新人教版数学八年级下《18.2.3正方形》课时练习含答案解析

四DEOF形△四DEOF形△册18.2.3正一．选择题（共15小）．如图eq\o\ac(△,)是一个等腰直角三角形DEFG其内接正方形H是方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A．12

BC．30答案：知识点：全等三角形的判定；等直角三角形；正方形的性质解析：解答：解：设AB，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为有个，它们组成10对等三角形；斜边长为

的有个，它们组成对全等三角形；斜边长为的有，它们组成全等三角形；共计对．故选．分析全三角形的判定可确定全等三角形的对数图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数以做到不重不漏本题考查了全等三角形的判定及到等腰直角三角形和正方形的性质的键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．．如图所示．分别是正方形的边，AD上的点，且CE＝，AEBF相交于点O下列结论AEBF；②AEBF；AOOE；＝S中错误的有（）A．1个

B2个

C．个

D．答案：A知识点：正方形的性质；全等三形的判定与性质△△BAF△△解析：解答：解：∵四边形ABCD正方形，∴＝AD∵CE＝DF∴DEAF∴△ADE△BAF∴①AE＝BF，＝，DEA＝AFB∠＝∠FBA∴④＝S

∵∠ABF∠AFB∠DAE＋DEA∴∠AFB∠EAF＝∴②AE⊥BF一成立．错误的结论是：AO＝OE故选A．分析：根据四边形ABCD是正方形及＝，可证出ADE△BAF则得到：①AE＝BFADE和的积相等＝S证出＋BAO＝90°，则AE⊥BF定成立．错误的结论是：＝．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．如图在方形ABCD中AB＝4E为CD上动点AE交BD于过作FH⊥AE于H过H作⊥BD于下有四个结论①＝②∠＝③＝，④△的周长为定值，其中正确的结论有（）A①②③

B①②④

C．③④

D．②④答案：D知识点：正方形的性质；全等三形的判定与性质解析：解答：解：）连接FC延长交于L，∵BD为方形ABCD的角线，∴∠ADB∠＝．∵AD，＝DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC＝AF∠ECF＝∠．∵∠＋LAF＝90°，∴∠LHC∠DAF＝90°．∵∠＝∠DAF，∴∠＝∠，∴FH＝FC∴FH＝．（2∵FHAE＝AF，∴∠HAE．（3连接ACBD于，知BD2OA∵∠AFO＋∠GFH∠GHF＋∠GFH，∴∠AFO＝∠．∵＝HF，∠＝FGH90°，∴△AOF≌△．∴OA＝GF∵BD＝2OA∴BD＝．（4延长AD至M，使AD＝，点作∥，则：LI＝HC根eq\o\ac(△,据)≌△可得：CEIM，同理，可得AL＝，∴HEHC＋＝AL＋LI＋＝AM8∴△CEM的长为，为定值．故（）（）（）（4结论都正确．故选D．分析（1）作辅助线，延长H交于L连接CF通过证eq\o\ac(△,)ADF△，可得：＝，故需证明FC＝，可证AFFH由⊥AEAF＝FH可得：∠HAE＝45°；作辅助线，连接AC交BD于，BD＝2FG只需证OAGF即可，根据AOF△，证＝，故可证BD＝（4）作辅助线，延长AD至M使AD＝DM，过点C作∥HL，ILHC，可证AL，再根eq\o\ac(△,)≌△，可证：CI＝IM，故CEM周长为边AM的，为定值．解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．．一个围棋盘由18×18个长为1的方形小方格组成，一块边长为的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有，则最大值是（）．4．6．10D12答案：D知识点：正方形的性质解析：解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为＜且小方格的对角线长2＜1.5故该卡片可以按照如图所示放置：图示为最大值的时候，n＝．故选D．

＜，分析：要n取大值，就让边长的方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键．．如图，四边形ABCD是方形，以边作等边三角形CDEBE与AC交于点M，则∠AMD的数是（）A．

