ch3,4逆矩阵分块如不特别说明本节所讨论都是阶方阵

内容§1矩阵§2矩阵§3§4分块§5矩阵§6矩阵1 （如不特别说明，本节所讨论的矩阵都是n阶方阵2一、逆矩阵的n阶单位矩阵E以及同阶的方阵AAnEnEnAn从乘法的角度来看，n阶单位E在同阶方阵中的地用等aa－1=1来刻划.类似地，我们引入定义：n阶方阵A，如果有n阶方阵BAB=BA=E (En阶单位矩阵)则称方阵A是可逆的B为A的逆矩阵.3定义：n阶方阵A，如果有n阶方阵BAB=BA=E (En阶单位矩阵)则称A是可逆B为A的逆矩阵.注：1n阶方A可逆，则逆矩阵是唯一的（B,C都为A的逆矩阵则由定义可得B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C2°若方阵A可逆A的逆矩阵记作A－1（AA－1=A－1A=两个问题：1.方阵A何时可2.A可逆，怎样求A－14二、方阵可逆的充要AB=BA=A为n阶方阵AA*A*A|A|AA*

A|A|0

|A|

|A| 由定义可知，方阵A可逆

A1

1|A

A可逆AA－1A－1A|A||A－1|=|E|=1，5定理|A|

方阵A可逆，且A1

|A

推论1：若|A|≠0，则|A1 |A推论2：A,B均为n阶方阵，若AB=E（或BA=E），则A－1=B, B－1=A.证由ABE，有|A||B|=|E|=1|A|≠0,|B|A，B都可逆，存在A－1B－1B=EB=(A－1A)B=A－1(AB)=A－1E=A－1A=AE=A(BB－1)=(AB)B－1=EB－16定理|A|

方阵A可逆，且A1

|A

推论1：若|A|≠0，则|A1 |A推论2：A,B均为n阶方阵，若AB=E（或BA=E），则A－1=B, B－1=A.推论3：A,B均为n阶方阵，若AB= 则BA=E d例1：求二阶矩阵A b d 解：

ad- A*

b

A1 b a

adbc a7 3例2：求3阶方阵A 1的逆矩阵 3 解：|A|=2，A11 A12 A13A21 A22 A23A314,A325,A33则

4 1

31

1 5*A1*

|A|

A*2

2

A32

22 33 2注：此公式求方阵的逆：2阶方阵，可；3阶方阵，尚可4阶及以上方阵，不可(太过繁琐8 3 3例3：已知A 1，C 0,求X,使AXC 3 1 解：由上题，|A|2A可逆，AXC两边左乘A－1A－1AX=A－1

4 3XA1C1 2

212 2 212 1 9例4：设A,B,C为n阶方阵，ABC=E,则必有（ (A)ACB= (B)CBA=(C)BAC= (D)BCA=分析：ABC= CAB=E，BCA=E例5：设Ak=O(k为正整数)证明：(E-A-1E+A+A2Ak-证明：EEAkE-A)(E+A+A2Ak-(E-A-1EAA2Ak-例6：设A为n阶方阵，A*为伴随矩阵，证明：|A*||A|n-1证明AA*A*A|A|E|AA*|=|A*A|=|A||A*|=|A(i)若|A|≠0|A*||A|n-1(ii)若|A|0，可知|A*|0，（否则，若|A*|≠A*可逆(A*-1,由AA*=|A|E=O,两边右乘(A*-1，得AO，故A*O，这与|A*|≠0！）综上，有|A*||A|n-例7：判断已知AX=AY,且A≠O 则X= 已知AX=AY,且|A|≠0 则X= （因|A|0，故A可逆两边左乘A-1A-1AXA-1 X三、逆矩阵的若n阶方阵A、B可逆，λ(≠0)，（1）A－1可逆，且A1)1AλA可逆，AB可逆，AT可逆

(A)11(AB)1B1A1;(AT)1(A1)T.证：（3）|AB||A||B|0AB可逆(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AA－1=(AB例1：设A22A+EO求：(A+E-1分析：分解因式，构造(A+E…)=λE解： +A-3 -3A(A+E)-3

