2018第一学期-工科物理热学

§5.4能量按自由度分配的统计规主要内容分子的自由能量按自由度均分定理想气体的内分子的自由zzzzHCCzzH2OOxyyxyOzxyxyxxy分子种平动自由转动自由总自由单原子分303刚性双原子分325刚性三原子以上分336⑴分子的自由度不仅取决于其 (2)实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度。但在常温下将其分子作为刚性处理，能给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子的振动，认为分子都是刚性的。*非刚性双原子分子具有32个转动单原子分子i双原子分子ii=单原子分子i=3;双原子分子ii=一般多原子分子i能量按自由度均分定

1mv23

1mv2

1

每个平动自由度的平均平动动能为kT在温度为T的平衡态下，物质(气体、液体和固体) 1k2说

Ek

k.

ks

1(t

r

21(tr2s)k2Bikik2Bss气体分子的平均总动能等于气体分子的平均总能

k

1(t

r

525

2kBT

2刚性多原子分子：

3kBT

2理想气体的内振动势能的总和 N i(Nk)Ti EEmMmoli说对于一定质量m的某种理想气体内能与温度成正比且仅气体的温度发生变化ΔTΔE

Mmol

i2理想气体的摩热量Q：因温度不同，系统与外界经边界交换的能量。对质量M

QMc(T2T1

dUi 3V2：：

5V2 3R双每个原子的质量都集中在半径为10-15m的原子核上，而分子的线度为10-10m。其半径之比为10-15m/10-10m=10-5倍。例一容器内某理想气体的温度为273K，密度为ρ=1.25g/m3，压强为p=1.0×10-3atm求(1M设该气体有0.3molM (1)由

1.25103

p

103

1.013

由结果可知，这是N2或CO33t

2kBT

31.382

5.562r2

2

1.38

3.77kUt tnt kB1.52102U

iRT2

0.3

52

1.70§5.5气体分子数按速率分布的统计规主要内容速率分布函速率分布与分子速率有关的物理量的统计平均速率分布的实验验速率分布函定义:速率在v附近单位速率区间数的百分比称为速率分布函数,用f(v)表示f(v)dN/N表示单个分子速率取值在v～v＋dv区间内的概f(v)表示单个分子速率取值在速率v附近单位速率间隔内的速率分布速率分布函1859 从理论上导出平衡状态下气体分子速率分布函 mv

2e2kTv说

2πkT该函数给出的是一种统计平均结果.某一时刻某个分子的速率有大有小，是偶然的.但对大量分子的总体而言，在 f(v)的物理意义是：速率v分布函数与物质的种类—速率分布曲函函数曲线形象地反映了平衡态下理想气体分子按速率的分布

f(vN在v1~v2NN

2f(vvv

vp v

(速率分布函数的归一化条件f

xdP

1dNN

f(x)dxdP

f( 量x的平均值

x

xf(对任意物理量G=G(x其平均值GG(x)

速率分当v→0和v→∞

df(v)可求得v

ovfv2πkTm3mv2e2kTv

温度降低时vp分子质量减小时,vpf

f

N

4v

v2v 4π2πkTv

v

pπv3pπv3例有Navv0

0

v0f(v)

v0vv

求(1(2速率大于v0和速率小于v0解(1)

v0avv0

advvavav

a

v0 (2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区v

ΔNva

N23因此，v>v0的分子数为(2N/3同 v<v0的分子数为(N/35.5.3与分子速率有关最概然速vp

mm平均速

v

vg(v) 例如

1mv21mv2

速v2

v20

m

v2

Mff(v)(10-vv0.0112在相同条件(T、m或Mmol相同)下 vpv 2例在温度为300K时，空气中速率在(1)vp附近；(2)10vp速率区间Δv＝1m/s 速率分布3pNp

