微积分i-定积分习题课

一、与定积分概念有关的问题的解二、有关定积分计算和证明的方一、与定积分概念有关的问题用定积分概念与性质求用定积分性质与变限积分有关的 xnex例1计算I

0

dx 1解:x[01]时,0

xne11e1

xn00

xnex1ex1

xn

n利 准则

xnex11e1

dx1xnex01x思考例1下列做法对吗利利用积分中值定原n1 不对，因为依赖于n,且01此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项如 x1xp 1 1xp 1xp

(0xsin sin

sinn 例2求Ilim n " n nn n n1 nn解：将数列适当放大和缩小，以简化成n

sin

n

n1k1

k nk1

k ， n ，已知 nk

nn

sinxdx

nn

利 准则可

I2sin

sin sin( 思考：Jlim " n n提示:由上

n n n sin

sin

sinn Ilim n n" n n n n n nsin sin(nJIlim nlim nnn200

n

例3求极限n

n2

n222

"

1解：原式

dx ni11

(in

1 2 2求极L

" n n n

ilim

2n

L

2nnn1i

nni左

2i

2xdx1右n1nn1i n1

ln4x2例4估计积分值4x24444x244x2

,x[011

dx

1 dx

1 dx4x24x2412

1 dx4x4x24例424

2ex20

dx2e2 证明fxexx,则fx(2x1)exfx0x12f(0)

1,f 2

1,f(2)44 minf(x)44[0,

,maxf(x)[0,4 24

2ex20

dx2e例5设fx)为在[0,1]上单调递减连续函数 证明：q[0,1]， f(x)dxq

f(x)d证明：q0q时结论成立，当0q f(x)dxq f(x)d (1q) f(x)dxq f(x)d

(用积分中值定理(1q)qf(1)q(1q)f(2

1[0,2[q,1]q(1q)[f(1)f(2

例6fxx0处连续,f(13由方 1 f(t)dtx1 f(t)dty1 f(t)dy是x的函fx).解：方程两端对x求导yf(xy)(yxy)1y

f(t)dtxf(y)xy1 f(t)dtyf(xy令x1,得f(y)y1 f(t)dtyf对y求导得f(y)1f(1) f(y)3lny y1,得C3fx)3lnx机 上页下页返回结例7求可微函f(x使满f2(x)f(t)sin dt.x0解等式两边x求导

2f(x)f(x)f(

sin2cosf(x)1

sin 2cosf(x)f(x)

sinx dx 2cos1ln(2cosx)2机 上 下 返 结f2(x)

f(t)sin dt 2cosf(x)1ln(2cosx)2f(0)0C1ln2 f(x)1ln(2cosx)1ln 1 2cos例8.求多项f(x使它满1 xf(xt)dt1 x

f(t1)dtx32x.1x解：令uxt,1x

f(xt)dt

f(u) x代入原方程 x

f(u)dux

f(t1)dtx42求导fx

xf(t1)dtxf(x1)4x340再求fx2fx1xfx1)12x24f(x应为二次多项,fxax2bx代入(1)式比较同次幂系得a3b4cf(x)3x24x二、有关定积分计算和证明的 思考:下列作法是否正确?1x21dx1x113111133211t dt0(令t 注意特殊形式定积分的利用各种积分技巧计算有关定积分命题的证明例9I

ln0

dx1e2解：令exsint,则xlnsintdx1e2sinI

cost

cossin

dt

1sin2t22 sin2(csctsint)6[lncsctcottcost]6ln(2

) 33233例10求I 0

dx

1sin21sin2(sinxcos(sinxcosx)20

sin sinxcosx0

4(cosxsinx)dx0

2(sinxcosx)4[sinxcosx

[cosxsinx]04022( 2例11选择常数c解txc,

b(xc)cos99(xc)dxab(xc)cos99(xc)dxa

ba

t

t因为被积函数为奇函数,故选择使ac(bca2可使原式为.1例12fx1

xey22

dy,

1(x

f(x)dx 1x 0

f(x)dx

3

f(x)d(x111 111 (x1)

f(0

3

(x f(x)36

1(x1)3ex2201(x1)2e(x1)20

d(x

(令ux1)2 1ueu

e(u1)eu1 1

1(e6例13fxC[01证0 xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx0解：令tx,0

0

f(sinx)0 xf(sinx)

