函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的 C.|x|x<－1或 D.{x|x<－1或解 构造函数求导得到由已知f(x)＋f′(x)>1，可得到即g(x)>0的解集为答 已知(x)是可导的函数，且′(x)<(x)对于x∈R恒成立，则()A.f(1)<ef(0)，f(2016)>e2016f(0)B.f(1)>ef(0)，f(2016)>e2016f(0)C.f(1)>ef(0)，f(2016)<e2016f(0)D.f(1)<ef(0)，f(2016)<e2 令

所以函数g(x)＝fx是单调减函所以g(1)<g(0)，g(2即f1 f2016e1<1 e2 <1故f(1)<ef(0)，f(2016)<e2答 已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且＝0.现给出如下结论①(0)(1)>0；②(0)(1)<0；③f(0)(3)>0；④(0)(3)<0.其中正确结论的序号是 .解 由f′(x)>0，得x<1或由f′(x)>0，得x<1或∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(3，＋∞)上是增函数又∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，y极小值∴a，b，c均大于零，或者又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图.∴正确结论的序号答 14.(2013·福建)已知函数f(x