2020版中考数学总复习优化设计：第1-29讲-讲练课件全集(含答案)-收藏

第1讲实数考点一考点二考点三考点四考点五考点一实数的概念

1.实数的分类考点一考点二考点三考点四考点五(2)按正负性分类

考点一考点二考点三考点四考点五2.实数的有关概念数轴:规定了原点

、正方向

和单位长度

的直线叫做数轴.数轴上的点与实数

一一对应.

3.数的开方(1)任何正数a都有两

个平方根,它们互为相反数

;负数

没有平方根,0的平方根为0

.

(2)±表示正数a的平方根

,表示正数a的算术平方根

,-表示正数a的负的平方根

.

考点一考点二考点三考点四考点五考点二相反数、倒数、绝对值

1.相反数:绝对值

相等,符号

相反的两个数互为相反数.若a,b互为相反数,则a+b=0

.相反数等于本身的数是0

.

2.非零实数a的倒数为

.若a,b互为倒数,则ab=1

.

3.绝对值(1)几何意义:在数轴上表示数a的点到原点的距离

,叫做数a的绝对值;

考点一考点二考点三考点四考点五考点三科学记数法、近似数

1.科学记数法:把一个数表示成a×10n

的形式,其中1≤|a|<10,n是整数.

2.一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确

到哪一位.

考点一考点二考点三考点四考点五考点四实数的运算

1.实数的每一步运算都要先确定结果的符号

,再确定结果的绝对值

.

2.运算顺序:先算乘方

,再算乘除

,最后算加减

;如果有括号,先算括号

里面的,同一级运算按照从左

到右

的顺序依次进行.

考点一考点二考点三考点四考点五3.几种常考运算及法则

考点一考点二考点三考点四考点五考点五实数的大小比较

1.数轴上两个点表示的数,右面

的点表示的数总比左面

的点表示的数大.

2.正数大于

0,负数小于

0,正数大于

负数;两个负数比较大小,绝对值大的小于

绝对值小的.

3.其他常用比较方法(1)差值比较法:若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则a=b.考法1考法2考法3考法4考法5考法6实数的分类实数分为有理数和无理数,凡是能化成有限小数或无限循环小数的都是有理数,无限不循环小数是无理数.A.4

B.3

C.2

D.1答案:C

考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法点拨理解无理数的概念,无理数包含无限小数和不循环两个条件,缺一不可,常见的无理数有三类:①π类,如2π,3π等;②开方开不尽的数,如

等;③虽有规律,但是无限不循环的数,如0.101

001

000

1…,0.030

030

003…等.在判断一个数是不是无理数时,不能只看形式,还要看化简的结果.考法1考法2考法3考法4考法5考法6实数的有关概念实数的有关概念主要包括相反数、绝对值、倒数的概念,要会求一个数的相反数、绝对值、倒数.例2(2018甘肃)-2018的相反数是(

)答案:B

考法1考法2考法3考法4考法5考法6科学记数法与近似数科学记数法是将一个较大的数或较小的数写成a×10n或a×10-n的形式,其中1≤|a|<10,n为正整数.例3(2018四川资阳)-0.00035用科学记数法表示为(

)A.-3.5×10-4 B.-3.5×104C.3.5×10-4 D.-3.5×10-3答案:A

解析:将数据-0.000

35用科学记数法表示为-3.5×10-4,故选A.

方法点拨用科学记数法表示一个数,n值的确定要根据这个数的绝对值分为三种情况:(1)绝对值大于10的数,表示为a×10n的形式,n等于整数的位数减去1;(2)绝对值小于1的数,表示为a×10-n的形式,n等于从左边第一个不为0的数的前面0的个数,注意也包含小数点前的0;(3)1≤绝对值<10的数,直接写原数.考法1考法2考法3考法4考法5考法6实数的大小比较实数的大小比较方法有根据法则直接比较法、数轴比较法、商值法、差值法、特殊值法等,具体方法要根据题目情况决定答案>

方法点拨用差值法的思想解答.考法1考法2考法3考法4考法5考法6用数轴表示实数数轴上的点与实数一一对应.每个实数都可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都可以用一个实数表示.例5(2018湖北天门)点A,B在数轴上的位置如图所示,其对应的实数分别是a,b,下列结论错误的是(

)A.|b|<2<|a| B.1-2a>1-2bC.-a<b<2D.a<-2<-b答案:C

解析:A.如题图所示,|b|<2<|a|,故本选项不符合题意;B.如题图所示,a<b,则2a<2b,由不等式的性质知1-2a>1-2b,故本选项不符合题意;C.如题图所示,a<-2<b<2,则-a>2>b,故本选项符合题意;D.如题图所示,a<-2<b<2且|a|>2,|b|<2,则a<-2<-b,故本选项不符合题意.故选C.

