1990-2017考研数学二历年真题word版

,x>0,x>0ax在x=0连续，则b,x<011(A)ab=(B)ab=-㊁(C)ab=0(D)ab=22017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.'1-cosTx(1)若函数f(x)=<(2)设二阶可到函数f(x)满足f⑴=f(-1)=1,f(0)=-1且f"(x)>0,则(A)(B)(C)(D)J1f(x)dx>0-1J1f(A)(B)(C)(D)J1f(x)dx>0-1J1f(x)dx<0-2J0f(x)dx>J1f(x)dx-10J1f(x)dx<J1f(x)dx-10(3)设数列｛x｝收敛，则n(A)当limsinx=0时，limx=0nnnT8nT8当limx(x+.nnnT8当lim(x+x2)=0,lim=0nnsnnsx)=0时，则limx=0nnnT8(D)当lim(x+sinx)=0时，limx=0nnnnT8nT8(4)微分方程y"—4y'+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为yk=Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(5)设f(x)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有”y)>0,第丫y)则dxdyf(0,0)>f(1,1)f(0,0)<f(1,1)(C)f(0,1)>f(1,0)(D)f(0,1)<f(1,0)(6)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处，图中，实线表示甲的速度曲线v=V](t)(单位:m/s)

虚线表示乙的速度曲线v=v(t),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为t(单位:s),20则(D)t>25

0t=10(B)15<t<(D)t>25

0000则A(则A(a,a,a)=123(7)设A为三阶矩阵，P=(a,a,a)为可逆矩阵，使得P-1AP=010123002(A)a+a12(B)a+2a23(C)a+a23(D)a+2a12-200--210-「100-8)已知矩阵A=021，B=020，C=020，则001001000A与C相似，B与C相似A与C相似，B与C不相似A与C不相似，B与C相似A与C不相似，B与C不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.曲线y=x(1+arcsin2x)的斜渐近线方程为厂/、x=t+etd2y设函数y=y(x)由参数方程\确定，则一+、y=sintdx2t=oLTPdx=0\1+x/⑵如果⑵如果r+r求方程组Ax=b的通解⑵如果⑵如果r+r求方程组Ax=b的通解(12)(12)设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)=yeydx+xG+y)eydy,f(0,0)=0，则f(x,y)=(13)AdyJ1ta^dx=voyx(41-2「r1「14)设矩阵A=12a的一个特征向量为1，则a=J31-1J；2丿共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.三、解答题：15~23小题，(15)(本题满分10分)JxJx_tetdt求limxt0+x3(16)(本题满分10分)d2y'dx2x=0设函数f(u,v)具有2阶连续性偏导数，y=f(x,cosxd2y'dx2x=0x=017)(本题满分10分)nk|求limE一ln1ntsn2(k=118)(本题满分10分)已知函数「「由方程工+'・•-注—°确定，求的极值19)(本题满分10分)f(x)在[o,1]上具有2阶导数，f(1)>0,limf(x)<0，证明xt0+x(1)方程f(x)=0在区间(0,1)至少存在一个根(2)方程f(x)+f‘‘(x)+[f'(x)]2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根20)(本题满分11分)已知平面区域D=20)(本题满分11分)已知平面区域D=,y)X2+y2计算二重积分D21)(本题满分11分)3设y(x)是区间(0,-)内的可导函数，且y⑴=0，点P是曲线L:y=y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,Y)，法线与x轴相交于点(X,0)，若X=YPPpP，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。(22)(本题满分11分)三阶行列式A=(a,a,a)有3个不同的特征值，且a=a+2a123312(1)证明r(A)=2

23)(本题满分11分)设f(x,x,x)=2x2一x2+ax2+2xx一8xx+2xx在正交变换x=Qy下的标准型为九y2+九y2求a的值及1231231213231122一个正交矩阵Q.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题a3=一1.当20+时，以上3个无穷小量按照从低阶选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.(1)设a=x(cosa3=一1.当20+时，以上3个无穷小量按照从低阶1一到高阶拓排序是A)a,a,a.123B)a,a,a231C)a2,a1,a3.D)a,a,a.3212)已知函数f(x)=『(：D'Ilnx,A)(x-1)2,

x(lnx—1),x<1.(B)F(x)=<x<1.(x-1)2,

x(lnx+1)—1,x<1.x>1.x<1.(x—1)2,x(lnx+1)+1,x>1.(D)F(x)=<x<1.(x—1)2,x(lnx—1)+1,x>1.(3)反常积分①1exdx,—ax2

11②Iexdx的敛散性为0x2(A)①收敛，②收敛.(B)①收敛，②发散.(C)①收敛，②收敛.(D)①收敛，②发散.(4)设函数f(x)在(-a,+如内连续，求导函数的图形如图所示，则函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点.(C)函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点.(D)函数f(x)有3个极值点，曲线y二f(x)有2个拐点.(5)设函数f(x)(i二1,2)具有二阶连续导数，且f(x)<0(i二1,2)，若两条曲线ii0y二f(x)(i二1,2)在点(x,y)处具有公切线y二g(x)，且在该点处曲线y二f(x)的曲率大于曲线y二f(x)的曲率,i0012则在x的某个领域内，有0f(x)<f(x)<g(x)12f(x)<f(x)<g(x)21f(x)<g(x)<f(x)12f(x)<g(x)<f(x)21ex(6)已知函数f(x,y)=，贝yx-yf'-f'=0xyf'+f'=0xyxy(D)f'+f'=fxy设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是AT与BT相似A-1与B-1相似A+At与B+Bt相似A+A-1与B+B-1相似设二次型f(x,x,x)=a(x2+x2+x2)+2xx+2xx+2xx的正、负惯性指数分别为1,2，则TOC\o"1-5"\h\z123123122313a>1\o"CurrentDocument"a<-2-2<a<1D)a=1与a=-2、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。x3曲线y=+arctan(l+x2)的斜渐近线方程为.1+x2

10)极限lim—(sin—+2sin—++nsin—)10)TOC\o"1-5"\h\zn*—2———(11)以y=x2-ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为.已知函数f(x)在(—a,+8)上连续，且f(x)=(x+1)2+2Jxf(t)dt，则当n>2时，f(-)(0)=.0已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数v，则0当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是.a-1-1"-110"14)设矩阵-1a-1与0-11等价，则a=-1-1a101解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本题满分10分)(本题满分10分)设函数f(x)=J1|t2-x21dt(x>0)，求f'(x)并求f(x)的最小值.o(本题满分10分)已知函数z=z(x,y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x,y)的极值.(本题满分10分)设D是由直线y=1，y=x，y=-x围成的有界区域，计算二重积分-—dxdy.x2+y2D(本题满分10分)已知y(x)=ex，y(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x-1)y—-(2x+1)y'+2y=0的解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求12u(x)，并写出该微分方程的通解。20)(本题满分11分)周所得旋转体的体周所得旋转体的体兀0<t<-围成的平面区域，求D绕x轴旋转2丿积和表面积。(21)(本题满分11分)3兀3兀cosx已知f(x)在［0,］上连续，在(0,)内是函数的一个原函数f(0)=0。222x一3兀3兀(I)求f(x)在区间［0,亍］上的平均值；