BC．D答案：知识点：正方形的性质；线段垂平分线的性质解析：解答：解：如图，连接BD，∵∠BCE∠＋DCE＝90°＋60°＝，＝EC∴∠EBC∠BEC＝

（－BCE）＝∵∠＝

∠＝，∴∠＝－∠BCM＋∠），∴∠＝－∠BMC∵AC是段BD的垂直平分线M在AC上∴∠AMD∠＝60°故选分析：连接BD，根据BDAC为正方形的两条对角线可知ACBD的直平分线，所以∠＝AMB要∠求AMB即本考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得AMD＝定AC和BD直平分是解题的关键．．在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形（包括边界）整点的个数是（）A．13

BC．答案：D知识点：正方形的性质；坐标与形性质解析：解答：解：正方形边上的整点为0），2）（21）（3）4）5，）、（6，3）、（，1）、（，2、，）、25）、（，6）；在其内的整点有3223（，4，1）3）、（34）、（，5）、（，2）、（4，3、（4，4、，3．故选D．分析根正方形边长的计算计算出边长上的整点并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点题查的是正方四条边上整点的计算到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．．在同一平面上，正方形四个顶点到直线l的离只取四个值，其中一个值是另一个值的倍，这样的直线l以有（）A．4条

B8条

C．12条

D．16条答案：D知识点：正方形的性质；点到直的距离解析：解答：解：符合题目要求的一共16条线，下图虚线所示直线均符合题目要求．分析根正方形的性质，一个为另一个值的倍所以本题需要分类讨论，①该线切＝S－－△BDP△BDF△BDF△BDF2＝S－－△BDP△BDF△BDF△BDF216割正方形确直线的位置；②直线在正方形外，确定直线的位置考了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．．如图，正方形ABCD的长为1E为AD中点P为点，BP中，则BD距离等于（）A

B

C．

D．

答案：D知识点：正方形的性质；三角形面积解析：解答：解：连接，△△BDC△△＝

111－××－××222＝

18

，∵为的点，PBD的离为F到BD的离的2倍∴＝，∴＝

116

，设F到BD的距离为h根据三角形面积计算公式＝1计算得：＝＝．2162故选D．

1×BD＝，216△BDP△BDF2222△BDP△BDF2222分析：图中F为的点，所以＝2S，以要求FBD的离，求出P到BD距离即可题考查的是转化思想求三角形的面积根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即到BD的离．．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BDCM将方形ABCD分六部分，其中M是AB的点N是BC的中点，AN与交点知正方形ABCD的积为则被分隔开eq\o\ac(△,)CON的积为（）A．96cm

B48cm

C．

D．上不对答案：知识点：正方形的性质；三角形面积；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：找到CD的点，找到AD的点F连接，AE，则∥EAAN∥，BOM∽△，1∴＝＝，21同理可证：＝＝，DO故＝KO＝OB，∴△和BOA的积和为∵＝＝＝BM

13

正方形ABCD的面积，∴△OCN的积为

14

BOCBOA的积和，2△△CDE2△△CDE∴△OCN的积为

57612

＝

，故选分析：先证明BO正方形ABCD对角线BD的

13

，再求eq\o\ac(△,)CNOeq\o\ac(△,)，，1BMO的面积相等，eq\o\ac(△,)的面积为正方形面积的．本题考查了正方形内中位线的12应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝

13

BDeq\o\ac(△,)OCN的积为

14

和BOA的积和．10如图，正方形ABCD的角线ACBD相交于O点在BD上取＝，连接，是CE上意一点PMBD于MPN⊥于，正方形ABCD的长为1则PM＋＝）A．1

B

2

C．

22

D．1

2答案：知识点：正方形的性质，三角形面积解析：解答：解：连接BP作⊥，则PMPN分eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)高，且底边长均为，＝1－－，△CDE△△CDE△BCE△BPC△△CDE△△CDE△BCE△BPC△∵DEBD－＝，中CD上的高为2（2－1）－；∵＝CD×4