考法1考法2考法3考法4考法5考法6方法点拨数轴上的点表示的数,通常利用绝对值的几何意义,通过求出点到原点的距离来求点的坐标,但要注意符号不要弄错.考法1考法2考法3考法4考法5考法6实数的运算实数的运算是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是要掌握实数的运算法则和运算顺序,并熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握零指数幂、负指数幂、绝对值等的运算.方法点拨中考中以基础题为主,考查实数的运算,涉及的知识点包括零指数幂、负整数指数幂、平方根、绝对值等,难度一般较小,但求解过程应细心,要写清每一个步骤,不可简略.2.(2017甘肃平凉)据报道,2016年10月17日7时30分28秒,神舟十一号载人飞船在甘肃酒泉发射升空,与天宫二号在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接,而这也是未来我国空间站运行的轨道高度.393000用科学记数法表示为(

)A.39.3×104 B.3.93×105C.3.93×106 D.0.393×1063.(2017甘肃武威)4的平方根是(

)CBC4.(2017甘肃天水)若x与3互为相反数,则|x+3|等于(

)A.0 B.1 C.2 D.3A6.(2017甘肃武威)如果m是最大的负整数,n是绝对值最小的有理数,c是倒数等于它本身的自然数,那么代数式m2015+2016n+c2017的值为0

.

(2*3)*2=

.

答案:2

8.(2018甘肃)如图是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为625,则第2018次输出的结果为

.

答案:1

(2

018-3)÷2=1

007.5,即输出的结果是1.

第2讲整式运算及因式分解考点一考点二考点三考点一代数式

1.定义:用运算符号

(加、减、乘、除、乘方、开方)把数字

或表示数字

的字母

连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式.

2.代数式的值:用数值

代替代数式里的字母

,按照代数式指明的运算关系计算所得的结果.

考点一考点二考点三考点二整式

1.整式包括单项式

和多项式

.

(1)只表示数字与字母的积

的代数式叫做单项式,单项式中的数字因数

叫做单项式的系数,所有字母的指数的和

叫做单项式的次数.

(2)几个单项式的和

叫做多项式,组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项

,多项式的每一项都要带着前面的符号.

2.同类项:(1)定义:所含字母

相同,并且相同字母的指数

也相同的项叫做同类项,常数项都是同类项.

(2)合并同类项法则:把同类项的系数

相加,所得的和作为合并后的系数

,字母和字母的指数

不变.

考点一考点二考点三3.整式的运算(1)加减:①去括号与添括号:a+(b+c)=a+b+c

,a-(b+c)=a-b-c

.

a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c).②整式加减的步骤是先去括号

,再合并同类项

.

考点一考点二考点三(2)乘法:①单项式乘单项式:把它们的系数、相同字母分别相乘

,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数

作为积的一个因式.

②单项式乘多项式:m(a+b+c)=ma+mb+mc

.

③多项式乘多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

.

④乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

,(a±b)2=a2±2ab+b2

.

考点一考点二考点三(3)除法:①单项式除以单项式,把系数

、同底数幂

分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

②(am+bm)÷m=a+b

.

考点一考点二考点三(4)幂的运算(a≠0,b≠0,m,n,p为正整数)考点一考点二考点三考点三因式分解

1.定义:把一个多项

式化为几个整式积

的形式,叫做把一个多项式因式分解.

2.因式分解的常用方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)

.

(2)运用公式法:a2-b2=(a+b)(a-b)

,

a2±2ab+b2=(a±b)2

.

3.因式分解的一般步骤:(1)一提:如果多项式的各项有公因式,那么要先提公因式

.

(2)二用:如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式

法或分组分解

法来分解.

(3)三查:分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.考法1考法2考法3考法4考法5根据几何图形列代数式列代数式就是把问题中图形表示数量关系用代数式表示出来.例1(2018浙江衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.方案二:方案三:考法1考法2考法3考法4考法5解:由题意可得,方案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2,=a2+2ab+b2=(a+b)2.