2vv

2emv

2kTv

4v

ev

v2p 2πkT πvp式中vpvp

v 2kT 2RT

28.31300m/s

415m

29ppΔNN

4vπv3πvp

ev

v2

4 ππ

e10.002在v10vpΔv＝1m/s22NNN

)2v2πv πv3pπ 4100π

1

2.02.0105molN=6.02×1023×105，在vpΔv1m/sN

6.02

1.2在10vpΔv=1m/sN2

6.02

10521.21015vp解题思利 速率分布律处理实际问题是本章的难点与重点正确理解和掌握速率分布函数 分布律的物理意

N表示平衡态下，处在速率间隔v～v＋dv内的分子数占总Nf(v)dv表示平衡态下，处在速率间隔v～v＋dv内的分子v2v

v2表示平衡态下，处在速率间隔v1～v2内的分子根 N

N

3

v

mv2kT2πkTgv

v()()d速率分 验验证.1920年，（Stern,O.1888~1969）第一次用实 验 速率分布的实验装置及数v

v

L

v上的逸出速率为2380m/s.风--20世纪空间探测的重要发现之组 大气的原子以等离子体出现，即由质子和电所组成 大气中的速度比较高的粒子可以逃逸出，形成以200~800km/s的速度由 风的风速是32.5m/s,而风的风速，在地球附近却经常保持在350~450km/s。风使彗星绕过时形成长长的向着反方向延伸的彗尾；在地球高纬区看到的多彩的现象，也是进入地球磁场的风粒子经加速后在地球大气中沉降当风到达地球附近空间时，把地球磁场压缩在一个固定区域里，这个区域就叫磁层一个头朝的蛋形物。，大气的扰动， 黑子的激烈活动都会通过 风传到地球，些响活时如失灵、高纬区电网失效，及短波通讯、长波导航质量下降等，还会引起气象和气候的变化§5.6分子数按能量分布的统计规主要内容玻 能量分布重力场中微粒按高度的分玻 能量分无外力场时分子按动能的分布规

N

4π( )3/2

2kTv 1mv

d mv v 2Ekm

dv

dd

f(E

)

(kT

3/2

1/2ek Nd k有外力场时分子22E

1mv2

1m(vx

v

v

2)pp (EkEp)dN

)2

dv

dv

dv

dx

yd（玻 分子按能量分布定律其中n0表示Ep=0说Ek分布与负指数因子 玻耳分布律是一个普遍的规律，它对任何物质微粒重力场中微粒按根 速度分布函数的归一化性

-( )2

kTdvxdvydvz 则玻 分布可以写为dN

0pne-0p

dx

ydn ddxdyd n0e

（粒子数密度按势能的分布 Ep=mgz（z为高度），n

(重力场中粒子数密度按高度的分布p0p0

eMp0eMzkTln

lnp0Mmol 例海拔约为3600m，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压为1.013×105Pa时，(1)(2)若在海平面上每分钟呼吸17次，他在拉萨呼吸多少次才能吸入同样的质量的空气。=29×10-3解由等温气压公式得p 0.645105设人每次吸入空气的容积为V0, 应呼吸x则有pxV0

p0(17V0

x26.7Maxwell-Boltzmann无外力场时，气体内n、p、T处处均匀；n、p不再均匀分布；一.重力场中粒子按高度的分dp

gdhnmgdh

p平衡态下气体的温度处

p pdpp

dnn

mg T2T2hh

nn0

nne0在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小，m越大，n减小越迅速；T越高，n减小越缓慢。p

其中：p0

pppe0

是h=0处气体的压强Boltzmann分布律n

mgh

p

mghnnnn0dNndVnε/k 0平衡态下温度为Tx~x+dx，y~y+dyz~z+dz式中εp是位于(x,y,z)处分子的势能三.Maxwell-Boltzmann分布dN(r)

kBT e2ke2kBT即mv233

2 dN(v

N 2kBT

ekBTdvdv故：平衡态下温度为T的气体中,速度在区间vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz,且位置在区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内的分子数为dN(r,v)dN(r)dN(v

3k3Nn0

2 ee

dvxdvydvzdxdydzdNdN(r )CkBdvdvdvxyz其中

是分子的总能量，C(r,v定义分布函数 dN(r,vF(r,v)

NdvxdvFF(r )CkBMaxwell-Boltzmann分布律给出了分子数按能量的 M-B分布律:在温度为T的平衡态下,任何保守系统有关,且与Boltzmann因子e/kBT成正比.例在大气中取一无的直立圆柱体，截面积为A,设柱体中分子数为N.设大气的温度为T,空气分子的质量m.求此空气柱的玻耳分布律中的n0.解根据玻耳分布律在重力场中存在于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz区间内,

dN

εp取zz=0εpN nemgz/

解得

NmB AkB例实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低33a。试用恒温气压公式验证(11305a273)。解等温气压公式p

pemgh/

pegh/00000dp0

pegh

dpp

gdhh

pp

§5.7气体分子平均碰撞频率及平均自由主要内容气体分子平均碰撞频气体分子平均自由气体分子的平均碰撞频平均碰撞频率的推静止不动的，分子以平均速率t曲折圆柱体的体积为：πd曲折圆柱体内总分子数：nπd

nπduZZ 说气体分子的平均自由

表vZ12πd2n2πd2 分子的有效直径d的平方及单位体积内的子数n 问题：一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当容器增

Z

Z

Z

（C）Z

Z

√√（A）压强 （B）体积（C）温度 （D）平均碰撞次数Z例已知氢分子的有效直径是2×10-求氢分子在标准状态下平均速率，平均碰撞频率及平均自由由题意

M

2.00103

Tp1.013105

d21010v

M

8.312.73.15m 2.00 2πd2

1.3810231.413.144.001020

m2.10107

Zλ

2.10107

8.110标准状态下，1标准状态下，1秒