2020高中数学 2.1.2 演绎推理（含解析）2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精课时作业17演绎推理知识点一演绎推理的概念1.下面说法正确的个数为(）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正确性与大前提、小前提和推理形式有关．A．1B．2C．3D．4答案C解析②错误，演绎推理得到的结论要想正确，需满足大前提、小前提和推理形式都正确.知识点二演绎推理的形式2.推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①和②答案B解析根据演绎推理的模式可知．3．下面几种推理过程是演绎推理的是（)A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4）可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1，an－1）))（n≥2）,由此归纳出｛an}的通项公式答案A解析选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”这是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C,D都是归纳推理．4．下列三句话按“三段论"模式排列顺序正确的是(）①y＝cosx（x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①答案B解析按“三段论”的模式,正确的排列顺序是②①③.5．把下列推断写成三段论的形式：(1）通项公式为an＝2n＋3的数列｛an}是等差数列；解(1)数列{an｝中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则｛an}为等差数列．大前提an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－［2(n－1）＋3］＝2(常数）．小前提通项公式为an＝2n＋3的数列是等差数列．结论（2)所有的循环小数是有理数，大前提知识点三演绎推理的应用6.已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，求sin2α＋sin2β的取值范围．解由2sin2α＋sin2β＝3sinα得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(sinα－\f（3，2）))2＋eq\f(9,4），且sinα≥0。因为0≤sin2β≤1,sin2β＝3sinα－2sin2α,所以0≤3sinα－2sin2α≤1,解得sinα＝1或0≤sinα≤eq\f(1,2)。令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2;当0≤sinα≤eq\f（1,2）时，0≤y≤eq\f（5，4）.故sin2α＋sin2β的取值范围是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)））∪｛2｝．一、选择题1．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：eq\x(\a\al(∵∠A＝30°，∠B＝60°，,∴∠A<∠B.)）∴a<b。画框格部分是演绎推理的(）A．大前提B．小前提C．结论D．三段论答案B解析本题应用了三段论．大前提是大角对大边,小前提是∠A<∠B.故选B。2．“任何实数的平方大于0（大前提），而a是实数（小前提)，所以a2＞0(结论)”，你认为这个推理()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的答案A解析当a≠0时，a2＞0；当a＝0时，a2＝0。所以这个推理的大前提错误．故选A.3．在证明f（x）＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提;③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提;④函数f（x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(）A．①④B．②④C．①③D．②③答案A解析根据三段论的特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f（x)＝2x＋1满足增函数的定义;结论是f（x）＝2x＋1为增函数,故①④正确．4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺,则事不成;事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中;刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（)A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足"，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．5．设⊕是R内的一个运算,A是R的非空子集．若对于任意a,b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零）四则运算都封闭的是()A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集答案C解析A错：因为自然数集对减法不封闭;B错：因为整数集对除法不封闭;C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法（除数不等于零）四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．二、填空题6．在求函数y＝eq\r(log2x－2）的定义域时，第一步推理中大前提是当eq\r(a）有意义时，a≥0;小前提是eq\r（log2x－2)有意义;结论是________．答案y＝eq\r(log2x－2)的定义域是[4，＋∞）解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4。7．关于函数f(x)＝lgeq\f（x2＋1，|x｜）（x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时,f(x）是增函数；当x＜0时，f（x)为减函数；③f（x)的最小值是lg2；④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．答案①③④解析显然f（－x)＝f（x）,∴f（x)为偶函数，其图象关于y轴对称．当x＞0时，f（x)＝lgeq\f(x2＋1，x）＝lgeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，x）））.设g(x)＝x＋eq\f（1,x），可知其在(0，1）上是减函数，在(1，＋∞）上是增函数,∴f（x）在(0,1)上是减函数，在（1，＋∞)上是增函数．f(x）min＝f(1）＝lg2。∵f（x)为偶函数，∴f（x）在（－1,0）上是增函数．8．已知f（1,1）＝1,f(m，n)∈N*（m,n∈N＊），且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2;②f（m＋1,1)＝2f（m，1)给出以下三个结论：（1)f(1,5)＝9；(2)f（5，1)＝16；(3）f（5，6）＝26。其中正确结论为________．答案(1)（2)（3)解析由条件可知,因为f（m,n＋1）＝f(m,n）＋2，且f（1，1）＝1,所以f（1，5)＝f（1，4）＋2＝f（1，3)＋4＝f（1，2)＋6＝f(1，1）＋8＝9.又因为f(m＋1，1）＝2f(m,1），所以f（5，1)＝2f（4,1）＝22f(3，1）＝23f(2,1)＝24f（1，1）＝16，所以f（5,6）＝f(5,1)＋10＝24f（1，1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．三、解答题9．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°。证明:设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°；(2）已知eq\r（2）和eq\r(3）是无理数，试证:eq\r(2）＋eq\r(3)也是无理数．证明：依题设，eq\r(2)和eq\r（3）是无理数,而无理数与无理数的和是无理数，故eq\r（2)＋eq\r(3)也是无理数．解（1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中,把论题中的四边形改为了矩形．(2)错误．结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据(即大前提）“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如,－eq\r(3)与eq\r（3）都是无理数,但－eq\r(3)＋eq\r（3）＝0,0是有理数．10．(1）证明函数f(x)＝－x2＋2x在（－∞，1]上是增函数；（2)判断函数f（x)＝－x2＋2x在区间[－5，－2]上的单调性,并加以证明．解(1）证法一：任取x1,x2∈(－∞，1］，x1<x2，则f(x1）－f（x2)＝（x2－x1）（x2＋x1－2)，∵x1<x2≤1,∴x2＋x1－2<0，∴f（x1）－f（x2)<0，∴f（x1)<f(x2)．于是，根据“三段论"可知，f（x)＝－x2＋2