高等数学高数课件-31-微分中值定理

第三章中值定理与导数的应用一、中值定理二、洛必达法则三、泰勒公式四、函数的单调性与凹凸性五、函数的极值与函数图形的描绘六、弧微分与曲率第三章中值定理与导数的应用一、中值定理二、洛必达法则三、泰二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)中值定理一、费马(Fermat)引理四、柯西(Cauchy)中值定理第一节中值定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)中首先我们观察一个几何事实:AB如果f(x)在(a,b)上可导，且在(a,b)的内点上存在极值点1或2

,即换句话说在极值点处必有则在曲线AB上至少存在一点C,在该点处的切线是水平的。如右图所示首先我们观察一个几何事实:AB如果f(x)在(a,b)上可导费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的有(或)证不妨设时，则对有从而当时，当时，则由此几何事实，我们引出如下的费马定理：费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，及函数在处可导所以，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，及例1分析例1分析证证证:只须令应用例1的结论.证:只须令应用例1的结论.罗尔(Rolle)定理若函数在续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即则在内至少有一点使证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若上连闭区间罗尔(Rolle)定理若函数在续，在开区间内可导，且在区间端证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若最值不可能同时在端点取得.不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若最值不可能同时在端不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点例如，在上连续，在上可导，且取则有不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点例如，在上连几何解释:AB几何解释:AB罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:易见函数断,不满足闭区间连续的条件,1.在闭区间[0,1]的左端点处间尽管在开区间(0,1)内存在,且切线.但显然没有水平罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:2.我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件,虽然在内是连续的,且有但是没有水平切线.在函数罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:3.函数虽然满足在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导的条件,但显然也没有水平切线.罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一例2对函数在区间上罗尔定理的正确性.验证解显然在上连续,且而在内确存在一点使在内可导,例2对函数在区间上罗尔定理的正确性.验证解显然在上连续,且而不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解因为所以在闭从而，使即是的一个零点；使例3判断函数区间上满足罗尔定理的三个条件，、内至少存在一点在又在内至少存在一点不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解因为所以在不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例3判断函数解使又在内至少存在一点即是的一个零点；不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例3判断函数即是的一个零点；又因为为二次多项式，故恰好有两个零点，不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例3判断函数解使又在内至少存在一点是的一个零点；最多只能有两个零点，和分别在区间内.即是的一个零点；又因为为二次多项式，故恰好有两个零点，不求导例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.设则在上连续,且由零点定理,存在使即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.设则在上连续,且由例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.因为在之间满足罗尔定理的条件,例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.因为在之间满足罗尔所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾,故为唯一实根.例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.因为在之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾,故为唯一实根.例例5证设为的实数,试证明方程在内至少存在一个实根.作辅助函数满足例5证设为的实数,试证明方程在内至少存在一个实根.作辅助函数证作辅助函数证作辅助函数证作辅助函数显然在内可导,故由罗尔定理知,存在一点使续,在上连至少即从而题设方程在内至少有一个实根.证作辅助函数显然在内可导,故由罗尔定理知,存在一点使续,在上例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证从结论倒推分析知,可引进辅助函数由于罗尔定理条件,易知在上满足且因此,在内至少存在一点使例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证从结论倒推分例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至少存在一点使例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至少存在一点使即因所以例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至例7证设函数在上连续,导,在内可且若存在常数使得试证至少存在一点使得因故和同号,不妨设又因为所以在和上连续,例7证设函数在上连续,导,在内可且若存在常数使得试证至少存在证不妨设在和上连续,证不妨设在和上连续,证在和上连续,设由于和异号,和异号,所以,至少存在一点使至少存在一点使在区间上,显然满足罗尔定理的三个条件,即在上连续,在内可导,所以至少存在一点使证在和上连续,设由于和异号,和异号,所以,至少存在一点使至少再证例1再证例1练习1分析练习1分析练习2练习2证明证明例8分析例8分析思路归纳：在应用罗尔定理来证明某些中值的存在性问题中，常常需要构造辅助函数F(x)。如何构造？是否有一般的思路和方法？分析下面的例子：如何构造辅助函数F(x)，来证明如下的问题思路归纳：在应用罗尔定理来证明某些中值的存在性问题中，常常高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理问题问题高等数学高数课件-31-微分中值定理再看一个几何事实:如右图所示再看一个几何事实:如右图所示拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得分析：条件中与罗尔定理相差几何图中,弦方程为曲线减去弦所得曲线在两端点上的函数值相等.在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrang拉格朗日(Lagrange)中值定理于是,若作辅助函数则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理于是,若作辅助函数则满足拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即或由此可证得定理.拉格朗日中值公式注:拉格朗日公式的增量精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗日中值公式设在内可导,则有即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.当x<0时，=-(x0-)/x当x>0时，=(

