二维正态分布-4第二节边缘分布

第二节边缘分布引随随布函数分别记为Fx(x)和FY(y),依次称Fx(x),FY(y)为(X,Y)由于FY(y)=F问题：设(X,Y的联合分布律为P{=i,=yj}=ij,i，=1,2,…,布律。F

y)

P{

x,Y

y}

xi yj FXx)

F(

)

pijxixyj

xixj 另一方FXx)

P{

x}

xi

P{xi

xi比较两式，有P

xi}

j

pij

pi同理

yj}

i

pij

pX 13X的可能取值为1,3P{X=1}=P{X=1,Y=-XXp13YYp-04 04131三、连续型随机向量(X,Y)的边缘概率密fX(x)

f(

y)dy

fY(y)x

f(

证：因为

(x)

F(x,)x

[

f(

ydydx另一方面

(x)

fX(x)dx，比较两式，有

fX(x)

f(

同样，可

(y)

f(

例1:(X,Y)-∞<x<+∞,-∞求(1)常数A,B,C(2)边缘分布函数Fx(x),FY(y)解:由分布函数的性质 1xy

F(

y)

A(B

)(C 0x

F(

y)

A(B

2

0y

F(

y)

A(B

)A=1/π2,F(x,

y)

1

x

arctany2

F(x)

F(

y)

1

x y

2

21

x11arctan

FY(y)

x

F(

y)

1arctan例2设(X,Y)的概率密度f(x,y)

cy(2x 0x1,0y0, 0,(1)c的值（2）两个边缘密由由f(x,y)dxdy确定

f(

1x[cy(21x c0[x(2

x)/

c

fX(x)

y(2y(2注意积分xy 51 1

x2(2

注意取注意取值

0x2fY(y)2

y(2

5

y(2

2y

y),

0y fX(x)

x(2

0x y2fY(y)

y( 2y

0y 例2:(X,Y)在单位圆D{(x,y)|x2+y2<1}解(X,Y)的p,d

x2y2f(

其他

1x2先求fx(x) 1x21x1x1xfX(x1x

f(

1x21x2

dy f

(x)

x0 0当1y11y221y21y2同理fY(y) dx1y22121y

(y)

y0 其他02例4:设(X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ2,ρ)，即(X,Y)2密

(x2 12 1

[ 1 1(x)(y (y2

21 2

x,

y求边缘概率密度fx(x),fY(y)(y

(x)(y

y

x

(x2 2 2

1 2 2

e1 (x1)22(x1)2e12 12 1

212

y

xe) 2(12e)

22

t

1y1111

x1

(x1 t则dt

f

(x)

e

21211 t 2dtfXx)

(x111 211

x同理

(y)

(y221 221

y但由边缘分布一般不能确定联合分布第三 随量独立引我们把独立性这一概念引入随量的情况。那么我们怎么定义随量独立性这一概念呢？直观上，如果随量X(Y)的取值丝毫不影响随量Y(X)的取值，则X和Y是独立的随量。即设I1，I2为P{X∈I1，特别取I1x]，I2=(-∞，y]，(x，y为任意实数)，上式就化为P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}反之，若X与Y满足F(x，y)=FX(x)FY(y)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,=Fx(x2)FY(y2)-Fx(x1)FY(y2)-=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤可进一步推广，对任意区间I1，I2P{X∈I1，Y∈I2}=P{X∈I1}P{Y∈I2}一、随量独立性的定1．定义：设F(x，y)及Fx(x)，FY(y)分别是二维随则称随量X和Y是相互独立的则称事件A,B独立例1:§2例1中讨论X与Y的独立性。解:(X，Y)的分布函数为F(

y)

1

x

2

F(x)

1

x,

(y)

1

arctany

容易看出，对于任意实数x，y注二、离散型随量独立的等价条定 设(X，Y)为离散型随量，其分布律 其边缘分布分别律为P{X=xi}=pi P{Y=yj}=p· 有:pij=pi·证明：(1)充分性。若对于任意i，j有 ·则对于任意实数x,yF(

y)

pij

pi

pi

pxix,yj

xix,yj

xi

yjFX(x)FY(y)所以X与Yx1<x2，y1<y2，于是，对于任意i，j，由概率的连续11

P{

xi,Y

yjm

P{

1X

xi,yjmY

yj

P{

1X

}m

P{yjmY

yj1P{1

xi}P{Y

yj}

pi

- -04131解:由计算知 且P{X=1，Y=-1}=0.17P{X=1，Y=-1}≠P{X=1}P{Y=-因此X与Y不是相互独立的随量三、连续型随量独立的等价条定理.设(X，Y)是连续型随量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)f(x，y)= 证明：(1f(x，y)=fx(x)fY(y)

f(dvduy

fX

du

dv

(2)必要性。若X与Y相互独立，则在f(x，y)fx(x)，2F(x,y)

2F(x)F(y)f(

y)

dFX(x)dFY(y)

(x)

(y) 例1:一到达的时间均匀分布在8～12时，他的到达的时间均匀分布在7～9时，设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达的时解:设X和Y分别是和他的到达的时间fX(x)

4

8

12

fY(x)

7x 其它

其它因为X，Y相互独立，故(X，Y)f(

y)

fX(x)

fY(y)

8

8

12,7

y按题意需求概率P{|X- 其它9画出区域：|x-y|≤1/12及长方 9{8<x<12；7<y<9}，它们的公共部分

C’ C’P{XY

1} f(x,y)dxdy18G 8G1132 1112 212 212 P{|X-即和他的到达的时间相差不超5分种的概率为1/48 甲、乙两船同日欲靠同头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.X和Y分别是甲、乙两船到达的时间，

0x

0yfX(x)

fY(x)

0

yf(x,y)

fX(x)

fY(y)

按题意Y-X<1或X-Y<2，则其中艘船要等待。因此，所求的概率pP{X

2}

P{Y

1}G

f(x,1

12322242

1222 G224 G21 类似的问甲、乙两船同日欲靠同头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.2例2:设(X，Y)N(μ1，μ2，σ12，σ2，ρ)，证明X2X，Y) (x2 12 11

y)

[ 2(12 (x)(x (x2

21 2关于X和Y(x1

(y (x)

2

222 fY(

[(x1[

(y2fXx

fY(y)

21

2

2充分性。如果ρ=0,则对所有x，yf(x，y)fx(x)fY(y)，即X与Y必要性。如果X与Y相互独立，由于f(x，y),fx(x),fY(y)都是连续函数，故对所有x，y有f(x，y)fx(x)fY(y)，特别地，取x=µ1，y=µ2可得2 2 121从而四、独立广的一些定独立性的概念推广至随机向量的情定义:设X1，X2，…，X)为维随机向量，其分布函数为F(x，x2，…，x)，关于xi的边缘分布函数Fxixi，x1，x2，…，有FX(x1

x2,,

)FX(x1) (x2)FXn(xn 则称X1，X2，…，Xn是相互独立 定义:设(X1X2Xm)和(Y1,Y2,…,Yn)为两个随机向量，又设m+n维随机向量(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Yn)的分布函数为F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)，若为对任意实数F(x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn)=F1(x1,x2,…,xm)F2(y1,y2,…,yn)则称向量(X1X2Xm)与(Y1,Y2,…,Yn)如果随量X1,X2,…,Xn相互独立,I1,I2,…,In为定理2若X1X2Xn其中任意k个随量也相互独立