结构动力学讲义4

第二章（续）

单自由度系统的振动12/4/20221先考虑冲量荷载作用于系统的响应。§1.2单自由度系统一般动荷载作用下

的受迫振动1、瞬时冲量

12/4/20222设体系在时处于静止状态，然后施加瞬时冲量。(在时间内作用荷载，其冲量。体系将产生初速度，但初位移仍为零。在时作用瞬时冲量所引起的动力响应为：12/4/20223如果在时作用有瞬时冲量，则在以后任一时刻的动力响应为：12/4/202242、无阻尼Duhamel积分任意的一般性荷载，在时刻的荷载强度为在一短时间间隔范围内作用这荷载，则会在结构上产生一个短持续时间的冲量，冲量导致的响应：12/4/20225表示在的整个响应时程范围内微分冲量的微分响应，不是时间间隔内的变化。整个荷载时程可看作由一系列瞬时冲量组成，每一个脉冲将产生一个如式所示的微分响应。对线性弹性体，总响应为荷载作用时间的全部微分响应的叠加，即对下式进行积分。12/4/20226特点：计算任意形式的动力荷载作用下无阻尼单自由度体系的动力响应。无阻尼体系的杜哈梅（Duhamel）积分自由振动、瞬态在荷载变化很不规则时，计算可能需要利用数值积分来进行。如果初始位移和初始速度不为零，则总位移为:强迫振动、稳态12/4/20227写成：式中：卷积积分（convolutionintegral）单位脉冲响应意义：表示在时，在一个单位大小“1”的脉冲作用下，结构体系的动力响应。（pulseresponsefunction）