-x0)/x拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是一个常数.推论1表明:导数为零的函数就是常数函数.这一结论以后在积分学中将会用到.由推论1立即可得：拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗推论1如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.证在区间上任取两点在区间上得由假设于是再由的任意性，知在区间上的函数值都相等，即在区间上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，任意点处推论1如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.拉格朗日(Lagrange)中值定理推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是一个常数.推论1表明:导数为零的函数就是常数函数.这一结论以后在积分学中将会用到.由推论1立即可得：推论2如果函数与在区间上恒有在区间上为常数).拉格朗日(Lagrange)中值定理推论1如果函数在区间上的例7解验证函数在上满足拉格朗日中值定理,并由结论求值.在上连续,在可导,故满足拉格朗日中值定理的条件.则即故例7解验证函数在上满足拉格朗日中值定理,并由结论求值.在上连例8证证明设即又例8证证明设即又例9证证明当时,设足拉格朗日中值定理的条件.故从而又由则在上满例9证证明当时,设足拉格朗日中值定理的条件.故从而又由则在上例9证证明当时,例9证证明当时,例9证证明当时,即例9证证明当时,即例10证设是在上可导的函数,且单调减少,试证:对于恒有当时,有故不等式成立.当时,在上应用拉氏定理知,使在上应用拉氏定理知例10证设是在上可导的函数,且单调减少,试证:对于恒有当时,证在上应用拉氏定理知使所以证毕.单调减少,证在上应用拉氏定理知使所以证毕.单调减少,例11证明：例11证明：高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理拉格朗日中值定理证明方法的探讨证明了结论前面我们通过构造辅助函数点使得我们能否借鉴这种证明思路，来推广证明存在一(c为常数)的命题。拉格朗日中值定理证明方法的探讨证明了结论前面我们通过构造辅助通过我们的观察和猜想（进行发散型的思维！）欲证只需构造如下的辅助函数“一次多项式”,要证猜想只需构造如下的辅助函数“二次多项式”,要证只需构造如下的辅助函数“三次多项式”,而构造辅助函数F(x)的目的是将对它应用罗尔定理。通过我们的观察和猜想（进行发散型的思维！）欲证只需构造如下的构造辅助函数F(x)的目的是对它应用罗尔定理。要证F(x)需要满足如下的条件：F(x1)=F(x2)=F(x3)或要证需要F(x)要有四个函数值相等,即F(x1)=F(x2)=F(x3)=F(x4)或如何确定F(x)中的多项式函数呢？存在三个点x1,x2,x3,使得而这些条件，正是确定辅助函数F(x)中的多项式函数的依据和条件。构造辅助函数F(x)的目的是对它应用罗尔定理。要证F(x)需例设在上具有三阶连续导数,且证明：在内至少有一点,使

分析：构造三次多项式其中：此时有再令即从而为了确定b,c,需再补充条件

例设在上具有三阶连续导数,且证明：在内至少有一点,故所求的三次多项式为证明：令辅助函数显然有由此条件得在为了确定b,c,需再补充条件

上对F(x)应用罗尔定理，便得到使得即故所求的三次多项式为证明：令辅助函数显然有由此条件得在为了确注：此方法还可用来证明类似使得故而两次在上分别对导函数于是便得到亦即应用罗尔定理，便知存在的命题。注：此方法还可用来证明类似使得故而两次在上分别对导函数于是便柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零,有一点使得证作辅助函数如果函数及在那么在内至少满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理闭区柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,则在内至少存在一点使得即证毕.显然,当时,柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,则在内至少存在一点使得证毕.显然,当时,柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,则在内至少存在一点使得证毕.显然,当时,柯西中值定理化为拉格朗日中值定理.柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,几何解释:如图可以看出：把平面曲线方程写成参数方程的形式其中x为参数方程。在曲线弧AB上至少有一点C(F(),f()),在该点处的切线平行于弦AB.几何解释:如图可以看出：把平面曲线方程写成参数方程的形式例11解验证柯西中值定理对函数在区间上的正确性.函数连续,在开区间内可导,且于是满足柯西中值定理的条件.由于在区间上例11解验证柯西中值定理对函数在区间上的正确性.函数连续,在解由于解由于解由于令得取成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.则等式解由于令得取成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间分析例12设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使结论可变形为证作辅助函数则在上满足柯西中值定理的故在内至少存在一点条件,使分析例12设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使结论例12设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使证作辅助函数则在上满足柯西中值定理的故在内至少存在一点条件,使例12设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使证作辅助即例12设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使证作辅助函数则在上满足柯西中值定理的故在内至少存在一点条件,使即例12设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使证作辅高等数学高数课件-31-微分中值定理内容小结

