2020高中数学 8 最小二乘估计（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(八)(建议用时：60分钟）[合格基础练］一、选择题1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq\x\to（x）＝3，eq\x\to（y)＝3。5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A．y＝0.4x＋2。3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0。3x＋4。4A［线性回归方程一定经过样本点的中心（eq\x\to（x），eq\x\to(y))，将（eq\x\to(x)，eq\x\to（y)）逐个代入验证只有A项符合．]2．已知变量x和y满足关系y＝－0。1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是（)A．x与y负相关,x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关A［因为变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，其中－0.1＜0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关,不妨设z＝ky＋b(k＞0），则将y＝－0。1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b),所以－0.1k＜0，所以x与z负相关,综上可知，应选A.］3．在一次试验中，测得（x,y）的四组值分别为（1,2），（2,3），（3,4),（4,5)，则y与x之间的线性回归方程为()A．y＝x＋1 B．y＝x＋2C．y＝2x＋1 D．y＝x－1A［eq\x\to(x）＝eq\f(1＋2＋3＋4，4）＝2。5,eq\x\to（y）＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)＝3。5，因为回归方程过样本中心（eq\x\to(x），eq\x\to（y）),故A正确．]4．已知x,y的取值如下表所示:x0134y2.24。34.86.7若y与x线性相关，且y＝0。95x＋a,则a＝（)A．2。2B．2.9C．2.8D．2.6D[eq\x\to(x）＝eq\f（0＋1＋3＋4，4）＝2，eq\x\to（y）＝eq\f（2。2＋4。3＋4.8＋6.7,4）＝4。5,又回归直线经过(eq\x\to（x)，eq\x\to(y）），所以4。5＝0.95×2＋a,a＝2。6.］5．有人收集了春节期间平均气温x（单位：℃）与某取暖商品的销售额y（单位：万元)的有关数据如下表：平均气温x（℃）－2－3－5－6销售额y（万元）20232730根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程y＝a＋bx的系数b＝－2。4.则预测平均气温为－8℃时,该商品的销售额为（)A．34.6万元 B．35.6万元C．36.6万元 D．37.6万元A［由已知，得eq\x\to(x)＝eq\f（－2－3－5－6,4)＝－4,eq\x\to（y)＝eq\f(20＋23＋27＋30，4）＝25,所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝25＋2.4×（－4）＝15.4，即线性回归方程为y＝15.4－2。4x,当x＝－8时,y＝34。6。]二、填空题6．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0。8x＋0。1(单位：亿元)．预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是____________亿元．12．1［由题意知，y＝0.8×15＋0。1＝12.1（亿元)，即年支出估计是12。1亿元．]7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0。254x＋0。321。由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．0．254［[0.254（x＋1)＋0。321］－［0。254x＋0.321]＝0.254(万元）．］8．对一质点的运动过程观测了4次,得到如下表所示的数据，则刻画y与x的关系的线性回归方程为________．x1234y1356y＝1.7x－0。5[eq\x\to（x)＝2。5，eq\x\to（y)＝3.75，eq\o(∑,\s\up11(4），\s\do9(i＝1))xiyi＝46，eq\o(∑，\s\up11(4)，\s\do9（i＝1))xeq\o\al（2,i)＝30，b＝eq\f(46－4×2。5×3.75，30－4×2.52)＝1.7，a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x）＝－0。5.所以所求的线性回归方程为y＝1。7x－0。5。］三、解答题9．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y（万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23。85.56。57.0若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y＝bx＋a；(2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？[解］(1）制表如下：i12345合计xi2345620yi2。23.85.56。57。025xiyi4.411.422。032。542。0112。3xeq\o\al(2，i）4916253690eq\x\to（x）＝4,eq\x\to（y）＝5，eq\o(∑，\s\up11(5),\s\do9（i＝1)）xeq\o\al(2，i）＝90，eq\o(∑,\s\up11（5）,\s\do9（i＝1)）xiyi＝112。3于是有b＝eq\f（112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f（12。3，10）＝1.23。a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0。08。故线性回归方程是y＝1.23x＋0。08.（2)根据线性回归方程是y＝1。23x＋0.08，当x＝10时,y＝1。23×10＋0。08＝12。38，即估计使用年限为10年时，维修费用是12。