方法点拨认真观察图形特点,根据题目中每个图形的摆放方法,可以写出方案二和方案三的推导过程.考法1考法2考法3考法4考法5代数式求值求代数式的值的步骤是先化简,再代入求值.例2(2017河南)先化简,再求值:(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),解原式=4x2+4xy+y2+x2-y2-5x2+5xy=9xy.方法点拨先根据整式的运算法则化简后再代入求值.如果字母取值是分数或负数时,那么做乘方运算或者性质符号前有运算符号的都必须加上小括号.运算时要弄清楚运算符号,注意运算顺序.考法1考法2考法3考法4考法5幂的运算幂的运算包括同底数幂的乘法、除法,积的乘方,幂的乘方,零指数、负整数指数等运算法则,既可顺用,也可逆用.例3(2018山东滨州)下列运算:①a2·a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中结果正确的个数为(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案:B

解析:①a2·a3=a6是同底数幂的乘法应用,计算错误;②(a3)2=a6是幂的乘方应用;③a5÷a5=a是同底数幂的除法应用,计算错误;④(ab)3=a3b3是积的乘方应用.

方法点拨本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方,熟练掌握幂的运算法则和性质是解题的关键.考法1考法2考法3考法4考法5整式的运算整式的运算涉及去括号、合并同类项、多项式乘法、乘法公式、幂的运算等知识点,要注意掌握法则,注意运算顺序.例4(2018吉林)某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)=a2+2ab-a2-b2(第二步)=2ab-b2(第三步)(1)该同学解答过程从第

步开始出错,错误原因是

;

(2)写出此题正确的解答过程.考法1考法2考法3考法4考法5解:(1)该同学解答过程从第二步开始出错,错误原因是去括号时没有变号;故答案是:(1)二;(2)去括号时没有变号;(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2.

方法点拨此题考查了整式运算中去括号、合并同类项,熟练掌握运算法则是解本题的关键.考法1考法2考法3考法4考法5因式分解因式分解最常用的方法是提取公因式法和运用公式法.分解因式不彻底是因式分解常见错误之一,分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验.例5(2017贵州黔东南)在实数范围内因式分解:x5-4x=

.解析原式=x(x4-22)=x(x2+2)(x2-2)方法点拨因式分解时首先要分析多项式的特点,选择合适的分解方法,其结果要分解到每一个因式不能再分解为止.口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.1.(2017甘肃庆阳)下列计算正确的是(

)A.x2+x2=x4 B.x8÷x2=x4C.x2·x3=x6 D.(-x)2-x2=02.(2015甘肃甘南)下列运算中,结果正确的是(

)A.x3·x3=x6 B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5 D.(x+y)2=x2+y2A.①④ B.①③C.②③④ D.①③④DAA4.(2018甘肃白银)下列计算结果等于x3的是(

)A.x6÷x2 B.x4-xC.x+x2 D.x2·xD解析:A.x6÷x2=x4,不符合题意;B.x4-x不能再计算,不符合题意;C.x+x2不能再计算,不符合题意;D.x2·x=x3,符合题意.故选D.5.(2018甘肃兰州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y)

.

5.(2018甘肃兰州)因式分解x2y-y3=y(x+y)(x-y)

.

6.(2016甘肃庆阳)如果单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,那么nm的值是

.

7.(2016甘肃白银)分解因式:2a2-8=

.

8.(2015甘肃甘南)分解因式:ax2-ay2=

.

9.(2014甘肃白银)分解因式:2a2-4a+2=

.

10.(2014甘肃张掖)观察下列各式:13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102…猜想13+23+33+…+103=

.2(a+2)(a-2)a(x+y)(x-y)2(a-1)2552第3讲分式考点一考点二考点一分式的概念与基本性质

3.分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不为零

的整式,分式的值不变.

考点一考点二4.分式的约分与通分(1)约分:根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式

约去,叫做分式的约分.约分的结果必须是最简分式

或整式

.

(2)通分:根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母

的分式,这种变形叫分式的通分.通分的关键是确定最简公分母

.

考点一考点二考点二分式的运算

考法1考法2考法3考法4考法5分式有意义、无意义、值为零的条件分式有意义的条件是分母不为零,无意义的条件是分母为零,分式值为零的条件是分子为零且分母不为零.A.x>-2 B.x<-2C.x=-2 D.x≠-2答案:D

∴x+2≠0,解得x≠-2.故选D.

方法点拨①分式无意义的条件:分母为零;②分式有意义的条件:分母不为零.考法1考法2考法3考法4考法5答案:-3

化简得x2-9=0,即x2=9.解得x=±3因为x-3≠0,即x≠3所以x=-3.故答案为-3.