(II)证明f(x)在区间(0,可)内存在唯一零点。ri11—a、r0、设矩阵A=i0a，0=1,a+11a+1,.2a—2丿22)(本题满分11分)(I)求a的值;且方程组Ax=0无解。(II)求方程组AtAx=At0的通解。23)(本题满分11分)r0—11、已知矩阵A=2—30、000?(I)求a99(II)设3阶矩阵B=(a,a,a)满足B2=BA。记Bioo=(0,0,0)，将0,0,0分别表示为a,a,a的线性组123123123123合。合。2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1〜8小题，每小题4分，共32分•下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是()(A)J丄dxx2+rlnx,(A)J丄dxx2+rlnx,dxx21—dx(c)1lxlnx2(D)2(2)函数f(x)=lim(l+Sint)7在(—a,(2)函数f(x)=lim(l+Sint)7在(—a,+8)内()tt0x(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点1xaCOS—⑶设函数f(x)=\x0(a>0,0>0),若f(x)在x=0处连续,则()0,x<0(A)a—0>1(B)0<a—0<1(C)a—0>2(D)0<a—0<2⑷设函数f(x)在(—a,+a)连续，其二阶导函数f"(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为()A)0(B)1(C)2(D)3(5).设函数f(u,v)满足f(x+y,-)=x2—y2x则f加“=iv=1依次是()v=1(A(A)2,0(B)0，*(C)-|,0(D)0,-|(6).设D是第一象限中曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=\/3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则f(x,y)dxdy=()DA)J2d0『s/20f(rcos0,rsin0)drA)J2d0『s/20f(rcos0,rsin0)dr4—12sin20B)J2d0f(rcos0,rsin0)drX1—4x2sin20f(rcos0,rsin0)drD)J3d0J、^20f(rcos0,rsin0)dr42sin20〔1111〔11(7)．设矩阵A=12a，b=dJ4a2丿<d2丿(A)a@0,d@0d0Jsin20匹12sin20，若集合Q」l,2｝，则线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件为()(B)a@0,deQ(C)aeQ,d@0(D)aeQ,deQ(8)设二次型f(x,x,x)在正交变换x=Py下的标准形为2y2+y2-y2,其中P=(e,e,e)，若Q=(e,-e,e)，则123123123132f(x,x,x)在正交变换x=Py下的标准形为()123(A)：2y2(A)：2y2-y2+y3(B)2y12+y2-y2(C)2y12-y22-y32(D)2y12+y22+y32二、填空题：9〜14小题,每小题4分洪24分•请将答案写在答题纸指定位置上.t=1x=arctant^，d2y⑼设［y=3t+13t=1函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=设函数f(x)连续，申(x)=Jx2xf(t)dt,若申(1)=1，申'(1)=5，则f(1)=0设函数y=y(x)是微分方程y”+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取值3,则y(x)=若函数z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz=(0,0)设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，B=A2—A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|b|=三、解答题：15〜23小题,共94分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx2，若f(x)与g(x)在xT0是等价无穷小，求a,b,k的值。16、(本题满分10分)设A>0,D是由曲线段y二asinx（0<x<）及直线y二o,x二所形成的平面区域，V,V分别表示D绕X轴2212与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若V二V，求A的值。1217、(本题满分10分)已知函数f(x,y)满足f(x,y)=2(y+1)ex，f'(x,0)=(x+1)ex，f(0,y)=+2y,求f(x,y)的极值。xyx18、(本题满分10分)计算二重积分Dx(x+y)dxdy,其中D=tx,y)|x2+y2<2,y>x2AD19、（本题满分10分），求f（x）零点的个数。已知函数f(x)=J1Jl+12dt+fx2Jl，求f（x）零点的个数。x120、（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为1200C的物体在200C恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至300C，若要使物体的温度继续降至210C，还需冷却多长时间？21、（本题满分11分）已知函数f（x）在区间[a,+8）上具有2阶导数，f（a）=0,f'（x）>0,设b>a,曲线y=f（x）在点（b,f（b））处的切线与X轴的交点是（x,0），证明：a<x<b。0022、（本题满分11分）'a10]设矩阵A=1a—1,且A3=0，（1）求a的值；（2）若矩阵X满足X—XA2-AX+AXA2=Z,其中Z为3阶单<01a丿位矩阵，求X。23、（本题满分11分）'02—3、'1—20'设矩阵A=—13—3，相似于矩阵B=0b0、1—2a,、031,（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P,使P-1AP为对角矩阵。