+4E==-4

（A与E可交换(A-3E)(A+E)=-4(A+E-1

1(A3E4例2：设A4O求：(A+E-1答案：(A+E)-1 -(A3–A2+A例3：3阶方阵A的行|A|2,则|-3A| |(3A)-1|

|2A*| |(-2A)*|,|(A*)*|解： |-3A|=(-3)3|A =(-3)3·2=-54

1

13

1 3

（）3

A3 |2A*|=23|A* =23|A| =A3|(-2A)* =|(-2)2A* =|4A*=43|A*|=|(A*)* =|A* =(|A|2) =

A (A)11(A)n1A=A例4：A为3阶方|A|1/3

(1A)13解：原式=|3A-1-15A* =|3A-1-15|A|A-1=|-2A-1

3A=-A 例5：设A、B分别为4,3阶方阵,|A|=2,|B|=3,则求 =1

=|A*||(2B)-1=|A|

13 B3（B32 例6：设A 1 且A*XA12X 求X 1 (AA*)X=E+从 |A|X=E+2AX 而|A|=44X=E+ 2(2E-A)X=

1

0X1(2EA)11

1 1 2

4 1

1 四、方阵的多设f(x)=amxm+am-1xm-1a1x+a0,A为nf(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+A的多项式 2例7：设f(x)x22x2,A 0 求f 2 解：fA)A22A2

02 0 0

0 22

2

f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+APBP-1,k为正整数，则AkPBkP-1f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0=P(amBm)P-1+…+P(a1B)P-1+P(a0E)P-=P(amBm+…+a1B+a0E)P-=Pf(B)P-§4分块一：分块矩阵的

矩阵 定义：；每一个小块称为矩阵的子块矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分矩阵A

22二：分块矩阵的1、分块矩阵的A ,B A22A22A21A12A11AB 1、分块矩阵的若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的 A1r B1rA ⁝,B ⁝

sr

srA11

B1r则有AB

sr是普通矩A

2、分块矩阵的A

A若λ

A

⁝ 则 sr AA sr3、分块矩阵的

m1m2msl1l2ltn1n2nr，一般地，设A为ml矩阵，B为ln矩，

m1

A1t l1

B1rm

l A 2

2t,B

2 2r⁝

⁝ ⁝ m

l

s s

st

t t t

tr

C1rCCtCAB t

2r

Cij

⁝ kCC

s sr

(i1,,s;j1,,r按行分块以及按列分mnA有mn列，若将i行记作T

, ,, a1j

i 若将第j列记

2jjaa

⁝ a a mjaa

T1 1

T则A

2n

,,,⁝ ⁝⁝

⁝

T m

mn

m4、分块矩阵的 A

AT

AT

1r

s1若A ⁝

，则AT ⋱ ⁝

AT sr a14

sr aa

a24a34 T

进行转置(自转)． 1T a32 3 3

T 33

T 34 二：分块矩阵的运分两步1、把每一子块看作一个元素，作分块矩阵运算2、再对每一子块进行矩阵注：分块时要保障两步运算的三、分块对角1、定义：An阶矩阵，A的分块矩阵只有在对角线上有非零子 块都为零矩阵么称A为分块对角矩阵．例如5 0

01 01

O

0

O2382385

O

2 2

3 B0OA0 0OA0

3

22、分块对角矩阵的 A

AAs

A 1°|A|=|A1||A2|…|As|

Ak2°Ak Ak Ak 3°若|Ai|≠0i=1,2,…s|A|≠0，并A A AA A

A1 特别地，若A，B均可逆 O

O

1） B B1

B

O O

OC2）C O

B XB

B11 O X1

2,

2 B X4AX

B X41X11 1AX2CX

X2 CX

0例:设A 1，求|A|，A－1 012 012 解

0

O

A 1

A A A

102 102

5,

AA1

A

1/

0A1 O

A

3 3A(5),A

1；A

1,A1

5

3 例：AmnOmn的充分必要条件是方阵ATAOnn