方法点拨分母不为零保证分式有意义,分子为零保证有意义的前提下值为零.考法1考法2考法3考法4考法5分式的基本性质分式的基本性质是将分子与分母同乘(或除以)一个不为零的数或整式,分式的值不变.它是分式运算化简的基础.答案:D

考法1考法2考法3考法4考法5考法1考法2考法3考法4考法5分式的约分与通分分式的约分与通分的依据是分式的基本性质,约分的关键是找到公因式,通分的关键是找到最简公分母.方法点拨1.分式约分的步骤:(1)找出分式的分子与分母的公因式,当分子、分母是多项式时,要先把分式的分子与分母分解因式;(2)约去分子与分母的公因式.2.求最简公分母的方法是:(1)将各个分母分解因式;(2)找各分母系数的最小公倍数;(3)找出各分母中不同的因式,相同因式中取次数最高的.满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母.考法1考法2考法3考法4考法5分式的运算分式乘除运算时一般都化为乘法来做,其实质是约分的过程;异分母分式加减过程的关键是通分化为同分母分式,实数的运算律在分式运算中依然适用.考法1考法2考法3考法4考法5例5(2018河北)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:接力中,自己负责的一步出现错误的是(

)A.只有乙 B.甲和丁

C.乙和丙 D.乙和丁答案:D

∴出现错误是在乙和丁,故选D.

考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算,注意提取-1时别忘了“-”号,约分时看对公因式.考法1考法2考法3考法4考法5分式的化简求值分式化简求值题要先确定运算顺序,再根据分式的加、减、乘、除运算法则运算,最后再把相关字母的值代入,但要注意整体代入思想的运用.方法点拨根据分式的运算法则将原式中的括号内的项通分相减,除法转化为乘法,分子可化为完全平方式,分母用平方差公式分解因式,约分得到最简结果.代入a,b的值计算即可求出值.A.2或-2 B.2 C.-2 D.0

∴x2-4=0,解得x=2或x=-2.故选A.第4讲二次根式考点一考点二考点一二次根式的概念

1.概念:式子(a≥0

)叫做二次根式.

注意:二次根式

具有双重非负性:即

≥

0,a≥

0.

2.二次根式的几个重要性质:3.最简二次根式:最简二次根式必须同时满足以下两个条件:(1)被开方数的因数是整数

,因式是整式

.

(2)被开方数不含能开得尽方

的因数或因式.

考点一考点二4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式

后,如果被开方数

相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

考点一考点二考点二二次根式的运算

1.二次根式的加减:先将二次根式化简,再将同类

二次根式进行合并,合并的方法与合并同类项法则相同.

2.二次根式的乘除:注意:二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去(分母有理化)这一方法进行.如:.

3.二次根式的混合运算顺序:先算乘方

,再算乘除

,最后算加减

.二次根式运算的结果一定要化成最简二次根式或整式

.

考法1考法2考法3考法4考法5二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0.例1(2017四川绵阳)使代数式

有意义的整数x有(

)A.5个

B.4个

C.3个

D.2个答案B

解析由题意,得x+3>0且4-3x≥0,解得-3<x≤,整数有-2,-1,0,1,故选B.

方法点拨根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,列不等式组求解.考法1考法2考法3考法4考法5二次根式的性质

答案-1

解析由题意知,∴m=1,n=-2,∴(m+n)5=(1-2)5=-1.

方法点拨此题主要考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.考法1考法2考法3考法4考法5最简二次根式与同类二次根式先将所给的二次根式化成最简二次根式,再根据同类二次根式得到被开方数相同可得出所求字母的值.答案:2

∴a+1=3,解得a=2.

考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨1.判断同类二次根式的步骤:先把所有的二次根式化成最简二次根式;再根据被开方数是否相同来加以判断.要注意同类二次根式与根号外的因式无关.2.最简二次根式的简易判断方法:凡根号里有小数点、分数线、根号的都不是最简二次根式,被开方数中不能含有开得尽方的因数(式).考法1考法2考法3考法4考法5二次根式的运算

答案:3

方法点拨二次根式的运算首先要注意运算顺序,其次要掌握好运算法则,运算结果一定要化成最简二次根式或整式,整式运算中的乘法公式继续使用.考法1考法2考法3考法4考法5化简求值二次根式的化简求值常涉及最简根式、同类二次根式、分母有理化等二次根式的重要概念.例6(2018山东聊城)下列计算正确的是

(

)考法1考法2考法3考法4考法5答案:B

方法点拨本题考查了二次根式的加、减、乘、除等运算,解答本题的关键是根据题目所给的运算法则计算.BAB答案:x>3

答案:x≥-2且x≠0

答案:-1或-7

解析:由题意得x2-9=0,解得x=±3,∴y=4,∴x-y=-1或-7.

第5讲一次方程(组)及其应用考法1考法2考法3考法4一元一次方程的解法一元一次方程的解法分为5步:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,要根据方程的具体情况灵活运用.例1(2016广西贺州)解方程:解去分母得2x-3(30-x)=60,去括号得2x-90+3x=60,移项合并同类项,得5x=150,解得x=30.

