立体几何中球的综合问题专题

22立体几何球的综合问专题A一、选择题1年考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上下底面的中心分别为O，过线OO112面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

的平A．

π

B．12

C．

2π

D．10π【答案】【解析】∵过直线

1

的平面截该圆柱所得的面面积为的正形，所以圆柱的高为，底面圆的直径为，所以该圆柱的表面积为22

．故选．2棱柱

AB11

的各个顶点都在球的球面上ABAC

平面。球的面积为3，这个三棱柱的体积是（）A．

11B．63C．

D．1【答案】【解析】

QAB

2,AB,Q平面,三棱柱AB11

内接球O,为距形BCC1

的中心,设球半径为r,则

33,即OCr2

,

三棱柱的高

hr2BC

,

三棱柱的体积

V

h

1122

,故选C。12123．球

O

的球面上有四点

SAB

，其中

,,BC

四点共面，

ABC

是边长为2的三角形，面

面

ABC

，则棱锥

的体积的最大值为（）A．

33

B．

C．

2

D．4【答案】【解析】设球心和的心为，长CO交于，由球的对称性可知PDAB，而由面可PDABC

所在的平面，所以PD是棱锥的高；再由

O,BC

四点共面可知是的中心，故

3,33

，当三棱锥的体积最大时，其高为

(

23)23

)2

，故三棱锥的体积的最大值为12343

，应选A。4．如图所示，直四棱柱

CD11

内接于半径为3的球，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的为（）A．1

．

2

．

3

．

2【答案】【解析】设x,则

BBx

2

,所以直四棱柱的体积为V

2

,令x

2

,则

x

2

6t

2

,则

V

2

t

3

t

,故V

/

2

,所以当t时,x时体最大故应选D.5．正三棱锥

ABC

中，

是

的中点，且

AMSB

，底面边长

AB2

，则正三棱锥ABC的外接球的表面积为（）A．B．．32D．

36【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出，结合⊥AM得到SB⊥面SAC，因此可得SA、SB三侧棱两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC外接球的表面积．取中点连接BN、SN，为AC中SA=SC，∴AC⊥SN同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，⊥平面SBN∵SB平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A∴SB平面SACSB⊥SASB，∵三棱锥S-ABC是三棱锥，∴SA、SC三条侧棱两两互垂直．AB2棱SA=2∵底面边长∴正三棱锥S-ABC的接球的直径为：

2

3

，∴正三棱锥S-ABC的接球的表面积是

，故选：B．二、填空题6年津卷）已知一个方体的所有顶点在一个球面上，若这个正体的表面积为18，这个球的体积为．【答案】

π【解析】设正方体边长为a，6218a2

，外接球直径为

V

43π38

.7．底面是同一个边长为a的正三角形的两个三棱锥内接于同一球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为

。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别

，则

tan

的值是。PDPDPDPD【答案】

4a

.【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面.如图可知面为正三角形为BC的点ADSDMDBC，故

SDA

和MDA

即为二面角

；设

交平面ABC于点P，易知P点AD上，为

的重心SMR

,

AB

，

，

33PAa=a，PDa=a2

，tan

tan

MP3PDMPPD2a2PDPD

3Ra.8．已知三棱锥P的所有棱长都相等，现沿,PB

三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形若个平面形外接圆的半径为则棱锥的切球的表面积为.【答案】【解析棱展后为等边三角形边

xsin

6

2因此三棱锥

P

的棱长为

32

，三棱锥

P

的高

3

，设内切球的半径为r

，则

ABC

S，rABC

32

，求的表面积

.9.已球O的面上有P,四点，且PA,PB,两互相垂直，若PA，求这个球的表面积和体积解：设过,A的面截球所得截面圆心为，与面1另一交点为因为，所是圆O的直径，且13232

2

2

2因为PCPB以平面面PAB，所以PC.如图过OOPC作面则直线DP为面和面PAB的交线，点OPD，接CD在圆，CPD为直角，所以为的直径设O的半径为R，RtCPD中，CD

PC

PD

3，即R3a，以R

3a2

.所4SV球球

三、解答题10.棱长为2cm的方体容器中盛满水，把半径为的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为多大？解：过正方体对角线的截，AC23,3,ASAO设小半径为r1

，tanC

，在

AO

中，

r1

，解得rcm为所ASAOSr求11.过球面上一点的三条弦，满足CPA60PA，此球的表面积是解意体是的内接正四面.设P上如，连接,'C，球半中心，则球心O在PP'

，径为，则

，在'中，''

而PP'

2

'C

2

33

)

2

，

故OP'CP

2

)