(t)f(sint) f(sint)dt tf(sint)

xf(sinx)dx

f(sinx)∵ f(sinx)dx f(sinx)dx

f(sinx) 对右端第二个积分t 0

f(sinx)综上所xf(sinx)dx

f(sinx) 0

f(sinx)sin20

dt

cos20

dt (0xt ttsin2 cos2ttt证明：令f(x) dttt

f(x)2xsinxcosx2xsinxcosxf(x) (0x) tt∵f )2 dt2 dttt t1

1 t t0

d

dt 故所证等式成例15fx),gx在[ab上连续,gx)0证

(ab),

a f(x)dbbb

g(a g(x)d 分析：要证g()a f(x)dxf()a

g(x)dx

g(x)dxa

f(x)dxa

f(x)dxa

g(x)dx

x故作辅助函 F(x)a g(x)dxa f(x)dxa f(x)dxa

g(x)d 证明：令F(x)a g(x)dxa f(x)dxa f(x)dxa

g(x)d∵f(x),g(x)C[a,b],F(x)C[a,b]∩D(a,b)且F(aF(b0,由R定理，(abF(0 g()a f(x)dxf()a g(x)dx∵在[ab]上g(x)连续且非零，故不变号，b ab

g(x)dx故所证等式成如果能样设辅助函数要证要证baf(x)dbafg( (a,b)g(x)d提示设辅助函xF(x)axxG(x)ax

f(tg(t例16设函f(x在[ab上连续,在(ab内可导fx)0.limf(2xa)存在，证明 x在(abf(x0在(ab内存在

ba f(x)db

f()在(ab内存在相异的点f()(b2a2)

b b

f(x)dx

(考研题证明(1)∵limf(2xa)存在, f(2xa)0xa

x

xaf(x)在[ab]上连续f(a所以f(x)在(ab)内单调增,

fxf(x)f(a) x(a,xFxx2gx)xa

f(x)dx(axgxfx0,Fx),gx满足柯西中值定理条件bx于是存(ab),bxF(b)F(a)

b2

(x2 aag(b) aa

f(t)dt

f(t)d f(t)dt

xb2 即a f(t)d

f(∵f()f()0f()ff()( (a,代入(2)中结论b2 ba f(t)db

f()(f()(b2a2)

b b

f(x)d 例17

f(x)g(x)dx

f2(x)dx

bg2(x)dbbbb证明：令Aabbb

f2(x)d bB b

f(x)g(x)dx,C

g2(x)dAt2

2BtC

b[f2(x)t22f(x)g(x)tg2(x)]da b[f(x)tg(a

dx0即得例18fx)在[ab]上的导函数连续，f(a)bb

f2(x)dx

1(ba)2

f'2(x)dx证明f(a)0,fx)xa

fxdxx[ab].由柯西不等式xf2(x) f'(x)dxx

x12dxf'2(x)dx(xa)ax

f'2(x)d

(xa)a

f'2(x)dbb f'2xdx为一数bbbbabb bf2(x) b

(xa)dx

f'2(x)d1(ba)2

f'2(x)d例19fxC[ab且fx0证bb bf(x)dx (ba)2 f(xxx证明：设F(x)f(t)dt (xa)2， f(txFxfx)ax

dt xf(t f( x

f(t)dt2(xx f(x)

f(t

2

x[f(x)f(t

f(t f(

f(x)f(t

xa,f(x)F(x单调不,F(bF(a)0即成立例19计算I

sin2441e44

d sin2

sin2解：I

4

1e

dx

1

xd第一式令第一式令x

sin2 ]d 0

1 1sin2xd01(8例20I

4lnsin2xd0解：I

4ln(2sinxcosx)dx0

4[ln2lnsinxlncosx]d0ln24

4lnsinxdx0

xx20 ln2 4lnsinxdx 2lnsintd4ln24

2lnsinxd0 I

4lnsin2xdxt20

2lnsinxd Iln22I,

Iln4一、微积分的微积分学是微分学和积分学的总称。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学。微积分中的基本概念是函数、极限、实数、导数、积分等，研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数的发展起决定性作用的思想。” 称之为“1世纪自然”技术的发