⑴①）1050ra別虬fcHK4划井32焦下列M儘出前囱他瀰中，只有fS陨粉廳目豪衣的用将所选期前的学曲潇册渝定检置上⑹(U)⑴①）1050ra別虬fcHK4划井32焦下列M儘出前囱他瀰中，只有fS陨粉廳目豪衣的用将所选期前的学曲潇册渝定检置上⑹(U)下列曲践有渐近践的是⑵丄当XTtTft,若1口“（1+2初，（1—匚［］玫尸均拦比x斋阶的无軒小-』必的服憧范固是f）©S⑶设函盪贰劝具有2阶导盪’gW=/O-^）十/（忖则在区间口1］上CA)y=x+sin.xffi)y=+sm(G)y=^+sin—X©)y=+sin2工⑷当/M＞0吋「做边（力©当门羽ZD时,田）当/f（A）＞.0吋.（D）当广•〔碇D时*/U）＜g®E：“上对应于才=1的点处的曲率半径是y=r+^+12014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试CA)1⑹n2^=OJI|没雨藪就兀刃衽肓界闭区壇。上逹密-在。的内爲具肓CA)1⑹n2^=OJI|没雨藪就兀刃衽肓界闭区壇。上逹密-在。的内爲具肓2阶逹纯偏导歎且満足—-^0没函藪孑（M=aiUam若找）貳，则%°卫"口（XM的區丸值和晟讣值那在D的内鄒上取得000b0a0班扎》）的畳丸懂在D的內部駁得，厦出值在口的边界上取再⑺行列式口（XM的區丸值和晟讣值那在D的内鄒上取得000b0a0班扎》）的畳丸懂在D的內部駁得，厦出值在口的边界上取再⑺行列式⑷呎扎丁）的通大僅和遏中值都在Q的边界上服得⑻没场‘屯,屯均为弓雖向量.则对仕恿第数匕匚向虽:组屯+圧屯，屯+1屯践性无姜是向虽组①）班各妙的最--卜值在。的内都职得r最大值在Q的边界上躺寻禺,也,屯銭性无灵的CA)(ad-bcf'(E)-(nd-bcfCO^2-bVCA）必要非京分峯件炽充并必要慕枠（B）充分非必墓峯件4）既非充并也菲必姜煤件(132（H）设"畑）是由方程/严+#+#+?=扌确定的函熱则血，厂曲數的极坐标方程是一dJO(132（H）设"畑）是由方程/严+#+#+?=扌确定的函熱则血，厂曲數的极坐标方程是一dJO芒点亿叭=中专型的切躺翳坐拆方■程是（1S—粗卷为1的測Ht干f畑的区筒①i）匕菩莫鏡密蜃皿』卜-川+心十匚则该细心二«£tti虬L4示爲郵射K4糊茹囂处摘將瞽霜耳在韜脾損足位■上伯1?7冷注（1弘设『（秽是周朋为4的可导帝函飒•且广（伸=2伪一1）,侶[Q2],则f（7）=3333坐标T*=.（14）设二次型川兀心“二於-心十沏也十咳兀的炎锻性抽憑是b则a的般值范協三般斷15〜23小匹些的分•骨締B曹写在榔5165過置上勵应写出文字挠如证郦毎翊翊E,（⑸体题满分10分）【:?/1>2-1</Ti2ln<求极限lim◎■to（16）（本题满分10分）己知函切曲）满足微分芳程产十才”=1_厂且y（2）=0,求y（z）fe极犬值与极外值.（17）（本题满分10分）Tfsinx+yAsin[^A2+y2Tfsinx+y设平面区城0=｛〔“)卜护+尹2<4,x>0,y>0),计舁JJ——-dxdy.（⑻（本题满分10分）设函致f（u）具有2阶逹经导数.zh/^co劝满淫=(4Z4-『cosy)/■若/（0）=0』'（=(4Z4-『cosy)/■（⑼滋題満分苗分）设函數/（成g®的区斶[qb]上建陆E/W调增加.0<£«<1,匹明:CI）0£『g（/）刃£乳一牛兀e[a,3]sCID炉则殛赵㈣如・（20）（本题满分11分）役函数/（K）=-^,xe[0jl,定义函独和+兀右仗）=/（冀）/（%）=/（£（©），…,仗）），…也比是曲娥丿=久仗），直^x=i320z00与tfiW.1丿2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题硬工牺啓国庭竽面图花的屈积.求锻限朋+⑵)(本龜淆分口知己知屈数门斗刃滿足亶“^+小且/^炉^护口站yy卽''求曲a/(x^)=o^a成的国矗绕直授尸7旋轉用应的旋转怖的故稅⑴求方■程鍋血工0酋一个基础妳耒;tin的窝有矩阵B.论3(本题满分"分)证瞩Z1阶建阵<22)(本题倉井LtA=、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.1.设cosx-1=xsina(x),|a1.设cosx-1=xsina(x),|a(x)|(B)比x低阶的无穷小(D(B)比x低阶的无穷小(D)与x等价无穷小(C)与x同阶但不等价无穷小2.已知y=f(x)是由方程cos(xy)-lny+x=1确定，则limnfns\A)2(B)1(C)-1(D)-2[sinx,xe[0,兀)「3•设f(X)H2,xe肛即]，卩(x)JXf(t)dt则()(A)x(A)x二兀为F(x)的跳跃间断点.(E)x二兀为F(x)的可去间断点.(C)F(x)在(C)F(x)在x二兀连续但不可导.(D)F(x)在x二兀可导.1[4•设函数f(x)4•设函数f(x)=<(x，且反常积分fQdx收敛，则(),x>e、xlna+ixA)a<-2A)a<-2(B)a>2C)-2<a<0D)0<a<25•设函数z=沙),其中/可微，则召皇诗二()22(A)2yf'(xy)(B)-2yf'(xy)(C)一f(xy)(D)—一f(xy)xx设D是圆域D=y)1x2+y2<1】的第k象限的部分，记I(y-x)dxdy，则()kkDk(A)I>0(B)I>0(C)I>0(D)I>01234设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，贝»矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.r1a1「r200、8．矩阵aba与矩阵0b0相似的充分必要条件是V1a1丿V000丿(A)a二0,b二2(B)a=0，b为任意常数(C)a二2,b二0(D)a=2，b为任意常数二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)9.lim2-ln(1+x)xt0Vx丿dx9.lim2-ln(1+x)xt0Vx丿dx10.设函数f(x)Jp-etdt，则y二/(x)的反函数x二f-1(y)在y二0处的导数亦1円-1"丫兀c兀、11.设封闭曲线L的极坐标方程为r二COS30-三<e<三t为参数，则L所围成的平面图形的面积为