，

3，表面积为2

12.将半径为的四球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离。解：设四个球心分别为A,B,C,D则四面体A-BCD棱长为2R的正四面体，如图所示，过作BCD与H则H为的心连延长交CD

A于M，接AM，则BM且AM=R，HM=

33

,所以AH=

266R，故上面一球的球心到桌面距为(13

)R

。

B

DHMCooooB一、选择题1．已知三棱锥

ABC

,在底面

中,

AB60

PA

面,PA3

,则此三棱锥的外接球的表面积（）A．

．

3

．

．

16【答案】【解析面角形内据弦定理得

AC

,

BC

AC

,满足勾股定理，ABC

,

PA

底面

ABC

,所

PA

,那么

BC

平面

,所以

BCPB

,那么直角三角形PBC

有公共斜边

PC

,所三棱锥的外接球的球心就

PC

的中点OPC其外接球的直径，4,所外接球的表面积S

,故选D.2．如,在形ABCD中BAD60

为对角线BD

的中点将ABD沿BD

折起到的置若PEC120

o则三棱锥PBCD的外接球的表面积为（）ooooA．

28

B．

C．

16

．

【答案】【解析设M,

分别是等边三角形PBDCBD

的外心则

1

画出图象如下图所示，由图象可知，MO120601NC3

o

,故

60

3

，

,外接球面积为4

.3．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB⊥SC，SC⊥SA且SA=SB=SC，该三棱锥外接球的半径为

3

，Q是接球上一动点，则点Q到面ABC距离的最大值为（）43A．3．2．

D．

【答案】【解析】因为三棱锥

ABC

中，SBSA

，且

SASB

，所以三棱锥的外接球即为以SASC

为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为

3

，所以正方体的对角线长为

，所以球心到平面

的距离为233

43，所以点Q到平面ABC的离的最大值，故选．34知点

出发的三条射线

PB

两两成

角分别与球

O

相切于

B

，

三点．若球

O

的体积为

36

O

，

两点间的距离为)（A）

3

（B）

3

（C）3（D）

【答案】【解析】连接OP交面ABC于O，题意可得：和

为正三角形，所以

AB3

．因为

'OAPA

OPAP，所以OAAO

，所以OPOA

APAO

OA

．又因为球的体积为

3

，所以半径

，所以

OP3

．二、填空题5年课标Ⅰ卷）已知三棱锥

的所有顶点都在球

O

的球面上，

是球

O的直径．若平面

SCA⊥平面

SCB

，

SAAC

，

SBBC

，三棱锥

的体积为9，球

O

的表面积为．【答案】

【解析】取

的中点

O

，连接

OA

，

OB

，因为

SA

，

SB

，所以

OASC

，

OBSC因为平面SAC面，以平面OA面设OA，所以所以球的表面积为6．一个球与一个正三棱柱的三侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为这个三棱柱的体积是____________.

，那么48【答案】【解析】由题意可得，球的半径R，正三棱柱的高为

R

，底面正三角形中心到各边的距离为R，所以底面边长为3，从而所求三棱柱的体积为VSh

483

.故正确答案为

48

.7．若圆锥的内切球与外接球的心重合，且内切球的半径，圆锥的体积为．【答案】

ABCABCAEFDA3PBCABCABCAEFDA3PBC【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△

及其内切圆

e1

和外切圆

e2

，且两圆同圆心△

的内心与外心重合得△

为正三角形题

e1

的半径为r

，∴△ABC的长，圆的底面半径为3，高为3，

．三、解答题8.已知棱长为3的正面体A-BCD，E,F分别是棱AB,AC上点，且AF=2FC,BE=2AE,求四面体A-EFD的内切球的半径。解：如图所示，设四面体A-EFD的切球半径为

r

，球心为O，连接OA,OE,OF,OD,V

AEFD

AEF

AFD

OADE

O

，四面体A-EFD

的各面面积为

2323,,923213,各边边长分别为34

AEF=

3

，DF=DE=

，

O

D

53,VV4

,又

B

V

A

1r)AEF

,

C

2133335r()，以r2248。

，故四面体A-EFD的切球半为9.已知四面体P-ABCPA=4

,PB=BC=

,

PA

面PBC,求面体P-ABC的切球与外接球面积的比。解：由题意，已知

PA

面PBC，PA=4，AC=

,PB=BC=

，如图，由勾股定理得，AB7,PC,以为等边三角形为等腰三形边三角形PBC所在小圆的直径

PD

260

，那么四面体P-ABC的接球直径AD=2R=

164，以2

PABC

13334

,球正四面体球正四面体表面积

13332

.设内切球半径为

r

，那么43

13

r

，所以

r

，故四面体P-ABC的内切球径外球半径的比342

3216

2，即表面积之比为。10.球与正四面体的六条棱都相，则球与正四面体的体积比是多少？解：如图，设正四面体棱长为

，球半径为R，取AB中E，CD中F连接，BF,EF,则AF=BF=

32

a

，

EFAB

,同理可得

AEF

,EF

是AB,CD的垂线段，则EF的是AB,CD

的距离，

E31EFAF22aa2又44球与正四面体的六条棱相切得EF是球的直径22a2R，232

D42VV，又a，324V

2

。11.已知正三棱锥P-ABC，P,A,B,C都半径为的面上，若PA,PB,PC两两直，求正三棱锥P-ABC外接球到截面ABC距离。解把正三棱锥补成正方体如所示可知外接球球心