（2－），＝1－

－＝；又∵＝S＋S＝BC

（PM＋）∴＋＝故选．

＝．分析：连接BP，PM．分eq\o\ac(△,)和BCP的，且底边长均为，因此根据面积计算方法可以求PM＋PN题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转思想查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．11顶点为（，6B（－4，3（－1－）D，4的正方形在第一象限的面积是（）A．25

B．49D答案：知识点：正方形的性质；坐标与形性质；三角形的面积解析：解答：解：连接OA，过AD两的直线方程是

yx＝-9

，即y＝－

＋，得它与x轴交点的横坐标是x＝7.8，同理求得过A两的直线方程是＝－＝，∴＝××23.4，

＋4.2得它与y轴交点E的坐标是△AFO△AFO△BCP△CDP△△AFO△AFO△BCP△CDP△＝

×4.2×＝，∴＋S＝23.4＝36即顶点为A（6），B（－，3），C－，－7，D（，－4）的正方形在第一象限的面积是36分析根正方形的顶点坐标求出直线的程由方程式知AD与x轴的交点的坐标，同理求得AB与y轴交点坐标，连接，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积答题要充分利用正方形的特殊性质意正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点．在标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12ABCD是长1正方形eq\o\ac(△,)BPC是边三角形，eq\o\ac(△,)面积为（）A

14

B

C．

18

D．

答案：知识点：正方形的性质；三角形面积；等边三角形的性质解析：解答：解eq\o\ac(△,)BPD的积等eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)面和减eq\o\ac(△,)BCD的面积因此本题求eq\o\ac(△,)．CDP面eq\o\ac(△,)BCD的积即可，＝

13＝24

，＝

1＝2

，＝×1×＝，△BPD△BPD∴＝

31＋－＝．44故选分析三形面积计算公式eq\o\ac(△,)BPD面积等eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CDP面和减eq\o\ac(△,)BCD的面积的等量关系并行求解题考查了三角形面积的计算考查了正方形对角线平分正方形为2个等的等腰直三角形．解决本题的关键是找eq\o\ac(△,)的积等eq\o\ac(△,)BCP和面和减eq\o\ac(△,)的积的等量关系．13如图，正方形ABCD的积为16eq\o\ac(△,)ABE是边三角形，点在正方形ABCD，在对角线BD上一点，PC的最，则这个最小值为（）A．4

B2

C．

D．答案：A知识点：轴对称－最短路线问题等边三角形的性质；正方形的性质解析：解答：解：∵正方形ABCD∴AC⊥BDOA＝OC，∴C．A关于对，即C关BD的称点是A，连接AE交BD于，则此时EP＋CP值最小，∵C．A关于对，∴CPAP∴＋CP＝，∵等边三角形ABE∴＋CP＝＝AB，∵正方形ABCD的积为，∴AB＝4∴＋CP＝，故选A．分析：根据正方形的性质，推出C．A关于BD对，推出CP推出＋＝，根据等边三角形性质推出AE＝AB＋，据正方形面积公式求出AB即可．本题考查了正方形的性质轴称－最问题等边三角形的性质等知识点的应用此的关键是确定的置和求出EP的小值是AE题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．如图是一张矩形纸片ABCDAD，将纸片沿DE折，使DC落上，点C对应点为点F，若BE6cm，则CD＝()A.4cm

B.6cm答案：A知识点：正方形的性质；翻折变（折叠问题）解析：解答：解：∵四边形是方形，＝＝＝6cm，∴EFCD＝－64(cm).分析：根据正方形的性质，即可轻松解答．如图菱形ABCD中∠B＝AB＝则以边的正方形ACEF周长为()A.14B.15C.16答案：知识点：正方形的性质；菱形的质解析：解答：解：∵四边形ABCD菱形，AB＝，∵∠＝°，∴ABC是边三角形，∴AC＝＝，∴正方形的长是ACCEEF＋＝×4＝16.分析：根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答．二．填空题（共5小）．如图所示，将五个边长都为的方形按图所示摆放，其中点ABC、D分是正方形对角线的交点有个这样大小的正方形这样摆放面积的总和_．答案：

n4知识点：正方形的性质；探索图规律解析：解答：解：∵点、B、CD分是正方形对角线的交点∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，即