方法点拨解一元一次方程时,首先要清楚基本方法与一般步骤,明确每步的理论依据,根据其特点选用解题步骤.注意:去分母、去括号时常数项不要漏乘;去括号时,若括号前面是负号,则去掉括号和它前面的负号,括号里的每一项都变号.考法1考法2考法3考法4二元一次方程(组)的有关概念含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程.二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.方程组的解,一定使方程组中每个方程的左右是相等的.在已知一组对应值是方程组的解时可直接代入方程得到以待定系数为未知数的方程(组).考法1考法2考法3考法4例2(2016贵州毕节)已知关于x,y的方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程,则m,n的值为(

)答案:A

解析:∵方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程,方法点拨利用二元一次方程的定义,构造二元一次方程组.方程组的解适合方程组的每一个方程,把它代入原方程组.考法1考法2考法3考法4二元一次方程(组)的解法解二元一次方程组的基本思路是通过消元,将二元一次方程组转化为一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法,具体应用时,要结合方程组的特点,灵活选用消元方法.如果出现未知数的系数为1或-1,那么宜用代入消元法解;如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较复杂,那么宜用加减消元法解.考法1考法2考法3考法4解法一:由①-②,得3x=3.解法二:由②,得3x+(x-3y)=2,③把①代入③,得3x+5=2.(1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有错误,请在错误处打“×”.(2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.考法1考法2考法3考法4解:(1)解法一中的计算有误(标记略).由①-②,得-3x=3,解得x=-1,把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2,方法点拨考查加减消元法和代入消元法解二元一次方程组,熟练掌握两种方法是解题的关键.考法1考法2考法3考法4列方程(组)解决实际问题在列一次方程(组)解决实际问题时,有些问题,列一元一次方程解决较易;有些问题列二元一次方程组解决较易;有些问题,既可以引入一个未知数,列一元一次方程解决,也可以引入两个未知数,列二元一次方程组解决.这需要我们在解题时认真分析,选择较简单的方法.考法1考法2考法3考法4例4程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚得几丁.意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人?下列求解结果正确的是(

)A.大和尚有25人,小和尚有75人B.大和尚有75人,小和尚有25人C.大和尚有50人,小和尚有50人D.大、小和尚各有100人考法1考法2考法3考法4解法一设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,解得x=25,则100-x=100-25=75(人).所以大和尚有25人,小和尚有75人.故选A.

解法二设大和尚有x人,小和尚有y人,所以大和尚有25人,小和尚有75人.

考法1考法2考法3考法4方法点拨根据100个和尚分100个馒头,正好分完.大和尚1人分3个,小和尚3人分1个得到等量关系为:大和尚的人数+小和尚的人数=100,大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100,依此列出方程或方程组解答即可.1.(2014甘肃庆阳)陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童活动会场,气球的种类有“笑脸”和“爱心”两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同,由于会场布置的需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一束与第二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为(A

)A.14元 B.15元

C.16元 D.17元2.(2016甘肃武威)如果单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,那么nm的值是

.

∴(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2.

4.(2018甘肃)《九章算术》是中国古代数学专著,在数学上有其独到的成就,不仅最早提到了分数问题,也首先记录了“盈不足”等问题.如有一道阐述“盈不足”的问题,原文如下:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?译文为:现有若干人合伙出钱买鸡,如果每人出9文钱,就会多11文钱;如果每人出6文钱,又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少?请解答上述问题.解:设合伙买鸡者有x人,鸡的价格为y文钱.故合伙买鸡者有9人,鸡的价格为70文钱.

5.(2015甘肃甘南)某酒厂每天生产A,B两种品牌的白酒共600瓶,A,B两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表:设每天生产A种品牌白酒x瓶,每天获利y元.(1)请写出y关于x的函数关系式;(2)如果该酒厂每天至少投入成本26400元,那么每天至少获利多少元?解:(1)设A种品牌白酒x瓶,则B种品牌白酒(600-x)瓶,依题意,得y=20x+15(600-x)=5x+9

000.(2)设A种品牌白酒x瓶,则B种品牌白酒(600-x)瓶,依题意,得50x+35(600-x)=26

400,解得x=360,∴每天至少获利y=5x+9

000=10

800(元).第6讲一元二次方程及其应用考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程的有关概念一元二次方程的概念必须满足三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.例1下列方程一定是一元二次方程的是(