V66丿x二arctant12.曲线上｛.——对应于t=1处的法线方程为y=In1+1213-已知y1二g-“心，y2二ex-，y3一^"是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足y(0)=0,y'(0)=1方程的解为.14.设A=(a)是三阶非零矩阵，|A|为其行列式，A为元素a的代数余子式，且满足A+a二0(i,jijjjijij1,2,3)，则IAI三三、解答题15．(本题满分10分)当xT0时，1—cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a,n.16．(本题满分10分)设D是由曲线y二证，直线x二a(a>0)及x轴所转成的平面图形，V,V分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成xy的立体的体积，若10V二V，求a的值.xy17．(本题满分10分)设平面区域D是由曲线x=3y,y=3x,x+y=8所围成，求Kx2dxdy.D18．(本题满分10分)设奇函数f(x)在L1,1］上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：(1)存在2e(0,1)，使得广《)=1；⑵存在耳e(—1,1)，使得f)+fr(n)二1•19．(本题满分10分)求曲线x3—xy+y3二1(x>0,y>0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.20．(本题满分11)设函数f(x)=Inx+-x⑴求f(x)的最小值；⑵设数列•｝满足Inx+丄<1，证明极限limx存在，并求此极限.nnxnnsn+121．(本题满分11)设曲线L的方程为y=1x2—!lnx(1<x<e)•42求L的弧长．设D是由曲线L,直线x二1,x二e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标.(1I122．本题满分(1I11)b丿'问当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求出所有矩阵C23(本题满分11分)设二次型f设二次型f(x1,x2,x3)二(a)(b)112(ax+ax+ax)2+(bx+bx+bx)2•记a=a,p=b11223311223322ja丿3Jb丿v37(1)证明二次型f对应的矩阵为2aat+PBt；⑵若,卩正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y.+y2.101010102012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.•••(1)曲线y二◎兰的渐近线条数()X2-1(A)0(B)1(C)2(D)3⑵设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中n为正整数，则f'(0)=()(3)(A)(-1)n-1(n-(3)(A)(-1)n-1(n-1)!(B)(-1)n(n-1)!(C)(-1)n-1n!(D)(-1)nn!设a〉0(n=1,2,3),na+a+a+12+a，则数列｛S｝有界是数列｛a｝收敛的3n(A)充分必要条件.(C)必要非充分条件...(B)(D)充分非必要条件非充分也非必要(4)(A)I<I<(4)(A)I<I<I(B)I<I<I123321(C)I<I23(D)I<I<I213设I=J*兀ex2sinxdx,(k=1,2,3),则有k0⑸设函数f(x,y)为可微函数，且对任意的x,y都有必竺〉0,尘』＜0,则使不等式f(x,y)〉f(x,y)成立的一个dxdy1122充分条件是()(A)x〉x，y1<y2(B)x〉x，y1〉y2(C)x1<x2,y1<y2(D)x1<x2,y1〉y则J](x则J](x5y-1)dxdy=⑹设区域D由曲线y=sinx,x=±—,y=1围成,(A)兀(D)-兀()a=厂0'0(A)兀(D)-兀()a=厂0'0,a='0、1,a=(1「-1,a=[-1]11234」1J<c丿2J»Jc丿4(B)2(C)-2(7)设,其中c,c,c,c为任意常数，1234则下列向量组线性相关的为(A)a,a(A)a,a,a123(B)a,a,a124(C)a1,a3,a(D)a,a23⑻设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=,,a,a)，Q=(⑻设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=0.若P=(a20.若P=(a2>(21)((21)(本题满分10分)(21)((21)(本题满分10分)()()(A(A)a(e九x+e-九x)(B)ax(e心+e-心)(A(A)a(e九x+e-九x)(B)ax(e心+e-心)‘100、‘100、‘200、‘200、(A)020(B)010(C)010(D)020<001丿<002丿<002丿<001丿二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.⑼设y=y(x)是由方程x2-y+1=ey所确定的隐函数，则＜d^=dx2x=0(10)limnns1++22+n(10)limnns1++22+n2(11)(12)设z=qinx+-丿,其中函数f(u)可微，则x臥+y2莎=微分方程ydx+(x-3y2)dy=0满足条件yx=1=1的解为y=(13)曲线y=x2+x(x<0)上曲率为弓的点的坐标(14)设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则BA*=,三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本题满分10分)已知函数f(x)=-—，记a=limf(x)，smxxx—o⑴求a的值；(II)若xT0时，f(x)—a与xk是同阶无穷小，求常数k的值.(本题满分10分)x2+y2求函数f(x,y)=xe—2的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线L:y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(本题满分10分)计算二重积分xydb，其中区域D为曲线r=1+cos0(0<0<k)与极轴围成.D(本题满分10分)已知函数f(x)满足方程f〃(x)+八x)—2f(x)=0及f〃(x)+f(x)=2ex,求f(x)的表达式；求曲线y=f(x2)fxf(—12)dt的拐点.0(本题满分10分)证明xln+cosx>1+—,(—1<x<1).1—x2

内有且仅有一个实根；⑴证明方程Xn+Xn-1++X=1(n>1的整数)，在区间£,1内有且仅有一个实根；(22)(本题满分11分)(II)记(I)中的实根为X(22)(本题满分11分)r1a00、r1]01a0-1，卩=001a0va001丿v0丿设A=nsn⑴计算行列式|A|；(II)当实数a为何值时，方程组Ax=卩有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11分)已知A(1已知A(10-1<0a-J，二次型f匕x2,X3)=XT(ATA)X的秩为2,(I)求实数a的值;(II)求正交变换x=Qy将f化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题(A)选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上。•••已知当XT0时，函数f(X)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则()k=1,c=4(B)k=1,c=-4(C)k=3,c=4(D)k=3,c=-4设函数f(X)在X=0处可导，且f(0)=0，则lim—'NX)=()TOC\o"1-5"\h\zXTOX3(A)-2广(0)(B)-广(0)(C)广(0)(D)0函数f(x)=ln|(X-1)(X-2)(X-3)|的驻点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3微分方程y"一九2y=e心+e亠(九〉0)的特解形式为()证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。(C(C)x(ae心+be-心)(D)x2(ae心+be-心)(5)设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0,g(0)<0,f'(0)二g'(0)二0则函数z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()f''f''(0)<0，g''(0)>0f''(0)<0，g''(0)<0f''f''(0)>0，g''(0)>0f''(0)>0，g''(0)<0血(6)设血(6)设I=4lnsinxdx，0

(A)I<J<KC)J<I<KJ=J4lncotxdx,K=J4Incosxdx,则I,J,K的大小关系为()00(B)I<K<JD)K<J<I'100、(7)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵。记件=110〔001丿'100、P2=001,则A=()〔010丿(A)PP(B)P-1P(C)PP(D)PP-112122121(8)设A=Q,a,a,a)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)t是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=01234的基础解系可为()A)a1A)a1,a3B)a1,a2C)a1,a2,a3D)a,a,a234二、填空题：9〜14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。(9)limxT0〔(10)微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=(⑴曲线y=Jxtantdt(0'x<7)的弧长s=——12)设函数f(12)设函数f(x)=九e—kx,0,x>0,x<0,九〉0，贝yJ*"xf(x)dx=—8设平面区域D由直线y=x,圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分xydc=D二次型f(x,x,x)=x2+3x2+x2+2xx+2xx+2xx，则f的正惯性指数为123123121323-三、解答题：15〜23小题，共94分。请将解答写在答．题．纸．指定位置上，解答应字说明、