中值定理的条件和结论名称条件结论罗尔定理拉格朗日定理柯西定理在上连续(1)在(2)内可导(3)在上连续(1)在(2)内可导在上连续(1)在(2)内可导使得使得使得内容小结中值定理的条件和结论名称条件结论罗尔拉格柯西在上连1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2.若是上的正值可微函数，则有点使课堂练习1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2.若是上的1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.解例不满足在闭区间上连续的条件.在开区间内不存在任何一点，使函数在该点的导数等于零.又例且不满足在开区间内可微的条件.在开区间内不存在任何一点，使函数在该点的导数等于零.1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.解例不满足在2.若是上的正值可微函数，则有点使解构造辅助函数则满足拉格朗日中值定理的条件，从而有使代入得即2.若是上的正值可微函数，则有点使解构造辅助函数则满足拉格朗第三章中值定理与导数的应用一、中值定理二、洛必达法则三、泰勒公式四、函数的单调性与凹凸性五、函数的极值与函数图形的描绘六、弧微分与曲率第三章中值定理与导数的应用一、中值定理二、洛必达法则三、泰二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)中值定理一、费马(Fermat)引理四、柯西(Cauchy)中值定理第一节中值定理二、罗尔(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)中首先我们观察一个几何事实:AB如果f(x)在(a,b)上可导，且在(a,b)的内点上存在极值点1或2

,即换句话说在极值点处必有则在曲线AB上至少存在一点C,在该点处的切线是水平的。如右图所示首先我们观察一个几何事实:AB如果f(x)在(a,b)上可导费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的有(或)证不妨设时，则对有从而当时，当时，则由此几何事实，我们引出如下的费马定理：费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，及函数在处可导所以，费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，及例1分析例1分析证证证:只须令应用例1的结论.证:只须令应用例1的结论.罗尔(Rolle)定理若函数在续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即则在内至少有一点使证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若上连闭区间罗尔(Rolle)定理若函数在续，在开区间内可导，且在区间端证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若最值不可能同时在端点取得.不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若最值不可能同时在端不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点例如，在上连续，在上可导，且取则有不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点例如，在上连几何解释:AB几何解释:AB罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:易见函数断,不满足闭区间连续的条件,1.在闭区间[0,1]的左端点处间尽管在开区间(0,1)内存在,且切线.但显然没有水平罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:2.我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件,虽然在内是连续的,且有但是没有水平切线.在函数罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立.下面分别举例说明之:3.函数虽然满足在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导的条件,但显然也没有水平切线.罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一例2对函数在区间上罗尔定理的正确性.验证解显然在上连续,且而在内确存在一点使在内可导,例2对函数在区间上罗尔定理的正确性.验证解显然在上连续,且而不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解因为所以在闭从而，使即是的一个零点；使例3判断函数区间上满足罗尔定理的三个条件，、内至少存在一点在又在内至少存在一点不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解因为所以在不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例3判断函数解使又在内至少存在一点即是的一个零点；不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例3判断函数即是的一个零点；又因为为二次多项式，故恰好有两个零点，不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例3判断函数解使又在内至少存在一点是的一个零点；最多只能有两个零点，和分别在区间内.即是的一个零点；又因为为二次多项式，故恰好有两个零点，不求导例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.设则在上连续,且由零点定理,存在使即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.设则在上连续,且由例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.因为在之间满足罗尔定理的条件,例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.因为在之间满足罗尔所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾,故为唯一实根.例4证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.因为在之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾,故为唯一实根.例例5证设为的实数,试证明方程在内至少存在一个实根.作辅助函数满足例5证设为的实数,试证明方程在内至少存在一个实根.作辅助函数证作辅助函数证作辅助函数证作辅助函数显然在内可导,故由罗尔定理知,存在一点使续,在上连至少即从而题设方程在内至少有一个实根.证作辅助函数显然在内可导,故由罗尔定理知,存在一点使续,在上例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证从结论倒推分析知,可引进辅助函数由于罗尔定理条件,易知在上满足且因此,在内至少存在一点使例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证从结论倒推分例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至少存在一点使例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至少存在一点使即因所以例6设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证因此,在内至例7证设函数在上连续,导,在内可且若存在常数使得试证至少存在一点使得因故和同号,不妨设又因为所以在和上连续,例7证设函数在上连续,导,在内可且若存在常数使得试证至少存在证不妨设在和上连续,证不妨设在和上连续,证在和上连续,设由于和异号,和异号,所以,至少存在一点使至少存在一点使在区间上,显然满足罗尔定理的三个条件,即在上连续,在内可导,所以至少存在一点使证在和上连续,设由于和异号,和异号,所以,至少存在一点使至少再证例1再证例1练习1分析练习1分析练习2练习2证明证明例8分析例8分析思路归纳：在应用罗尔定理来证明某些中值的存在性问题中，常常需要构造辅助函数F(x)。如何构造？是否有一般的思路和方法？分析下面的例子：如何构造辅助函数F(x)，来证明如下的问题思路归纳：在应用罗尔定理来证明某些中值的存在性问题中，常常高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理问题问题高等数学高数课件-31-微分中值定理再看一个几何事实:如右图所示再看一个几何事实:如右图所示拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得分析：条件中与罗尔定理相差几何图中,弦方程为曲线减去弦所得曲线在两端点上的函数值相等.在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrang拉格朗日(Lagrange)中值定理于是,若作辅助函数则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理于是,若作辅助函数则满足拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即或由此可证得定理.拉格朗日中值公式注:拉格朗日公式的增量精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗日中值公式设在内可导,则有即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日(Lagrange)中值定理或由此可证得定理.拉格朗拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.当x<0时，=-(x0-)/x当x>0时，=(

