高考复习专题函数零点的求法及零点的个数

在区间上有零点寻找关[例1]求函数的零点.y3x在区间上有零点寻找关[例1]求函数的零点.y3xx即函数y3xa2(0,又有f(4)在区

[解题思路]要求参数的取值范围，就要从函数

f题型求函数的点。

于参数a的不等式（组但由于涉及到a作为的系数，故要对a进行讨论y3x[解题思路]求函数的零点就是求方程

x

3

2

0

的根

[解析]若,

f(x)

,显然在

所以[解析]令

x

，∴

x

2

2)2)

令

,

解得

a

72(xxx2的零点为-1，1，2。[反思归纳]函数的零点不是点，而是函数函数

y(x

的图像与交点的横坐标，

①当②当点。

7f时,恰有一个零点在上;f即零点是一个实数。题型确定函数点的个。

③当

f

在

上有两个零点时,则[例2]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数.[解题思路]求函f(x)=lnx＋2x－6的零点个数就是求方程－6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)=lnx＋2x－6在定义域上连续单调递增，，所以函数f(x)=lnx＋2x－6只有一个零点。方法二：求函f(x)=lnx＋2x－6的零点个数即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数

224aaff

或

a224aff即求

yxy

的交点的个数。画图可知只有一个。

解或

a

2

综上所求实数的取值范围是

a或。[反思归纳]求函数

yfx)

的零点是高考的热点，有两种常用方法：

[思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是①（代数法）求方程

f(x)

的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可

抓住了关键.以将它与函数

yfx)

的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

②二次函数f(xbx的图像形状对称轴顶点坐标开口方向等是处理二次2函数问题的重要依据。题型由函数的点特征定参数取值范

考点根的分布题[例3](2007广东)已知a是实数函数

f

2

,如果函数

f

[5]已知函数(2的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右间

上有零点，求a的取值范围。

侧，求实数m的取值范围[解题思路]由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论第1页共页

222mffm（3）2m022222222mffm（3）2m022222212f(2)04k

m

m（2）若m≠0，有两种情况：

0

m0原点的两侧各有一个，则

m112

m＜0；

[解析]B；依题意得（1或（20显然（1）无解；解（2）得；解（3）得

或m0,2x都在原点右侧，则解得0＜m≤1，综上可得m∈（－∞，1[反思归纳二次方根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a的根的分布有关的结论：①方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比af（r）＜0.

又m时)它显然有一个正实数的零点，所以应选。2、方2的实数解的个数为_______。)x[解析]；在同一个坐标系中作函数2及y图象，发现它们有两个交点②二次方程f（x）=0的两根都大于r

2acbr2a(r)

故方2的实数解的个数为2。3、已知二次函数fx4p2)x若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是_________。2acb,2

3[解析](－3，2）只需f

2

0或f(p

2

p0③二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根

a((

31即－3＜p＜2或2＜1.∴p∈(－3,)。④二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一f（p）f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（，q）内.

4、设函数y

13与)2

x

的图象的交点(,)，则x所在的区间是（⑤方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于（p＜q）

)0.

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B。5、若方程xx0的两根中一根在0和1之间,另一根在和2之间,（二强化固训练f1函数有且仅有一个正实数的零点则实数的取值范围A．；B．；C．；D．

求实数k的取值范围。12[解析]；令(x)xkx，则依题意得0(1)，，解得23。第2页共页

2f(0)mf([解析]B；由图可知，，，由左图及f[g(x)]=0得120120（三、结反思本课主要注意以下几个问题1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3利用函数的最值解决不等式恒成立问题。补充题、定义域和值域均为[-a,a](常2f(0)mf([解析]B；由图可知，，，由左图及f[g(x)]=0得120120(1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。那么，其中正确命题的个数是（)。A．1;B.2;C.3;D.4。ya

(1，2)内，画出示意图，得m,1f(1)m0,,2(2)m5m

5m∴62

())

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组xOaxf(x)[a]()[]

(1)

1,21,22或2,m0.

(这里0<－是为对称轴x=－应区(，1)通aag(xx])x[g()2，，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有

过即得

12

．∴

m,12

．af(x)x，a)三个解，即正确；由右图及g[f(x)]=0得，由左图知方程g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图f[f(x)]=0得

af(x)x[]2

，af(x)xf()2，，又由左图得到方f[f(x)]=0最多有三个解，故3)错ag(x)x，a)误；由右图及2，由右图知方程且仅有