2021安徽考研数学一真题【含答案】

2021安徽考研数学一真题试卷一、选择题（10550分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）ex1(1)函数f(x)= x ,x0,在x0处 ,x0(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.D.因为limf(x)=lim

ex1

1f(0)，故f(x)在x0处连续；x0

x0 xf(x)f(0)

ex11x

ex1x 1 1因为lim =lim

lim

，故f(0) ，正确答案为D.x0

x

x0

x

x0 x2 2 2(2)设函数fx,y可微，且f(x1,ex)x(x1)2，f(x,x2)2x2lnx，则df(1,1)dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy.C.1 fex)exf(xex)(x1)22x(x1) 1 1 f(x,x2)2xf(x,x2)4xlnx2x 1 x0 x1分别将y0，y1带入①②式有 f1(1,1)f2(1,1)1，f1(1,1)2f2(1,1)201dfdyC.f(x)

sinxx03次泰勒多项式为axbx2cx3，则1x2(A)a1,b0,c7. (B)a1,b0,c7.6(C)a1,bc7. 6

6a1,b1,c7.6A.根据麦克劳林公式有sinx

x3 3 2 3

73 3f(x)1x2x6o(x)[1x

o(x)]x 6

o(x) 故a1,b0,c7，本题选A.60设函数fx在区间,上连续，则1fxdx0n 2k11 n 2k11limf . (B)limf .nk1

2n

2n

nk1

2nn2n k11 2n k2(C)limf . (D)limf .nk1B.

2nn

x0k1

2nn0,1

分成n份，取中间点的函数值，则1 n 2k110f(x)dximf 2nn,nk1 f(xxx(xx)2xx)2xx)2的正惯性指数与负惯性指数依次为1 2 3 1 2 2 3 3 1(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. 2.B.f(xxx(xx)2xx)2xx)22x22xx2xx2xx1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 12 23 130 1 1 所以A1 2 1 1 1 0 |A|1 1 1

11(1)(3)令上式等于零，故特征值为13011.B.1

1

3(6)已知0，2，1，记，k，ll，1 11

2 11

3 22

1 1 2 2

若1，2，3两两正交，则1，l2依次为51, .22

51 , 22

5,1.2 2

5,1.2 2A.利用斯密特正交化方法知

02,1]2，02 11,1] 02 13,1]3,2]，3 3 [,]1 ,]2故l1

3,1]5，l21,1] 22

1 1 2 23,2]1，故选A.2,2] 2Bn阶实矩阵，下列不成立的是A O A AB (A)rO ATAA (B)rO AT A BA A O rO AATA C.

rBA ATAA O T (A)rO ATAr(A)r(AA)(A).故A AB的列向量可由A的列线性表示，故rA ABrA Or(A)r(AT)(A).O AT 0 AT BAA的列线性表示.BA的行向量可由A的行线性表示，rA BArA Or(A)r(AT)(A).O AT 0 ATC.

AB为随机事件，且0P(B1，下列命题中不成立的是PA|B)PAPA|B)PA.PA|B)PAPA|B)PA)PA|B)PA|BPA|BP.PA|AB)PA|AB)PAP(B.D. P(A(A P(A|AB)P(AB)

P(A)P(A)P(B)P(AB)P(A|AB)P(A(AB）P(AB)

P(AB)P(AB)

P(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)因为P(A|AB)P(A|AB)，固有P(A)P(B)P(AB)，故正确答案为D.11 2 (9X,Y11 2

,Y,,X

,Y为来自总体N,22;的简单随机样本，令n 1 2 1 1n 1n n 1 2 1 12,XnXi,YniXY,则i1

i1

22n(A)ˆ无估，Dˆ1 2nˆ ˆ ˆ ˆ 1 不是Dnˆ ˆ 1 2 1ˆ ˆ 1 2 1Dnˆ ˆ 1 2 1ˆ ˆ 1 2 1不是DnC.X,YX与YXY也服从二维正态Eˆ)E(XY)E(X)EY)12， 22D(ˆDXYDXD(YcovX,Y1 2 12C.n(10)设X1,X2,X16是来自总体N,4的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0:10,H1:10.

x表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为WX，116其中X Xi，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为16i116(A)10.5 (B)1(C)11.5B.P{X

(D)12XN1)，4P{X11}PX11.51111.51(1) 1 1 B.