)A.3x2+4-=0 B.5x2-6y-3=0C.ax2-x+2=0 D.3x2-2x-1=0答案:D

方法点拨解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义,特别是二次项系数应为非零数,即a≠0这一隐含条件.考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程的解法一元二次方程的基本解法有四种:(1)直接开方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.在解一元二次方程时首先看是否能运用直接开平方法,再看能否运用因式分解法,公式法适用于所有的一元二次方程的求解.考法1考法2考法3考法4考法5例2解方程:(x-3)2+4x(x-3)=0.分析:本题可以采用因式分解法或公式法解.解法一把方程左边因式分解,得(x-3)(x-3+4x)=0,即(x-3)(5x-3)=0,解法二原方程整理,得5x2-18x+9=0.∵Δ=(-18)2-4×5×9=144>0,方法点拨此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择,常常涉及配方法、公式法、因式分解法.选择解法时要根据方程的结构特点、系数(或常数)之间的关系灵活进行,解题时要讲究技巧,保证准确、迅速.考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式为Δ=b2-4ac,其意义在于不解方程可以直接根据Δ判别根的情况,(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ<0时,方程无实数根.还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围.考法1考法2考法3考法4考法5例3(2018内蒙古包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为(

)A.6 B.5 C.4 D.3答案:B

解析:∵a=1,b=2,c=m-2,关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有实数根,∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.∵m为正整数,∴m=1,2或3.又当m=1时,Δ=8该方程的根不是整数,∴m≠1.∴m=2或3.∴2+3=5.故选B.

考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:(1)不解方程,判定根的情况;(2)根据方程根的情况,确定方程系数中字母的取值范围;(3)应用判别式证明方程根的情况.本题根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0,得出m≤3,由m为正整数结合该方程的根都是整数,求出m的值,将其相加即可.考法1考法2考法3考法4考法5一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系的应用:(1)已知一根,求另一根及求未知系数;(2)不解方程,求与方程两根有关的代数式的值;(3)已知两数,求以这两数为根的方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号.考法1考法2考法3考法4考法5例4(2018江苏泰州)已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,则下列结论一定正确的是(

)A.x1≠x2 B.x1+x2>0C.x1·x2>0 D.x1<0,x2<0答案:A

解析:∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,结论A正确;∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a,∵a的值不确定,∴结论B不一定正确;∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2,结论C错误;∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,结论D错误.故选A.

考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨一元二次方程根与系数的关系包含Δ=b2-4ac和x1+x2=-字母的值或取值范围时,必须要考虑:(1)a≠0,(2)b2-4ac≥0.考法1考法2考法3考法4考法5用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题的关键是在充分理解题意的基础上,寻求题中的等量关系,从而建立方程.增长率问题和利润问题是最常见的类型.考法1考法2考法3考法4考法5例5(2018江苏盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为

件;

(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?分析:(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6(件),即平均每天销售数量为20+6=26(件);(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润,列出方程解答即可.考法1考法2考法3考法4考法5解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26(件),故答案为26.(2)设每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1

200元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1

200,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.∵要求每件盈利不少于25元,∴x2=20应舍去,解得x=10.答:每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1

200元.

方法点拨此题是利润问题,列方程的等量关系是:总利润等于每一件商品的利润乘以销售件数,根据等量关系列方程,解方程.最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际要求,不符合的要舍去.1.(2018甘肃)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是(C

)A.k≤-4 B.k<-4C.k≤4 D.k<42.(2017甘肃兰州)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值范围为

(C

)解析:根据题意得Δ=42-4k≥0,解得k≤4.故选C.3.(2016甘肃兰州)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为(C

)A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=04.(2017甘肃白银)如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是(

A

)A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×32-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=5705.(2017甘肃兰州)王叔叔从市场上买了一块长为80cm,宽为70cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱,根据题意列方程为(

C

)A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=30006.(2015甘肃兰州)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是(

B

)7.(2016甘肃兰州)一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是(

B

)A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根8.(2016甘肃平凉)三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程x2-13x+40=0的根,则该三角形的周长为12

.

9.(2017甘肃武威)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k<5且k≠1

.

解析:∵关于x的一元二次方程方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,解得k<5且k≠1.

10.(2016甘肃兰州)解方程2y2+4y=y+2.解:2y2+4y=y+2,2y2+3y-2=0,(2y-1)(y+2)=0,2y-1=0或y+2=0,所以y1=

,y2=-2.

11.(2016甘肃定西)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m的值;(2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.(1)解:根据题意,将x=1代入方程x2+mx+m-2=0,得1+m+m-2=0,解得m=

.