15)(本题满分10分)jxln(l+12)dt已知函数F(x)=t一，设limF(x)二limF(x)二0，试求a的取值范围。XXT+8XTO+11t3+1+311t3+1+3311t3—t+33确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。x=设函数y=y(x)由参数方程<y=17)(本题满分9分)设函数z=f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x二1处取得极值g(1)=1，求QxQxQyx=1,

y=118)(本题满分10分)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记a为曲线l在点(x,y)处切线的倾角,dady若=丁，求y(x)的表达式。dxdx19)(本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n，都有(II)设a(II)设an=1+—++—一lnn(n=1,2,••2n•)，证明数列匕h攵敛。n(本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y>2)与x2+y2=1(y<2)连接而成。求容器的容积；若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为gmfs2，水的密度为103kgm3)(本题满分11分)已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0，f(x,1)=0，jjf(x,y)dxdy=a，其中AAxBzC—xD—z<x<<x<1,0<y<1)22D“3'—3计算二重积分I二Hxyf"(x,y)dxdy。xyD(本题满分11分)设向量组a=(1,0,1)T,a=(0,1,1)T,a=(1,3,5)T不能由向量组0=(1,1,1)T,0=(1,2,3)T,0=(3,4,a)T123123线性表示。求a的值；将0,0,0用a,a,a线性表示。123123(本题满分11分)〔11]〔-111设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2,且A00=00厂11丿J1丿(I)求A的所有的特征值与特征向量;(II)求矩阵A。2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题(A)函数f(x)二—―；1+丄的无穷间断点的个数为X2一1VX2A0B1C2D32.设y,y是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y二q(x)的两个特解，若常数九,卩使九y+yy是该方程的解,1212◎-牝是该方程对应的齐次方程的解，则.11A“亍―2c九=学小二333(1)曲线y=x2与曲线y二aInx(a丰0)相切，则a=A4eB3eC2eDe4•设m,n为正整数，则反常积分11朋"(丄一②dx的收敛性0詁xA仅与m取值有关B仅与n取值有关C与m,n取值都有关D与m,n取值都无关5.设函数z=z(x,y)由方程F(丄，)=0确定，其中f为可微函数，且F：丰0,则x密+y=xx2Ox6.(4)lim隘i=1j=1n(n+6.(4)lim隘i=1j=1n(n+i)(n2+j2)Af1dxfx-oo(1+x)(1+y2)dyBVdXf0X爲耐dyCf1dxf1-00(1+x)(1+y)dyDf1dxf1-00(1+x)(1+y2)dy7•设向量组I：巴°2二可由向量组H：P1，卩27•设向量组I：巴°2r1]1r1]1阶对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于A1B—1〔0J<0丿A若向量组I线性无关，则r<sB若向量组I线性相关，则r>sC若向量组II线性无关，则r<sD若向量组II线性相关，则r>s15.设A为4r—1]—1D—1<0丿二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程y2y"+yf—2y=0的通解y=(1)曲线y=-的渐近线方程为x2+1⑵函数y=ln(1—2x)在兀=0处的n阶导数y(n)(0)=⑶当0<0<兀时，对数螺线r=e。的弧长为⑷已知一个长方形的长1以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为(5)设A，B为3阶矩阵，且|A|=3,|B=2,A-1+B=2,贝则A+B-1=三解答题⑹求函数f(x)=fx2(x2—t)e-12dt的单调区间与极值。116.⑴比较f*lnt|[ln(1+1)]ndt与f1tn|lnt|dt(n=1,2,)的大小，说明理由.=f=fMlnt|[ln(1+1)]ndt(n=1,2,),求极限limu.n0sn(2)记u

r=2t+12,(t>-1)所确定，其中屮⑴具有2阶导数，且屮⑴=5,

［y=屮(t),2设函数y=f(x)由参数方程屮'(1)=6,已知=-,求函数屮(t)。九、dx24(1+1)时，3b时，十、一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为2计算油的质量。pkg/m3(长度单位为m,质量单位为kg，油的密度为设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4竺+12空+5凹=0.dx2dxdydy2确定a,b的值，使等式在变换g=x+ay,q=x+by下简化?u=0dgdq十二、计算一重积分I=JJr2sin&\丿1一r2cos20drdO,其中D={(r,0)0<r<sec0,0<0<—}.十二、4D1十三、设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在gw(0,2),ne(2,1),使得/'(g)+f'(n)=g2+n2.°11「ra°11「ra]设A=0九-10,b=1.已知线性方程组11九1J丿V7(1)求九、a.(2)求方程组Ax=b的通解。十四、正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为+(1，2，1)T，求a、Q.Ax=b存在2个不同的解。(0一14[23.设A=-13a14a0丿2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数fG)=兰一^的可去间断点的个数，贝y()sinnx((A)l.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.11)11)12)11)11)12)当xT0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x21n(1-bx)是等价无穷小，则()a=1,b=——.(B)a=1,b=—.(C)a=—1,b=——.(D)a=—1,b=—.6666设函数z=f(x,y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0,0)()(A)不是f(x,y)的连续点.(B)不是f(x,y)的极值点.(C)是f(x,y)的极大值点.(D)是f(x,y)的极小值点.x1y(B)J2dxj4-xf(x,y)dy.1x设函数f(x,y)连续，则J2dxJ2x1y(B)J2dxj4-xf(x,y)dy.1x(A)J2dxJ4—xf(x,y)dy.111y(C)J2dyJ4—yf(x,y)dx.(D).J2dyJ2f(x,y)1y11若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1,1)上的曲率圆为x2+y2=2，则f(x)在区间(1,2)内()(A)有极值点，无零点.(B)无极值点，有零点.(C)有极值点，有零点.(D)无极值点，无零点.(6)设函数y=f(x)在区间［-1,3］上的图形为：