1×1×1＝，4当有三个三角形时，其面积为

112＋＝444当有四个时，其面积为

1113＋＋＝4444所以当三角形时，其面积为

n4

．故答案为

n4

．分析：求面积问题，因为点A、B、、分是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的

14

，由此便可求解．熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．．如图，以矩形OABC顶点O原点OA所的直线为x轴OC所的直线为y轴建立平面直角坐标系OA＝＝2E是的点OA取一点D，eq\o\ac(△,)沿BD翻折，使点A落BC边的点F处若在轴存在点，满足＝，则P点坐标为．答案：，4）或（00）知识点：正方形的性质；坐标与形性质；全等三角形的判定与性质解析：解答：解：连接EF，∵OA3OC2，∴AB＝，∵点E是AB的点，∴＝1，∵＝AB∴＝BE1，∵FE＝FP∴eq\o\ac(△,)FCP≌eq\o\ac(△,)FBE，∴＝＝，∴点标为，4或（0，0，即图中的点P和故答案为：，），（0，）分析连CF＝＝若EF＝显eq\o\ac(△,)FCPeq\o\ac(△,)FBE由此确定的本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．．如图，边长为的正方形ABCD和长为b的方形BEFG排在一起O和分别1是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O的长为．122答案：

14

ab

＋b

）知识点：正方形的性质；勾股定；相似三角形的判定与性质解析：解答：解：做H∥AE，使OH⊥H，BG于P，K点，11（1）BP＝，又∵O⊥HO，21∴KP∥，2∴△PKO∽eq\o\ac(△,)，12∴

KPa＝1＝，HOHOa21KP＝

b2＝，a）阴影部分的面积＝2abab＝＝；8

1a1××（）＝×[＋]22

a2（2）HO＝1

a，＝，22根据勾股定理O＝1a22＝212＝2

1

HO

22故答案为：

1ab；42

＋分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求个角形面积即可；线段OO的根据勾股定理求解．本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三12角形面积的计算查根据勾定理计算直角三角形斜边的应用决题的关键是构建直角三角形HO．1．已知正方形ABCD在角标系内，点A0），点B（0，），则点，坐分别为

和．只写一组）答案：（1，）和（，）知识点：正方形的性质；坐标与形性质解析：解答：解：∵正方形ABCD点A（0，），点B，），∴BD∥ACx轴这样画出正方形，即可得出C与D的标，分别为C，0，D1）．故答案为：，），（1，）．分析：首先根据正方形ABCD的A（0，1，点B，0），在坐标系内找出两点，根据正方形各边相等，从而可以确定D的标本主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质确定已知点的坐标而根据正方形的性质确其它顶点的坐标是解决问题的关键．个方被分成三十六个面积均为1小正方形A与B在个格点上格点上存在点，eq\o\ac(△,使)ABC的积为2，则这样的点有

个．答案：5知识点：正方形的性质；三角形面积解析：解答：解：图中标出的5个均为符合题意的点．故答案为5．分析：要使eq\o\ac(△,得)ABC的积为，＝ah则使得＝、＝2或＝、b即，在图示方格纸中找出C点可．本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．三．解答题（共5小）．如图，在正方形A中对角线ACBD相于点AF平BAC，BD于F．（1求证：

；（）点A、C分别同时从A、两出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，1如图，AF平∠，交BD于，点F作FE⊥C，足为，猜想，11111111

AC1

三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3在（）的条件下，当AE＝，CE＝，则BD的长为．11答案：）见解析（）AB－EF1＝AC（3）11