(2)证明:∵Δ=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.第7讲分式方程及其应用考法1考法2考法3解分式方程解分式方程的基本思路就是将分式方程转化为整式方程,通常可采用方程两边同乘最简公分母的方式进行,有些繁杂的方程可采用换元法.A.x=1 B.x=-1

C.x=3 D.x=-3答案:A

去分母,方程两边同时乘x(x-2)得:(x+1)(x-2)+x=x(x-2),x2-x-2+x=x2-2x,x=1,经检验,x=1是原分式方程的解,故选A.

考法1考法2考法3方法点拨解分式方程首先要把分式方程转化为整式方程.解分式方程时必须注意以下两点:(1)去分母时,要将最简公分母乘每一个式子,不要“漏乘”;(2)解分式方程时必须检验,检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可.若能使最简公分母为0,则该解是原方程的增根.考法1考法2考法3分式方程的增根利用增根求分式方程中字母的值:(1)确定增根;(2)将原分式方程化成整式方程;(3)将增根代入变形后的整式方程,求出字母的值.例2(2018山东潍坊)当m=

时,解分式方程

会出现增根.

答案:2

解析:分式方程可化为:x-5=-m,由分母可知,分式方程的增根是3,当x=3时,3-5=-m,解得m=2,故答案为2.

方法点拨分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的过程中出现的使分式方程的分母为0的未知数的值,它满足变形所得的整式方程,但不满足分式方程.在解决与增根有关的问题时,应先将分式方程去分母,转化为整式方程,再将可能为增根的未知数的值代入,即可求出待定字母的值.考法1考法2考法3分式方程的应用解题步骤同其他方程的应用一样.但在列分式方程解应用题时必须做好两个检验,既要检验是否为原方程的根,又要检验是否符合题意.考法1考法2考法3例3(2018山西)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.考法1考法2考法3解:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时,方法点拨根据速度=路程÷时间和“复兴号”列车平均每小时比“和谐号”列车多行驶40千米,即可得出关于x的分式方程,列分式方程解决实际问题.与整式方程一样,关键是找到“等量关系”,将实际问题抽象为方程问题.列出方程,注意分式方程不要忘记检验.A.2或-2 B.2C.-2 D.0值范围为(D

)A.a>1 B.a<1C.a<1且a≠-2 D.a>1且a≠23.(2016甘肃白银)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是(A

)解析:方程的两边同乘x(x+3),得2(x+3)=5x,解得x=2,检验:把x=2代入x(x+3)=10≠0,即x=2是原分式方程的解.解析:方程两边都乘(x-1),得ax+1-(x-1)=0,∵原方程有增根,∴最简公分母x-1=0,即增根为x=1,把x=1代入整式方程,得a=-1.第8讲一元一次不等式(组)及其应用考法1考法2考法3考法4考法5不等式的性质运用不等式的基本性质解题时要注意与等式的基本性质的区别与联系,特别强调:在不等式两边都乘或除以一个负数时,不等号的方向要改变.例1若m>n,下列不等式不一定成立的是

(

)答案:D

方法点拨不等式的基本性质是不等式变形的依据,是我们应掌握的基本知识.考法1考法2考法3考法4考法5在数轴上表示不等式(组)的解在数轴上表示不等式的解集,“>”“≥”向右画;“<”“≤”向左画;“≥”“≤”要用实心圆点表示;“<”“>”要用空心圆点表示.解一元一次不等式组,把每个不等式的解集在数轴上表示出来时,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.考法1考法2考法3考法4考法5分析:先去分母,再去括号,移项,合并同类项,把x的系数化为1,并在数轴上表示出来即可.解:去分母得,5x-1<3(x+1),去括号得,5x-1<3x+3,移项得,5x-3x<3+1,合并同类项得,2x<4,把x的系数化为1得,x<2.在数轴上表示为:方法点拨确定解集定边界点时要注意,点是实心还是空心;包含区域是左侧还是右侧.考法1考法2考法3考法4考法5不等式(组)的解法熟练掌握不等式的基本性质是正确地解一元一次不等式的基础.解不等式的一般步骤与解方程的步骤相同.但要特别注意“不等式两边同乘(或除以)一个负数时,必须改变不等号的方向”,这是一个难点和易错点.考法1考法2考法3考法4考法5分析:先求出每个不等式的解集,再根据口诀求出不等式组的解集即可.方法点拨解不等式组的思路可以归纳为“分开解,合着判”.求解集过程可以借助口诀:大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小找不着(无解).考法1考法2考法3考法4考法5确定方程或不等式(组)中字母的取值(范围)不等式组中字母系数取值(范围)的确定,关键是要弄清不等式组解集的意义,掌握不等式组解集的确定方法.我们首先要把所给不等式(组)化成最简形式,再根据所给解集逆向确定字母系数的取值(范围).考法1考法2考法3考法4考法5A.m>4 B.m≥4 C.m<4 D.m≤4答案:D

∵解不等式①得x>3,解不等式②得x>m-1,又∵关于x的一元一次不等式组∴m-1≤3,解得m≤4,故选D.