38万元．10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi(单位：千元）的数据资料，算得eq\o(∑，\s\up11（10），\s\do9（i＝1)）xi＝80，eq\o（∑,\s\up11（10),\s\do9(i＝1））yi＝20,eq\o(∑,\s\up11（10）,\s\do9(i＝1））xiyi＝184，eq\o（∑,\s\up11(10),\s\do9（i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附:线性回归方程y＝bx＋a中，b＝eq\f（\o(∑,\s\up11(n),\s\do9(i＝1）)xiyi－n\x\to(x）\x\to(y）,\o（∑，\s\up11(n），\s\do9（i＝1））x\o\al(2，i)－n\x\to（x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，其中eq\x\to（x)，eq\x\to(y）为样本平均值．[解](1）由题意知,n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f（1,n）eq\o(∑,\s\up11（n）,\s\do9（i＝1))xi＝eq\f(80,10）＝8,eq\x\to（y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up11(n)，\s\do9(i＝1))yi＝eq\f（20，10）＝2，又lxx＝eq\o(∑,\s\up11（n),\s\do9（i＝1)）xeq\o\al（2，i）－neq\x\to(x）2＝720－10×82＝80,lxy＝eq\o（∑,\s\up11(n），\s\do9（i＝1））xiyi－neq\x\to(x)eq\x\to（y)＝184－10×8×2＝24,由此得b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(24，80)＝0。3，a＝eq\x\to（y）－beq\x\to（x）＝2－0。3×8＝－0。4。故所求回归方程为y＝0。3x－0.4.（2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0。3＞0），故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0。4＝1.7(千元)．[等级过关练]1．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元）2345销售额y（万元)26394954根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9。4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63。6万元 B．65。5万元C．67。7万元 D．72.0万元B［∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5，4)＝eq\f(7,2),eq\x\to(y)＝eq\f（26＋39＋49＋54,4)＝42。∴42＝9.4×eq\f(7,2）＋a,∴a＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65。5.]2．由一组样本数据(x1，y1)，（x2,y2），…,（xn，yn)得到的回归直线方程为y＝bx＋a,那么下面说法不正确的是(）A．直线y＝bx＋a必经过点(eq\x\to(x），eq\x\to（y））B．直线y＝bx＋a至少经过点（x1,y1)，（x2，y2)，…,(xn，yn)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为eq\f（\i\su(i＝1，n，x)iyi－n\x\to（x）\x\to（y),\i\su（i＝1，n，x）\o\al（2,i）－n\x\to（x）2）D．直线y＝bx＋a是最接近y与x之间真实关系的一条直线B[回归直线一定经过样本点的中心，故A正确；直线y＝bx＋a可以不经过样本点中的任何一点,故B错误;由回归方程的系数可知C正确；在直角坐标系中，直线y＝bx＋a与所有样本点的偏差的平方和最小，故D正确;]3．期中考试后，某校高三（9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为y＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．20[令两人的总成绩分别为x1、x2，则对应的数学成绩估计为y1＝6＋0.4x1,y2＝6＋0.4x2，所以｜y1－y2|＝|0。4（x1－x2)|＝0.4×50＝20.]4．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50。60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________;用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为________．0．50。53［eq\o(y,\s\up11(－）)＝eq\f(0。4＋0.5＋0。6＋0.6＋0.4,5）＝eq\f（2.5,5）＝0.5,eq\o(x，\s\up11(－)）＝eq\f（1＋2＋3＋4＋5，5）＝3。由公式，得b＝0。01,从而a＝eq\o(y，\s\up11(－)）－beq\o（x，\s\up11（－）)＝0。5－0。01×3＝0.47。所以回归方程为y＝0.47＋0.01x。所以当x＝6时,y＝0.47＋0.01×6＝0.53。］5．研究某设备的使用年限x与维修费用y之间的关系，测得一组数据如下(y值为观察值)：年限x（年）23456维修费用y（万元）34。455.66。2由数据可知y与x有明显的线性相关关系，可以用一条直线l的方程来反映这种关系．（1)将表中的数据画成散点图;（2)如果直线l过散点图中的最左侧点和最右侧点,求出直线l的方程；（3）如果直线l过散点图中的中间点（即点（4，5）),且使维修费用的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小,求出直线l的方程．[解]（1)如下图所示．（2）因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是(2,3),(6,6.2)，所以直线l的方程是eq\f(y－3，6.2－3)＝eq\f（x－2,6－2）,即4x－5y＋7＝0.（3)由题意可设直线l的方程为y＝