结构动力学讲义5

第三章

多自由度系统的振动12/4/20221多层房间的侧向振动、不等高排架的振动、块式基础的水平回转振动等，作为多自由度体系进行分析。（multi-degreeoffreedomsystem）12/4/20222对具有无限个自由度的弹性结构，精确地处理其振动问题：有时是非常困难的，在某些情况下也并不必要。在某些特定条件下可对问题作一些简化假定，使一个无限自由度体系离散为有限多个自由度体系，使原来的问题变得容易求解，能获得原结构体系的主要属性和特征。12/4/20223§3.1两个自由度体系的自由振动

针对两个自由度体系；介绍三种常用的方法：平衡力系法刚度法柔度法12/4/202241、平衡力系法如图，两集中质量和通过三个弹簧、和相互联结，在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为和12/4/20225根据两质量块的平衡条件，可以得到：12/4/20226表示成矩阵形式：式中：整理：12/4/20227写成一般形式：对于图中结构体系，有12/4/20228假设两个质点为简谐振动，上式的解设为：位移振幅和，以及频率和相位角均为待定参数。12/4/202291）、在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角。2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：12/4/202210主振型型:结构位位移形形状保保持不不变的的振动动形式式称为为主振振型或或振动动模态态（normalmode）。11/27/202211齐次方程有非非零解的条件件为其系数行列式等等于零，即:确定了固有频频率应满足的的条件，称为为频率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用这个方程可计算固有频率11/27/202212展开上式，求得的两个根为:正实根，仅依赖于结结构体系的的物理性质质，即质量和弹弹簧刚度。。11/27/202213具有两个自由度的体系共有两个自振频率，表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率（fundamentalfrequency）；称为第二圆频率。11/27/202214比值所确定的振动形式就是与第一圆频率相应的振型，称为第一振型或基本振型（fundamentalmode）分析析频频率率各各自自对对应应的的振型型11/27/202215和表表示示第第二二振振型型中中质质点点1和2的振振幅幅。。下标标与质质量量和和相相对对应应，，上标标表示示模模态态号号码码。。由于于模模态态方方程程是是齐齐次次的的，，所所以以及及只有有相相对对关关系系。。11/27/202216主振振动动:结构构体体系系以以某某一一阶阶固固有有频频率率按按其其相相应应的的主主振振型型作作振振动动，，称称为为体体系系的的主主振振动动。。各点点同同时时经经过过静静平平衡衡位位置置，，并并同同时时到到达达最最大大偏偏移移位位置置，，以以确确定定的的频频率率和和振振型型作作简简谐谐振振动动。。一般情况况下，体体系的自自由振动动不是主主振动，，而是两种不同同频率及及其振型型的组合振振动:11/27/202217方程的全全解:其中，、、和由初始条件确定。11/27/2022182、刚度法法(a)具有两个个集中质质量的结结构体系系，两个个自由度度，(b)为和和的的隔离体体图。根据达朗朗伯原理理，平衡方程程为：11/27/20221911/27/202220弹性力力和和是是质量量和和与与结构构之间间的相相互作作用力力，图(b)中的和和是是质点点所受受的力力，图(c)中的和和是是结结构所所受的的力，，两者者的方方向相相反。。结构构所受受的力力和和与与结构构的位位移和和之之间应应满足足如下下刚度度方程程:11/27/202221是结构构的刚度系系数。如是是使质质点2产生单单位位位移而而质点点1保持为为零时时在质质点所所需施施加的的作用用力。。11/27/20222211/27/2022233、柔度法以两个自由由度体系为为例进行分分析:11/27/202224用柔度法建建立自由振振动微分方方程的思路路:在自由振动动过程中的的任一时刻刻，，质量和和的的位移和和应应当等于体体系在惯性性力和和作作用下下所产生的的静力位移移。11/27/202225是结构体系的柔度系数(flexibilitycoefficient)，即体系在点j承受单位力时，在点i产生的位移。设解的形式式为:11/27/202226

主振型的位移幅值就是结构体系在此主振型惯性力幅值作用下所引起的静力位移。11/27/202227令系数行列式等于零，可得到和的非零解，即:用柔柔度度系系数数表表示示的的频频率率方方程程或或特特征征方方程程。11/27/202228求得得固固有有圆圆频频率率的的两两个个值值为为:解出的两个根11/27/202229体系的第第一阶主主振型:11/27/202230体系的第第二阶主主振型:11/27/202231总结：在多自自由体系自由由振动问题中中4）体系的自振振频率和主振振型是体系本本身的固有性性质。自振频频率只与体系系本身的刚度度系数和质量量分布有关，，与外荷无关关。3）每个自振频频率有其相应应的主振型；；2）振动频率个个数与自由度度个数一致，，自振频率可可通过特征方方程计算；1）主要问题是是确定体系全全部自振频率率及其相应主主振型11/27/202232例3-1试分析图示结结构体系的固固有频率和振振型。已知：。。解：体系的运运动方程为：：11/27/202233体系的运动方方程为：设方程的解为为：11/27/202234上式有有非零零解的的条件件是系系数行行列式式为零零：展开行行列式式，可可以求求得11/27/202235计算振振型：：其中对应于第一阶频率对应于第二阶频率。11/27/202236第一模态态（振型型）为两个质质量一起起振动，，无相对对位移，，中间一一个弹簧簧不起作作用，只只有第一一和第三三个弹簧簧起作用用，其结结果类似似于质量量为2m、弹簧系系数为2k的单自由由度体系系的振动动；以横坐标标表示系系统的静静平衡位位置，纵纵坐标表表示各点点的振幅幅，体系系的主振振型图。。第二模态态（振型型）为两个质质量作相相反振动动，中间间一个弹弹簧的中中点始终终不动。。11/27/202237例3-2图示两层层刚架，，其横梁梁EI=。设质量量集中在在横梁上上，第一一和第二二层的质质量分别别为和和。。