考法1考法2考法3考法4考法5方法点拨根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围,解决此类问题时,一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集,再根据已知不等式(组)的解集情形,求出字母的取值范围.考法1考法2考法3考法4考法5不等式的应用一元一次不等式在实际生活中有着广泛的应用,解此类实际问题时,需从题目中捕捉不等关系的词语(如:不足、至少、不少(多)于、不超过、不低于等),用不等式将它们表示出来,通过解不等式找出符合题意的解.考法1考法2考法3考法4考法5例5如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明,妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷,她再将卡片以每张15元的价格贩售.若利润等于收入扣掉成本,且成本只考虑设计费与印刷费,则她至少需印多少张卡片,才可使得卡片全部售出后的利润超过成本的2成?(

)A.112 B.121 C.134 D.143考法1考法2考法3考法4考法5分析:设妮娜需印x张卡片,根据利润=收入-成本,结合利润超过成本的2成,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,取其内最小的整数即可得出结论.答案:C

解析:设妮娜需印x张卡片,根据题意得:15x-1

000-5x>0.2(1

000+5x),解得x>133,∵x为整数,∴x≥134.答:妮娜至少需印134张卡片,才可使得卡片全部售出后的利润超过成本的2成.

1.(2016甘肃天水)若点P(a,4-a)是第一象限的点,则a的取值范围是0<a<4

.

解析:∵点P(a,4-a)是第一象限的点,2.(2018甘肃)如图,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点P(n,-4),则关于x的不等式2x+m<-x-2<0的解集为-2<x<2

.

解析:∵一次函数y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-4=-n-2,解得n=2,∴P(2,-4).又∵y=-x-2与x轴的交点是(-2,0),∴关于x的不等式2x+m<-x-2<0的解集为-2<x<2.故答案为-2<x<2.解1-x<2得x>-1.则不等式组的解集是-1<x≤3.∴该不等式组的最大整数解为x=3.

由不等式①移项,得4x+x>1-6,整理,得5x>-5,解得x>-1,由不等式②去括号,得3x-3≤x+5,移项,得3x-x≤5+3,合并,得2x≤8,解得x≤4,则不等式组的解集为-1<x≤4.在数轴上表示不等式组的解集如图所示,上表示出来.解:由①得,x≥-3,由②得,x≤4,故不等式的解集为-3≤x≤4.在数轴上表示不等式组的解集如图所示,6.(2017甘肃天水)天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?解:(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,答:购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10-a)辆,由题意得因为a是整数,所以a=6,7,8,则10-a=4,3,2.三种方案:①购买A型公交车6辆,B型公交车4辆:100×6+150×4=1

200万元;②购买A型公交车7辆,B型公交车3辆:100×7+150×3=1

150万元;③购买A型公交车8辆,B型公交车2辆:100×8+150×2=1

100万元.则购买A型公交车8辆,B型公交车2辆费用最少,最少总费用为1

100万元.

第9讲平面直角坐标系与函数的概念考法1考法2考法3考法4平面直角坐标系内点的坐标特征例1在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案:B

解析:∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴点P(-2,x2+1)在第二象限.故选B.

方法点拨本题考查了点的坐标,记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).考法1考法2考法3考法4点的坐标规律探究此类题型有助于培养同学们的观察和归纳能力,解决此类题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.例2(2018广东广州)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,……第n次移动到An,则△OA2A2018的面积是(

)考法1考法2考法3考法4答案:A

解析:由题意知OA4n=2n,∴OA2

016=1

008,∴A2A2

018=1

009-1=1

008,故选A.

方法点拨解决这类问题首先要通过作图研究坐标的变化规律,找到坐标的变化规律后再依据规律解答.考法1考法2考法3考法4函数图象的应用对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.函数的图象以几何形式直观地表示变量间的对应关系,在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,结合题意寻找对应的现实情境.考法1考法2考法3考法4例3(2018内蒙古通辽)小刚从家去学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车匀速行驶一段时间后到达学校,小刚从家到学校行驶路程s(单位:m)与时间t(单位:min)之间函数关系的大致图象是(

)考法1考法2考法3考法4答案:B

解析:根据题意得:小刚从家到学校行驶路程s(单位:m)与时间t(单位