控制系统的数学模型课件

欢迎各位来到《自动控制原理》课堂！欢迎各位第二章控制系统的数学模型2.1绪言

2.2线性元件的微分方程及求解2.3控制系统复域数学模型2.4典型环节及其传递函数2.5控制系统的方块图2.6信号流图与梅逊公式本章小结、重点和习题第二章控制系统的数学模型2.1绪言2.1绪言１．本章主要内容

本章主要讨论系统微分方程、传递函数和结构图，信号流图、梅逊公式及其应用。２．数学模型：是描述系统变量之间关系的数学表达式数学模型微分方程传递函数方框图和信号流图状态空间模型图2-12.1绪言１．本章主要内容２．数学模型：是描述系统3．物理模型：任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。4．数学建模：从实际系统中抽象出系统数学模型的过程5.建立控制系统数学模型的方法有

：a.机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。b.实验辩识法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。3．物理模型：任何元件或系统实际上都是很复杂的，难实验法：基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近黑匣子输入（已知）输出（已知）图2-2实验法：基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的黑匣子输入（分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。2.2线性元件的微分方程及其求解一．微分方程：是一种输入----输出描述，给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统的输出.（1）确定系统的输入量和输出量（2）将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。（3）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。二．列写线性系统微分方程的主要步骤2.2线性元件的微分方程及其求解一．微分方程：是一种输入三．举例说明线性元件微分方程的建立例2-1:图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。U1R1R2U2C1C2图2-3RC组成的四端网络

解：设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程组如下：

(5)(4)(3)(2)(1)三．举例说明线性元件微分方程的建立例2-1:图2-1为由由②导出：

将i1、i2代入①、③，则得

由④、⑤得：(5)(4)(2)(3)(1)由②导出：将i1、i2代入①、③，则得由④、⑤得：(5)(4这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。例2-2试证明图2-4示(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。图2-4电机相似系统

B1B2K1K2XrXc

（a）系机械统R2C2R1C1UrUc

(b)气电系统例2-2试证明图2-4示(a)、(b)所示的机、电系统是

解：对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式

B1B2K1K2XrXc

（a）系机械统解：B1B2K1K2XrXc（a）系机械统对电气网络(b)，列写电路方程如下：②

③

④1

R2C2R1C1UrUc

(b)气电系统对电气网络(b)，列写电路方程如下：②③利用②、③、④求出

代入①将①两边微分得利用②、③、④求出力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统......因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。1/C21/C1电阻R2电阻R1电气弹性系数K2弹性系数K1阻尼B2阻尼B1机械图2-5力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故四线性微分方程的求解2.数学工具－拉普拉斯变换与反变换(.1.经典解法:ω(t)=ωp(t)+ωh(t)

特解

通解还可分为ω(t)=ω∞(t)+ωt(t)

稳态解暂态解a2[s2(s)–sω(0)-]+a1[s(s)–ω(0)]+a0(s)=b1[sUg(s)–ug(0)]+b0Ug(s)整理，

得(s)=1(s)+2(s)

=Ug(s)+∴

ω(t)=ω1(t)+ω2(t)零状态解零输入解（自由响应）四线性微分方程的求解2.数学工具－拉普拉斯变换与反变换(1。求解所用数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)分段连续则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作：⑵拉氏变换基本定理线性定理

位移定理延迟定理终值定理1。求解所用数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设初值定理微分定理积分定理⑶拉氏反变换：F(s)化成下列因式分解形式：a．F(s)中具有不同的极点时，可展开为初值定理微分定理积分定理⑶拉氏反变换：F(s)化成下列因式

c.F(s)含有多重极点时，可展开为其余各极点的留数确定方法与上同。b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为c.F(s)含有多重极点时，可展开为其余各极点的留2.3控制系统的复域数学模型一．传递函数１．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。系统微分方程的一般形式为：设R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)],当初始条件均为0时,有

(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

即传递函数:

2.3控制系统的复域数学模型一．传递函数１．定义：线性（５）与微分方程的区别及联系微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。二．几点结论：

（1）传递函数是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的（2）如果已知系统的传递函数和输入信号,则可根据式（2-36）求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C（S）,再求C（S）的拉氏反变换可得到系统的响应c(t)。所以传递函数和微分方程、传递函数与时域响应之间都具有密切联系