12/4/20228有阻尼体系在一般动力荷载下的响应的杜哈梅积分。当时，微分冲量引起的动力响应为3、有阻尼杜哈梅积分

有阻尼：无阻尼：12/4/20229在整个荷载作用时间内对这些微分响应求和，则有阻尼体系的振动响应为:有阻尼体系对单位脉冲的动力响应为:12/4/2022104、杜哈梅梅积分分的数数值计计算1)荷载函函数是是可积积的，，则结结构的的动力力响应应可利利用下下式进进行计计算。。2）对于许多多实际情况况，如果荷荷载的变化化规律是用用一系列离离散数据表表示（如试试验数据）），此时的的响应计算算就必须借借助于数值分析方法。有阻尼：无阻尼：11/27/202211无阻尼体系系的动力响响应积分表表达式：：杜哈梅积分分的数值计计算，实质质上就是对对上式进行数值积积分。其中：11/27/202212考虑等时间间增量，，令三种基本数数值计算近近似方法，其求和表表达式为：：1）简单求和和法：：讨论积分项项11/27/2022132）梯形法则则：：3）辛普森（（Simpson）法则：：对于辛普森森法则，式式中必必须是是偶数。11/27/202214目的：计算一系系列相继时时刻的的响响应，其中中两相邻时时刻的间隔隔为（（用辛普普森法则时时为））。为了了获获得得整整个个响响应应历历程程特特征征，，把把方方程程写写成成增增量量形形式式：：1）简简单单求求和和法法：：11/27/2022152）梯梯形形法法则则：：3）辛辛普普森森法法则则：：其中，，表表示在在时刻刻所所得到到的和和。同理，积分分项可可用相相同的的方法法进行行计算算。11/27/202216注：数值值积分分解答答的精精确度度与计计算中中选择择和微微小时时段有有关，，一般般可取取小于于系统统自振振周期期的十十分之之一，，便可可得到到较好好的结结果。。因此，，无阻阻尼体体系动动力响响应的的数值值解：：同理，也可可求得得有阻阻尼体体系动动力响响应。。11/27/202217单自由由度系系统如如图所所示三三角形形冲击击荷载载F(t)试求该该系统统的动动力位位移和和动力力系数数，已已知系系统的的初位位移和和初速速度均均为零零。例2-5：11/27/202218冲击荷荷载作作用的的时间间很短短，在在系统统产生生最大大位移移之前前，阻阻尼因因素所所吸收收的能能量很很少，，因此此，冲冲击荷荷载作作用下下的计计算，，一般般不计计阻尼尼的影影响。。解：：将荷荷载载F(t)代入入杜杜哈哈梅梅（（Duhamel）积积分分，，得得11/27/202219为了了求求最最大大动动力力位位移移，，由由y(t)对时时间间求求导导等等于于零零来来达达到到最最大大位位移移的的时时间间tm，即即即，，则可可得得最最大大动动力力位位移移：：动力力系系数数：：11/27/202220应该该指指出出，，上上式式必必须须满满足足时才才成成立立，，即，，解此此不不等等式式得得，，这就就说说明明：：当当时，，最最大大动动力力位位移移发发生生在在时段段内内，，上上式式应应用用有有效效；；当当最大大动动力力位位移移发发生生在在时的的自由由振振动动状态态下下。。时，，则则11/27/202221为了了求求时的的动动力力位位移移，，先先求求和速速度度时的的位位移移将其其带带入入自自由由振振动动方方程程得得此自自由由振振动动的的幅幅值值为为：：11/27/202222动力系数：：动力系数只只与下表列出不不同值值时时的动力系系数。有关，即只只与有有关关t1/T0.1250.200.250.3710.400.500.751.001.502.000.390.660.731.001.051.201.421.551.691.762.00表不不同值时的动力力系数表11/27/202223图示水塔，受受爆炸荷载F(t)作用。设水塔塔质量，刚度系数和初速度均为为零，阻尼比比积分法求动力力位移。例2-5:，已知初位移移，试用数值11/27/202224水塔的自振频频率和周期分分别为解:取微小时段，约相当于水水塔自振。为简便清楚楚起见将计算算过程列周期的1/20表显示。详细过程参见见课本。11/27/202225§2.8阻尼理论与阻阻尼比的量测测1、关于粘滞阻阻尼理论的讨讨论阻尼是结构体系的的重要特性之之一。单自由度体系系，按照粘滞滞阻尼理论建建立了体系的自由振动动和强迫振动动方程：11/27/202226在简谐荷载作作用用下，设结构构的稳态响应应为：相应的速度为为：粘滞阻尼的阻阻尼力为：因此：11/27/202227表示阻尼力和和位移之之间间呈椭圆型关系。阻尼力和和位移都都随时间变化化，在一周期期内做的总功可可以看成是在在各个时间微微量上上所做功的总和。。时间增增加时时相相应的位移增增量为，，故总总功为：等于椭椭圆所所包围围的面面积。。11/27/202228用表表示粘滞滞阻尼振振动一个个周期时时的能量量耗散，，通常称称为耗能能，即粘滞阻尼尼理论的的耗能和和外加荷荷载的频频率成正正比，振振动越快快，每周周耗散的的能量越越大。实验结果表表明：对于许多多结构振动动一个周期期的耗能与与频率无关关，即耗能能与振动的的快慢无关关。11/27/202229利用粘滞阻尼尼理论分析结结构振动的结结果，并不能能与实验结果果很好地吻合合，尤其是在在能量耗散机机理上表现出出与实验结论论的不一致性性。但是，粘滞阻尼理理论使体系的的振动微分方方程保持为线线性，计算简简便，因此仍仍然得到广泛泛应用。11/27/2022302、阻尼比的量量测多数情况下，，结构的质量量和刚度可以以较容易地用用物理方法进进行分析与计计算，通常不可能用用计算的方法法来确定阻尼尼系数。许多多结构体系的的阻尼必须直直接用试验的方法来量测测。用实测结果计计算结构阻尼尼的几个主要要方法。11/27/202231a）自由振动衰减减法自由振动衰减减试验：最简单且最最常用的方法法方法：用任意手段段使一个体系系产生自由振振动后，阻尼尼比可用相隔隔周周后量得的两两个位移幅值值的比来确定定。求解：如果是是在任一一时刻的振动动幅值，而为为周后的幅值，，则阻尼比：：11/27/202232为对数衰减率率，和和分分别为为无阻尼和有有阻尼时的固固有频率。一般阻尼比都都小于0.2，不考虑阻尼尼引起的频率率变化。自由振动方法法的主要优点点：所需仪器设设备少，可用用任何简便的的方法产生振振动。11/27/202233典型的频率响响应曲线如图图所示。b)共振放大法在结构上作用用包括共振频频率在内的一一系列较密分分布频率的简简谐荷载，，然后后分析振幅与与荷载频率之之间的关系曲曲线，即结构构频率响应曲曲线。11/27/202234任意给定频率率的动力放大系数数是该频率的响响应幅值与零零频率(静止状态)响应幅值的比比值。阻尼比与共振时的动力力放大系数是紧密相关的的。当静响应和共共振响应幅值值分别用和和表表示时，，阻尼比为：：在实际加载时时，施加准确确的共振频率率比较困难，而确定最最大响应幅值值则则比比较方便。11/27/202235阻尼比：忽略了阻尼对对频率的影响响，对于一般般的结构而言，引起起的误差很小小。优缺点：所需仪器也也很简单，但但是，大多数数加载体系不不能在零频率率时工作，因因此在产生静静位移时可能能会出现困难难。11/27/202236c)半功率率谱法法半功率率法：利用用阻尼尼比对对结构构动力力响应应曲线线有很很大影影响，，根据据曲线线的变变化特特性来来分析析结构构阻尼尼比。。方法：阻尼尼比由由响应应减小小到时时的的频率率来确确定，，在此此频率率下输输入为为共振振功率率的一一半。。11/27/202237式（2－52）确定的响响应幅值为为式（2－97）所计算的的共振振幅幅的11/27/202238将方程两边边平方，求求得频率比比为：得两个半功功率频率为为：11/27/202239阻尼比等于于这两个半半功率频率率差值的一一半。在共振响应应幅值的处处作一条切切割响应曲曲线的水平平线，此线线与曲线相相交的两个个频率间的的差值，即即为阻尼比比的两倍。。优点在于可以避避免量测结结构静响应应，但需要要得到较高高精度的共共振响应曲曲线。11/27/202240等效粘滞滞阻尼比比实际结构构并非粘粘滞阻尼尼体系假假设设体系为为一个等等效粘滞滞阻尼（（equivalentviscousdamping）体系。。试验结果果表明，结构在在振动时时，阻尼尼因素所所起影响响的大小小主要取取决于耗耗能的数数值，与与一个周周期内形形成能量量损耗的的具体过过程无显显著关系系。建立等效效粘滞阻阻尼比的的计算理理论。利用粘滞滞阻尼体体系简化化的计算算结论11/27/202241假设等效效粘滞阻阻尼体系系一个振振动周期期内所损损耗的能能量正好好与实际际结构在在一个振振动周期期内所损损耗的能能量相等等，且两两者具有有相等的的位移振振幅值。。11/27/202242实线表示实际结构构的滞回曲线线（hystereticcurve），包围面积积为