-x0)/x拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是一个常数.推论1表明:导数为零的函数就是常数函数.这一结论以后在积分学中将会用到.由推论1立即可得：拉格朗日(Lagrange)中值定理即增量的精确表达式拉格朗推论1如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.证在区间上任取两点在区间上得由假设于是再由的任意性，知在区间上的函数值都相等，即在区间上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，任意点处推论1如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.拉格朗日(Lagrange)中值定理推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是一个常数.推论1表明:导数为零的函数就是常数函数.这一结论以后在积分学中将会用到.由推论1立即可得：推论2如果函数与在区间上恒有在区间上为常数).拉格朗日(Lagrange)中值定理推论1如果函数在区间上的例7解验证函数在上满足拉格朗日中值定理,并由结论求值.在上连续,在可导,故满足拉格朗日中值定理的条件.则即故例7解验证函数在上满足拉格朗日中值定理,并由结论求值.在上连例8证证明设即又例8证证明设即又例9证证明当时,设足拉格朗日中值定理的条件.故从而又由则在上满例9证证明当时,设足拉格朗日中值定理的条件.故从而又由则在上例9证证明当时,例9证证明当时,例9证证明当时,即例9证证明当时,即例10证设是在上可导的函数,且单调减少,试证:对于恒有当时,有故不等式成立.当时,在上应用拉氏定理知,使在上应用拉氏定理知例10证设是在上可导的函数,且单调减少,试证:对于恒有当时,证在上应用拉氏定理知使所以证毕.单调减少,证在上应用拉氏定理知使所以证毕.单调减少,例11证明：例11证明：高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理高等数学高数课件-31-微分中值定理拉格朗日中值定理证明方法的探讨证明了结论前面我们通过构造辅助函数点使得我们能否借鉴这种证明思路，来推广证明存在一(c为常数)的命题。拉格朗日中值定理证明方法的探讨证明了结论前面我们通过构造辅助通过我们的观察和猜想（进行发散型的思维！）欲证只需构造如下的辅助函数“一次多项式”,要证猜想只需构造如下的辅助函数“二次多项式”,要证只需构造如下的辅助函数“三次多项式”,而构造辅助函数F(x)的目的是将对它应用罗尔定理。通过我们的观察和猜想（进行发散型的思维！）欲证只需构造如下的构造辅助函数F(x)的目的是对它应用罗尔定理。要证F(x)需要满足如下的条件：F(x1)=F(x2)=F(x3)或要证需要F(x)要有四个函数值相等,即F(x1)=F(x2)=F(x3)=F(x4)或如何确定F(x)中的多项式函数呢？存在三个点x1,x2,x3,使得而这些条件，正是确定辅助函数F(x)中的多项式函数的依据和条件。构造辅助函数F(x)的目的是对它应用罗尔定理。要证F(x)需例设在上具有三阶连续导数,且证明：在内至少有一点,使

分析：构造三次多项式其中：此时有再令即从而为了确定b,c,需再补充条件

例设在上具有三阶连续导数,且证明：在内至少有一点,故所求的三次多项式为证明：令辅助函数显然有由此条件得在为了确定b,c,需再补充条件

上对F(x)应用罗尔定理，便得到使得即故所求的三次多项式为证明：令辅助函数显然有由此条件得在为了确注：此方法还可用来证明类似使得故而两次在上分别对导函数于是便得到亦即应用罗尔定理，便知存在的命题。注：此方法还可用来证明类似使得故而两次在上分别对导函数于是便柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)