(c).(D).7)设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分为((c).(D).7)设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分为()(A).(03B*'(B)2A*0丿(c).(03A*'(D)03A*0丿2B*、B的伴随矩阵。若A=2,B=3，则分块矩阵A)0的伴随矩阵0丿2B*02A0(1PT为P的转置矩阵，且PTAP=0100、0，若2丿(a，a，a)，Q=(a+a，a，a)，1231223(210、(110、(A).110(B).120、002、002(8)设A，P均为3阶矩阵,则QtAQ为(P=(200、(100、(c).010(D).020、002、002二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.「J-t2x=Je-u2du、0在(0，0)处的切线方程为y=12ln(2一12)(9)曲线S10)已知J+ek・dx二1,则k二—g1limJnnxdx=nT80dx2x=0d2y设y=y(x)是由方程xy+ey=x+dx2x=0((13)函数y二x2x在区间(01］上的最小值为((13)函数y二x2x在区间(01］上的最小值为’200、(14)设a,P为3维列向量，0t为0的转置，若矩阵邮t相似于000,则卩仮=、000丿三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15)(1-cosx)[x-ln(l+tanx)15)sin4x(本题满分9sin4xxt0(本题满分10分)计算不定积分门琐1+\：'干)dx(x>0)(本题满分10分)设z=f(x+y,x-y,xy),其中f具有2阶连续偏导数，求dz与宾■dxoy(本题满分10分)设非负函数y=y(x)(x>0)满足微分方程xy"-y+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。(19)(本题满分10分)求二重积分(x-y)dxdyD其中D=x,y)|(x-»+(y-»<2,y其中D=(20)(本题满分12分)设y=y(x)是区间(-兀，兀)内过(-冷亍，刍)的光滑曲线，当视<x<0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0<x<兀时，函数y(x)满足y"+y+x=0。求y(x)的表达式(21)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)可导，则存在gw(a,b)，使得f(b)-f(a)=f(g)(b-a)(II)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0,8)(S>0)内可导，且lim广(x)=A，xt0+则f'(0)存在，且f'(0)=A。++22)(1-22)(1-1-11r-11-111，g=1<0-4-2丿1<-2丿(本题满分11分)设A=(I)求满足A2叫A2勺二勺的所有向量勺，勺(II)对(【)中的任一向量勺,q,证明：勺,%,勺线性无关。(II)23)(本题满分11分)设二次型f(x,x,x)=ax2+ax2+(a-1)x2+2xx-23)1231231323I)求二次型f的矩阵的所有特征值；I)若二次型f的规范形为y2+y2，求a的值。I)求二次型f的矩阵的所有特征值；I)若二次型f的规范形为y2+y2，求a的值。122008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设f(x)=x2(x-l)(x-2)，则f'(x)的零点个数为()(A)0(B)1.(C)2(D)3(2)曲线方程为y=f(x)函数在区间［0,a］上有连续导数，则定积分Jaaft(x)dx()0曲边梯形ABOD面积.梯形ABOD面积.(C)曲边三角形ACD面积.(D)三角形ACD面积.(3)在下列微分方程中，以y=Cex+Ccos2x+Csin2x(C,C,C为任意常数)为通解的是()3123(A)y'''+y''-4y'-4y=012(B)y+y''+4y'+4y=0(C)y'''-y''-4y'+4y=0(D)y-y''+4y'-4y=0(5)设函数f((5)设函数f(x)在(-O+8)内单调有界,(A)若｛xh攵敛，则｛f(x)｝收敛.nn｛x｝为数列，下列命题正确的是()n(B)若｛x｝单调，则｛f(x)｝收敛.nn(C)若｛f(x)｝收敛，则｛xh攵敛.nn(D)(C)若｛f(x)｝收敛，则｛xh攵敛.nn(D)若｛f(x)｝单调，则｛xh攵敛.nnuvDuv(a)vf(u2)(C)vf(u(a)vf(u2)(C)vf(u)u(d)-f(u)u(7)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A3二0，则(6F则乔=(C)E—A可逆，E+A可逆.(D)E—A可逆，E+A不可逆.(8)设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为()(B)(D)10)11)12)13)14)/2-6F则乔=(C)E—A可逆，E+A可逆.(D)E—A可逆，E+A不可逆.(8)设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为()(B)(D)10)11)12)13)14)/2-1、V-12丿r1-2V-21丿每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.已知函数f(x)连续，且1吋卅册=1，则f(0)=微分方程(y+x2e-x)dx-xdy=0的通解是y二曲线sin(xy)+In(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程为2曲线y二(x—5)x3的拐点坐标为dx(1,2)设3阶矩阵A的特征值为2,3,九.若行列式|2A|=-48，则X=三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.sinx一sin(sinx)]sinx(15)(本题满分9分)求极限lim.sinxxt0x4(16)(本题满分10分)设函数y=y(x设函数y=y(x)由参数方程<x=x(t)ft2确定，其中x(t)是初值问题vy=Jtln(l+u)duodx—2te-x=dtxt-o0的解•求竽.0dx2lxarcsinx(本题满分9分)求积分Idx.0yjl—X2(本题满分11分)求二重积分11max(xy,1)dxdy,其中D={(x,y)0<x<2,0<y<2}D(本题满分11分)设f(x)是区间【0,+s)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)二1.对任意的tet0,+8)，直线x二0,x二t，曲线y二f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.(20)(本题满分11分)(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则至少存在一点ne［a,b］，使得1bf(x)dx二f(n)(b-a)(2)若函数申(x)具有二阶导数，且满足申⑵>申(1),9⑵>•申(x)dx，证明至少存在一点a2ge(1,3),使得0比)<021)(本题满分11分)求函数u=x厂2aa2设矩阵A二+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+厂2aa2设矩阵A二22)(本题满分12分)现矩阵A现矩阵A满足方程AX=B，其中x七,x)t，B=(1,0,,0),n2a•.1•・.a22a丿nxn(1)求证|A|=(n+1)an；a为何值，方程组有唯一解，并求x；1a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.23)(本题满分10分)[[][[]xx设A为3阶矩阵，a,a为A的分别属于特征值-1」特征向量，向量a满足Aa=a+a,123323证明a,a,a线性无关；123令P=(a,a,a)，求P-1AP.1232007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题一、选择题：1〜10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)当xT0+时，与等价的无穷小量是(A)1一(A)1一ex(B)In1+x1-、、[x(C)<1+x-1(D)1一cos\/x[](2)函数f(x)=心广£)力；x在[―兀,兀]上的第一类间断点是x二[]xex一ek丿A)0(A)0(B)1兀兀(D)-(3)如图，连续函数y二f(x)在区间[一3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[—2,0],【0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=Jxf(t)dt，则下列结论正确的是:0(A(A)若lim存在，则f(0)=0xt0x(C)若lim凹存在，则f'(0)二0xt0x35F⑶=-丁F(-2)(B)F⑶=刀F(2)4435(C)F⑶=4F⑵(D)F⑶=-4F(-2)[](4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：若limf(x)+f(-x)存在，则f(0)=0