知识点：正方形的性质；全等三形的判定与性质；勾股定理解析：解答：解：（1过作⊥AB于G22222222∵AF平∠，FOACFG⊥AB，∴OFFG，∵∠AOF＝∠AGF＝，＝，＝，∴△AOF≌△AGF，∴AO＝AG直角三角形中∠DGA＝45°，∴FG＝，∴AB＝AG＝AO＋＝AC＋OF∴AB－＝AC（2过作FG⊥AB，过F作FH⊥BC，则四边形FGBH是矩形．11111同（）可得EF＝FG，因此四边形BH是方形．11∴EF＝G＝H1111即：F是角形ABC的心，11∴EF＝（AB＋BC－）11∵AB＝＋AA－CC，而＝AA，1111∴AB＝，11因此①式可写成EF＝2ABAC÷2，111即AB＝AC11（3由（）得，是角形A的内心，且、GH都切点．11∴A＝（AAB÷2，111如果设CC＝AA＝x，1A＝[AC＋（AB＋）－AB－x）]÷2＝（＋2x）÷2＝6，11∴x＝，在直角三角形A中根据勾股定理有AB＋BC＝11111

即：（AB＋1）

2

＋－1＝，解得AB7，∴BD＝

．分析：1可通过构建全等三角形来求解，过作FG于G那么可通过角平分线上的点到角两边的距离相等得出＝FG过全等三角形AOF和AGF可出AOAG么ABAO，而AC＝，由此可得证；（2本题作辅助线的方法与）类似，过F作F⊥，FH⊥BC，那么可证得四边11形FGBH是方形EF＝F＝FH那么可得出F就三角形A的心根据直11111角三角形的内心公式可得出EFABBC－AC÷2后据用分表示出AB，1111BC，后经过化简即可得出－EF＝AC；1（3求BD的长，首先要求出的，题可借助2中是角形A的内心1解，那么我们不难看出，G，H都应该是切点，根据切线长定理不难得出A＋AG＝111AC＋ABC－BG，由于C＝CHBG＝AE＝A因式子可写成＝111111111AC＋AB，而AB）好于2AA由此可求出AA长，那么可根据勾11111股定理用表出两条直角边，求出AB的，然后即可得出BD的值．本题主要考查了正方形的性质角形的内接圆与内心等知识点要注意的是后两问中结合圆的知识来解会使问题更简单．．已知：如图，点是方形ABCD的边上一点，点是CB的长线上一点，且EA⊥AF求证：＝．答案：解析知识点：全等三角形的判定与性；正方形的性质解析：解答：证明：∵∠FAB∠＝90°，∠DAE∠BAE，∴∠FAB＝DAE∵∠＝AD，∠ABF∠，∴△AFB△ADE∴DEBF分析：由同角的余角相等知，＝DAE，由正方形的性质知，AB＝AD，ABF∠＝90°，则ASA证eq\o\ac(△,)≌ADE＝．题考查了实数的运算又考查了正方形的性质．学生对学过的知识要系统起来．．如图，点、分在正方形ABCD的DC、上AGEF，垂足为，＝AB则∠为多少度．答案：知识点：正方形的性质；全等三形的判定与性质解析：解答：解：在eq\o\ac(△,)ABF与eq\o\ac(△,)AGF中∵＝AG，AFAF∠BG90°，∴△ABF△AGF（），∴∠BAF∠GAF，同理易得eq\o\ac(△,)≌△，有∠＝∠；即∠EAF＝∠EAG∠FAG＝∠DAG＋∠＝∠＝，故∠EAF＝．分析：根据角平分线的判定，可得出

ABF≌△，故有∠BAF＝，证明AGE△，∠GAE∠DAE所以可求EAF．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．如正形ABCD中AB＝度．（1求证DF＝；（2求的度数；（3eq\o\ac(△,)AEF的积．

点分在CD上BAE＝∠DAF答案：）见解析（）（）

3知识点：正方形的性质；全等三形的判定与性质解析：△AE