O为对角线PD的中，且PO=

3

，又P到面ABC的离B为

，

PABC

BAPC

,

则

O12)34233截面ABC的距离为h。3

，则球心O到

C

AC一、选择题1已A,B三都在以O球心的球面上，OAOC

两两垂直三锥

的体积为

，则球的表面积为（）A.

B.16C.3

D.

【答案】【解析】设球的半径为R

，由题意

OAOBOC

，可得三棱锥

OABC

体积，

，解得

，则球的表面积为S2

，故选B.2．棱锥

ABC

的四个顶点均在半径为2的球上且

ABBCCA2

，平面PAB面，三棱锥PABC的积的最大值为（）A．4．3．

D．

3【答案】【解析】根据题意：半径2

的球面上，且

ABBCCA2

,

为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的点为，

2

,PAB平面

，

三棱锥

的体积的最大值时，

PNAB,平面BC

，

PB

2

，三棱锥

P

的体积的最大值为

.3知四面体ABCD的条棱长为余棱长均为23所顶点都在表面积为

20的球面上，则a的值等于（）A3

25

3

3【答案】【解析图所示的四面体ABCD中AC余棱长均为BD中点E，连接CE，AECE

，又所有顶点都在表面积为球面上，所以球的半径为

，心O落线段上，且EF

)

，在直角中则

FC2

，即

a(95))

2

2

，解得

，故选A．4．在三棱锥ABCD，与△BCD都边长为6的正角形，平面ABC⊥平面BCD则该三棱锥的外接球的体积为（）A.

15

B.

π

C.

15πD.

15【答案】【解析】取BC的点为M、F分别是正三角形ABC正三角形BCD的心O是三棱锥外接球的球心，连接AM、DM、OE、OB则、F分别在AM上OF⊥面BCD，OE⊥面ABC⊥BC，AM⊥BC⊥BC所以AMD为二面角A—BC的面角，因为平面ABC⊥平面BCD，所以AM⊥DM又AM=DM=33所以=

=所以四边形OEMF为正方形，所以OM=

6

，在直角三角形OMB中，球径OB=

OM

=

(2

=，以外接球的体积为

4(15)3

=

15

，故选5．一个倒圆锥形容器，它的轴面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高()A．．．．【答案】【解析】如图，作轴截面，设球未取出时，水面高，取出后，水面高．∵则以

，，为底面直径的圆锥容积为，．球取出后，水面下降到，的体积为．又，，22解得，B6．已知三棱锥ABC所有顶点都在球的球面上，且SC平面，若ABAC，BAC1205【答案】

，则球O的面积为.【解析AC

BC1)

三角形的接圆直径

r

，r，SC面ABC,OSC

为等腰三角形

该三锥的外接球的半径

R1

,

该棱锥的外接球的表面积为

.因此，本题正确答案:5．7．三棱锥

中，ABBC

平面

，

，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．

B．C．D．

【答案】【解析】由题意得，在

中，因为BC15,AC

，由余弦定理得B

(15)22，以B5

，所以外接的半径为AC62rsin

，即

r

，所以球的半径为

2

2

，所以球5的表面积为S

2

，故选D．8．半径为R的球内部装有个半相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（A．

3

B．

3

R

C．

D．2

【答案】【解析四个小球两两相切并且个小球都与大球相切时些小球的半径最大以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为22223r4r33

r

，该正四面体的外接球半径为，则63x

，解

66r，Rrr23

，答为．二填题．如，个径是10cm的小放一半面碗，球顶恰与的沿处同水面则个的径R是

M

【案

10

103【析依意得的心为O,半为R.其三球球分是

O,O,O2

这四点构了个三锥其侧表两球切圆距.面为个切的心距.所以O110103

通过解直角三形可得

R

10213

故填三解题．有个和个方，一球与方各面切第个与方各棱切第个过方各点求个表积比解设方棱为

，内球径

a2

，切其径正体面对角长则

22

a

；接直为方的对线故

32

，以面之比

1:(2):(

:2