xt0x若limf(x)一f(一x)存在，则f'(0)二0.xt0

(C)e-2e,e-2e,e-2e.1(D)e+2e,e+2e,e+2e.[]122(23-13J(1010]2233110)设矩阵A=-12-1,B=010，则A与BI-xx=cost+cos21兀曲线<—.上对应于t=丁的点处的法线斜率为Iy=1+smt4-12J〔000J(A)合同且相似(B)合同，但不相似.(C)不合同，但相似.(D)既不合同也不相似[](5)曲线y=+InG+ex)的渐近线的条数为x(A)0.B)1.C)2.D)3.[](6)设函数f(x)在(0,+8)上具有二阶导数，且f〃(x)>0，令u二f(n(5)曲线y=+InG+ex)的渐近线的条数为x(A)0.B)1.C)2.D)3.[](6)设函数f(x)在(0,+8)上具有二阶导数，且f〃(x)>0，令u二f(n)，则下列结论正确的是:n(A)若u>u，则{u}必收敛.12n(C)若u<u，则{u}必收敛.12n(B)(D)7)A)B)若u>u12若u<u12，则｛%｝必发散n，则｛u｝必发散.n元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充要条件是[]lim[f(x,y)-f(0,0)]=0.(x,y)T(0,0)limxt0f(x,0)-f(0,0)=0,且limf(0,y)-f(0,0)=0yt0lim(x,y)T(0,0)f(x,y)-f(0,0)=0limf'(x,0)-f(0,0)二0,且limf(0,y)-f(0,0)二0.xT0Lxx」yT0Lyy(8)设函数f(x,y)连续，则二次积分卜dxf1f(x,y)dy等于D)xt0sinx(A)f1dyf(x,y)dx0X+arcsinyC)f1dyfX+arcsinyf(x,y)dx0工2(9)设向量组e,e,e线性无关,123线性相关，则B)D)f1dyfXf(x,y)dx0X-arcsinyf1dyfX-arcsinyf(x,y)dx0工2则下列向量组线性相关的是(A)e-e,e-e,e-e122331ex+a,ex+a,ex+a122331arctanx-sinxlim二.xt0x3(C)(C)Ay<dy<0.(D)dy<Ay<0.(C)(C)Ay<dy<0.(D)dy<Ay<0.设函数y=——-，则y(n)(0)=.x+3二阶常系数非齐次微分方程y"—4y'+3y二2e2x的通解为y二15)设f(u,v)是二元可微函数，z=15)设f(u,v)是二元可微函数，z=厂00(16)设矩阵A=o<0100000、100100丿，则x孑-y旻二oxdy，则A3的秩为三、解答题：17〜24小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17)兀(本题满分10分)设f(x)是区间0,4上单调、可导的函数，且满足Jf(x)f17)兀(本题满分10分)设f(x)是区间0,400smt+costf—1是f的反函数，求f(x).(18)(本题满分11分)设D是位于曲线y二订xa—2a(a>1,0<x<+s)下方、x轴上方的无界区域.(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；(II)当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.(本题满分10分)求微分方程y"(x+y‘2)二yr满足初始条件y⑴=y'(1)=1的特解.(本题满分11分)已知函数f(u)具有二阶导数，且f'(0)=1，函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定，设z二f(iny—sinx),求眾，字.dxx=0dx2x=0(本题满分11分)设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，|x|+|y|<11<IxI+1yI<2计算二重积分f(x,y)d|x|+|y|<11<IxI+1yI<2计算二重积分f(x,y)db，其中Dx2,(22)(本题满分11分)设二元函数f(x,y)=<1、Jx2+y2D={(x,y)|lxI+1yl<2).23)(本题满分11分)

x+x+x=0TOC\o"1-5"\h\z123设线性方程组］x+2x+ax=0与方程x+2x+x=a-1有公共解，求a的值及所有公共解.123123x+4x+a2x=012324)(本题满分11分)设三阶对称矩阵A的特征向量值九=1,九=2,九=-2,a=(1,-1,1)t是A的属于九的一个特征向量，记12311B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵.验证a是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量;1求矩阵B.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.x+4sinx曲线y=的水平渐近线方程为5x-2cosx'IfTOC\o"1-5"\h\z—Jxsin12dt,x丰0亠设函数f(x)=<x30在x=0处连续，则a=.a,x=03)广义积分3)广义积分0xdx(1+x2)2y(1-x)微分方程y'=的通解是xdy设函数y=y(x)由方程y=1一xey确定，则〒=dxx=0(21)设矩阵A=[2，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则(―12)二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)>0,f"(x)>0，Ax为自变量x在点x处的增量，Ay与dy分别为f(x)0在点x0处对应的增量与微分，若Ax>0，贝叽](A)0<dy<Ay.(B)0<Ay<dy.则则(8)设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则Jxf(t)dt是0(A)连续的奇函数.(B)连续的偶函数(C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数.[]设函数g(x)可微，h(x)=ei+g(x)，h'(l)=1,g'(1)=2，则g(1)等于(A)ln3-1.(B)-ln3-1.(C)-ln2-1.(D)ln2-1.[]函数y=Cex+Ce-2x+xex满足的一个微分方程是12y'—y'—2y=3xex.(B)y'—y'—2y=3ex.(C)y(C)y''+y'-2y=3xex.(D)y''+y'-2y=3ex.[](11)设f(x,y)为连续函数，则J4d0f1f(rcos0,rsin0)rdr等于0JFdxJ1-JFdxJ1-x2f(x,y)dy.0x(B)JtdxJ1-x2f(x,y)dy.00J芍dyJ1-y2f(x,y)dx.0y(D)JFdyJ1-y2f(x,y)dx.00[]设f(x,y)与申(x,y)均为可微函数，且申'(x,y)丰0，已知(x,y)是f(x,y)在约束条件申(x,y)=0下的一个TOC\o"1-5"\h\zy00极值点，下列选项正确的是[]若f'(x,y)=0，则f'(x,y)=0.x00y00若f'(x,y)=0,则f'(x,y)丰0.x00y00若f'(x,y)主0，则f'(x,y)=0.x00y00若f'(x,y)丰0，则f'(x,y)主0.x00y00设aQ,均为n维列向量，A为mxn矩阵，下列选项正确的是[]12s若a,a,,a线性相关，则Aa,Aa,,Aa线性相关.12s12s•••若a,a,,a线性相关，则Aa,Aa,,Aa线性无关.12s12s••・••・若a,a,,a线性无关，则Aa,Aa,,Aa线性相关.12s12s••••••若a,a,,a线性无关，则Aa,Aa,,Aa线性无关.12s12s••・♦♦・’110、(14)设A为3阶矩阵;•将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=0101001丿