2 2 二、填空题（6530分.请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)040

dx x22x2dx x22x2

. dx0(x1)21

arctan(x

0 02 4 4x2ett1,x0

d2y(12)设函数yy(x)由参数方程y4(t1)ett2,x0确定,则dx2t0.2 .3dy

4tet2t

d2y

(4et4tet2)(2et1)(4tet2t)2et由 dx

2et1

，得 dx2

，(2et1)3将t0带入得

d2yd2ydx2

2.3(13)欧拉方程x2yxy4y0满足条件2得解为y.x2.令xet

xy

,x2y

d2y dy ，原方程化为

d2

4y0，特征方程为dt dx2 dx dx2240，特征根为,2，通解为yCe2tCe2tCx2Cx2，将初始条件y(1)1,y(1)2带入得C1,C0，故满足初始条件的解为yx2.1 2(14)(xyz)x24y240z2x2dydzy2dzdx.4.

2(2x2y)dV0dzddy.2 DAaij3阶矩阵，A的每行元素之和均为2= .3

A3，2

.1 1

A1AA121,A,2,1,则A*的特征值为

，对应的特征向量为1

1 1 A

11A31

1

1A1,

而A A

,A*1AA

A

1，即

1

A A A

1 A

A 1 3A11A21A312.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球先从甲盒中任取一球观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数 .1 .5

(0,0) 0)

0 1

0 1联合分布率X,Y

3 1 1

,X1 1Y1 1

2 2

2 2cov(X,Y)

1，DX1,DY1,即 1.20 4

XY 5三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分10分)求极限lim

xet2dt 10 .1x0

ex1 sinx 1 .21

xet2dt 101

sinx1

xet2dt0lim

limx0

ex1 sinx

(ex1)sinx 又因为xet2dtx1t2ot2dtx1x3o(x3)0 0 3(x1x3o(x3）(1x1x3o(x3）x1x2o(x2)原式=lim 3! 3! 2 x0 x21x2o(x2)=lim2 1.x0 x2 2(18)(本题满分12分)nx 1

n1设un(x)en(n1)

(n,,)，求级数un(x).n1ex

S(x)1ex

x)x) x,x

(0,1).e ,x1

e1

nx

exS(x)u(x)enx

n(n

xn1,收敛域(0,1],S(x)e

1e

,x(0,1]nn1n

n1

n1S(x)

1 n1

xn1

xn1

xln(1x)[ln(1x)x]2n1

n(n

n1

n n1n1x x)x)x S2(1)limS2(x)1x1

x(0,1)ex

S(x)1ex

x)x) x,

(0,1)e ,x1e1(19)(本题满分12分)x22y2z6已知曲线C:4x2yz30，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.66设拉格朗日函数Lx,y,z,,z2x22y2z6(4x2yz30)xz0y402zu0x22y2z64x2yz30xz解得驻点：(4,1,12),(8,2,66)C上的点(8,2,66)到xoy面距离最大为66.(20)(本题满分12分)DR2I(D)I的值.

(4x2y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D.1D1

(xex24y2y)dx(4yex24y2x)dyx24y2

，其中D1是D1的正向边界.（1）I(D(4x2y2)d，当且仅当4x2y2D上D2 2大于0时，I达到最大，故D：x2y24且I(D)= (4r)rdr.1 1 0 0(22:x4yr（r很小D22 2 22

(ex24y2y)dx(4ex24y2x)dy=x24y2

(xex24y2y)dx(4yex24y2x)dyx24y2

(xex24y2y)dx(4yex24y2x)dyx24y21er2r2

xdx4ydy

1er2r2

ydxxdy

1 2d.r2Dr2(21)(本题满分12分)aA1

1 1a 1. 1 1 a P,PTAP为对角矩阵；求正定矩阵C,使得C2a3)E 1 1 1 32 632

5 1 3 11 (1)

P 1 1 1 ；(2)C1

5 1.326 326

3 3 1 0 2

1

1 536 36

3 3a 1 1(1)由A 1

a

1 aa2)01 11a,23a11a2时

a2 1 11 0 1 1((a2)E1 2 11 1的特征向量为1， 1 1 2 当23a1所

1 1 1 1

1 11

1

1 1((a1)E1 1 10 0的特征向量为11， 2 3 1 1

10 0 0

0 2 326 1 1 1326

1 1 1

a2 令P 1, 2, 3 ，则PTAP a1 ，326 326 1 2

a11 0