(A)C二(A)C二P-1AP.(B)C二PAP-1.C二PtAP.(D)C二PAPt.[]三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)试确定A,B,C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)二1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当xT0时比x3高阶的无穷小.16)(本题满分16)(本题满分10分)arcsinexdx.ex(本题满分10分)设区域D=｛x,y)x2+y2<1,x>。｝，计算二重积分if1+xydxdy.1+x2+y2D(本题满分12分)设数列｛x｝满足0<x<兀,xn1n+1n(I)证明limx存在，并求该极限；(II)计算limnnTgnTg(本题满分10分)证明：当0<a<bs时，bsinb+2cosb+兀b>asina+2cosa+兀a.(本题满分12分)设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数，且z二fx2+y2丿满足等式竽+竽二0.ox2oy2TOC\o"1-5"\h\z验证f"(u)+=0；u若f(1)二0,f-(1)二1，求函数f(u)的表达式.(本题满分12分)[x=12+1,已知曲线L的方程彳，(t>0)(I)讨论L的凹凸性；(II)过点(—1,0)引L的切线，求切点(x,y)，Iy=4t—1200并写出切线的方程；(III)求此切线与L(对应于x<“的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.(本题满分9分)已知非齐次线性方程组

x+x+x+x=—1TOC\o"1-5"\h\z1234/\«4x+3x+5x—x=—1有3个线性无关的解.(I)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(II)求a,b1234ax+x+3x+bx=11234的值及方程组的通解.(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a=(—1,2,—1)T,a=(0,-1,»是线性方程组Ax=0的两个解.12求A的特征值与特征向量；求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设y=(1+sinx)x，则dyx=兀3(2)曲线y=的斜渐近线方程为xdxxxdx3)(4)微分方程xy'+2y=xlnx满足y(1)=—9的解为,(5)当xT0时，a(x)=kx2与0(x)=<1+xarcsinx一cosx是等价无穷小，则k=(6)设a,a,a均为3维列向量，记矩阵123A=(a,a,a)，B=(a+a+a,a+2a+4a,a+3a+9a)，123123123123如果|A|=1，那么|B=.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设函数f(x)=limJ1+|x3n，则f(x)在(—o+s)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MON"表示“M的充分必要条件是N”，则必有(D)F(x)是偶函数Of(x)是奇函数.F(x)是奇函数Of(x)是偶函数.F(x)是周期函数Of(x)是周期函数.F(x)是单调函数Of(x)是单调函数.[]x00x00x00x00Ix=12+2t,⑼设函数y=y(x)由参数方程.=m(i+1严’则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A)8ln2+3.(B)-8ln2+3.(C)—8ln2+3.(D)8ln2+3.[]f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则flDf+bfd.、寸(x)+弋/(y)(A)abn.ab(B)亍.(C)[]f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则flDf+bfd.、寸(x)+弋/(y)(A)abn.ab(B)亍.(C)(a+b)n.(D)a+b[]lim-&lim-&Jx(x-1)f(t)dt(11)设函数u(x,y)=p(x+y)+p(x—y)+ix+3(t)dt,其中函数®具有二阶导数，屮具有一阶导数，则必有(A)d2uQx2Q2ux-yQ2u=Qx2Q2uQy2•Qy2•(B)(C)d2u=Q2u(D)Q2u=Q2u[]QxQyQy2QxQyQx2设函数f(x)=一1一,则ex-1—1三、x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.TOC\o"1-5"\h\zx=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[]设九，九是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a,a，贝忆A(a+a)线性无关的充分必1212112要条件是(A)九]丰0.(B)九2丰0.(C)珀=0.(D)九2=0.[](14)设A为(n>2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则[]18.交换A*的第1列与第2列得B*.(B)交换A*的第1行与第2行得B*.(C)交换A*的第1列与第2列得-B*.(D)交换A*的第1行与第2行得-B*.三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)设函数f(x)连续，且f(0)丰0，求极限(16)(本题满分11分)如图，如图，C1和C2分别是y=2(1+ex)和y二ex的图象’过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象.过C2上任21分别是曲线C在计算定积分用变量代换x21分别是曲线C在计算定积分用变量代换x=cost(0<tG)化简微分方程(1-x2)y"—xy'+y二0，并求其满足y1,y'x=0=2的特解.x=0点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l和l.记C,C与l所围图形的面积为S(x)；C,C与/所围图形的面积为S(y)•如果总有S(x)=S(y)，求曲线C的方程x=®(y).2123(17)(本题满分11分)如图，曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,J3(X2+x)fx)dx.18)(本题满分12分)(19)(本题满分12分)已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：(I)存在E丘(0，1)，使得/(g)=1-g；(II)存在两个不同的点耳,匚(0,1)，使得/'们)/'(匚)=1(本题满分10分)y2已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域D={(x，y)x2+才-1}上的最大值和最小值.(本题满分9分)计算二重积分|x2+y2-1|db，其中D={(x,y)|0<x<1,0<y<1}.D(本题满分9分)确定常数a,使向量组a=(1,1,a)T,a=(1,a,1)T,a=(a,1,1)T可由向量组1230=(1,1,a)t,0=(-2,a,4”,0=(-2,a,a)t线性表示，但向量组卩，卩，卩不能由向量组a,a,a线性表示.123123123(本题满分9分)「123_已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B=246(k为常数)，且AB=O,求线性方程组6kAx=0的通解.

2004年考硕数学(二)真题填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.)(n-1)x(1)设f(x)=lim,则f(x)的间断点为x—nsnx2+1x—x—t3+3t+1(2)设函数y(x)由参数方程＜y—t3一3t+1确定，则曲线y—y(x)向上凸的x取值范围为.3)dx13)dx1x(4)设函数z—z(x,y)由方程z—e2x-3z+2y确定，则3亍^―—0xdy⑸微分方程(y+x3)dx-2xdy-0满足yl—1-6的特解为——厂2(6厂2(6)设矩阵A—11020,矩阵B满足ABA*-2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则01丿选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(7)把xT0+时的无穷小量a—fxcost2dt,P=fx2tanjtdt,Y—fxsint3dt排列起来，使排在后面的是前一000个的高阶无穷小,则正确的排列次序是D)P,y,a.(8)设f(x)—|x(1-x),则(A)x—0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y—f(x)的拐点.(B)x—0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y—f(x)的拐点.

X=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y二f(x)的拐点.x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y二f(x)的拐点.[](9)(9)limlnn(1+丄)2(1+2)2(1+-)2等于n(A(A)J2ln2xdx.1C)2J2ln(1+x)dx.1B)2J2lnxdx.1J2ln2(1+x)dx1(10)设函数f(x)连续，且f'(0)>0,贝y存在5>0,使得f(x)在(0,5)内单调增加.f(x)在(_5,0)内单调减小.对任意的xe(0,5)有f(x)>f(0).对任意的xe(_5,0)有f(x)>f(0).(11)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx).y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx).y*=ax2+bx+c+Asinx.y*=ax2+bx+c+Acosx(12)设函数f(u)连续，区域D={x,y)|x2+y2<2y},则JJf(xy)dxdy等于DJ1dxJ^Ef(xy)dy.-1-Q1-x22J2dyJ2y-*f(xy)dx.00J兀d0J2sin0f(r2sin0cos0)dr.00J兀d0J2sin0f(r2sin0cos0)rdr[]00(13)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ二C的可逆矩阵Q为

'010、'010'A)100.(B)101.<101丿<001丿(010''011「C)100.(D)100<011丿<001丿(14)设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.A的行向量组线性