（3）传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式

（4）同一系统的输出对不同的输入量有不同的传递函数，但特征多项式相同

（５）与微分方程的区别及联系二．几点结论：（1）传递函数是--》机械系统传递函数例2-5

求例2-2机械系统与电路系统的传递函数

和解：--》电系统的传递函数--》机械系统传递函数例2-5求例2-2机械系统与电路系性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。三．传递函数的几点性质性质2G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。性质4如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质5如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述。性质6传递函数与微分方程之间有关系。性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。例2-6在例2-1中，设当输入为单位阶跃函数,即时,求输出解：根据例1得到的微分方程。性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

控制系统的数学模型课件四．传递函数的极点和零点对输出的影响

极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。为传递函数的零点为传递函数的极点四．传递函数的极点和零点对输出的影响极点是微分方零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大2.4典型环节及其传递函数

由微分方程直接得出的传递函数是复变量s的有理分式。对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次n不低于分子多项式的阶次m，分母多项式阶次为n的传递函数称为n阶传递函数，相应的系统称为n阶系统

。传递函数可表示成复变量s的有理分式:传递函数可表示成零、极点表示：2.4典型环节及其传递函数由微分方程直接

系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为：可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的(js+1)、1/(Tis+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。

系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极1.比例环节比例环节又称放大环节，其输出与输入成比例关系K：比例系数或放大系数，增益其传递函数：1.比例环节比例环节又称放大环节，其输出与输入成比例关系2．惯性环节

惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述：式中T——惯性环节的时间常数K——比例系数。2．惯性环节惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量3．积分环节输出量与输入量的积分成比例，系数为K。积分环节的传递函数为：积分环节的动态方程为：积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为：C（t）=Kt上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。3．积分环节输出量与输入量的积分成比例，系数为K。积分环节的4．振荡环节

振荡环节的微分方程是：相应的传递函数为：

式中T——时间常数；——阻尼系数（阻尼比），且0＜＜1。振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点,在复平面S上的位置见右图所示,传递函数可改写为：n=1/T——无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：4．振荡环节振荡环节的微分方程是：相应的传递函数为：式中5．微分环节

微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为：相应的传递函数为：

5．微分环节微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分6．延迟环节延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输出是一个延迟时间后，完全复现输入信号，即：式中——纯延迟时间。单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示．根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数为：6．延迟环节延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输一．方框图的基本概念１．控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。2.5控制系统的方块图一．方框图的基本概念１．控制系统的方块图是系统各元件特性、前述几种典型环节的方框图如下图所示：前述几种典型环节的方框图如下图所示：（1）方块（BlockDiagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。G(s)R(s)C(s)

图2-12方块图中的方块信号线方块r(t)c(t)二．方块图元素（1）方块（BlockDiagram）:表示输入到输出单向（2）比较点（合成点、综合点）SummingPoint两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。+Υ1Υ1+Υ2Υ2+-)()(21sRsR-)(1sR)(2sRΥ1Υ1-Υ2+Υ3Υ2-Υ3注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。图2-13（2）比较点（合成点、综合点）SummingPoint+Υ(3)分支点（引出点、测量点）BranchPoint表示信号测量或引出的位置(4)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。(3)分支点（引出点、测量点）BranchPoint(4)(1)前向通道传递函数--假设N(s)=0,打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比(2)反馈回路传递函数假设N(s)=0,主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打开反馈)(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图三．几个基本概念及术语(1)前向通道传递函数--假设N(s)=0,打开反馈后，输(3)开环传递函数Open-loopTransferFunction假设N(s)=0

主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图(3)开环传递函数Open-loopTransferF(4)闭环传递函数Closed-loopTransferFunction假设N(s)=0输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。推导：因为

右边移过来整理得

即

请记住(4)闭环传递函数Closed-loopTransfer(5)误差传递函数假设N(s)=0误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：将**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图(5)误差传递函数假设N(s)=0代入上式，消去G(s)即-N(s)C(s)H(s))(2sG)(1sG图2-16输出对扰动的结构利用公式**，直接可得：(6)输出对扰动的传递函数假设R(s)=0**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图-N(s)C(s)H(s))(2sG)(1sG图2-16输（7）误差对扰动的传递函数假设R(s)=0

H(s)N(s)E(s)＋)(1sG)(2sG-1图2-17误差对扰动的结构图

利用公式**，直接可得：**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图（7）误差对扰动的传递函数假设R(s)=0H(s)N(线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ(Ｓ)与扰动Ｎ(Ｓ)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ(Ｓ)与扰动Ｎ(Ｓ)注（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。系统方块图-也是系统数学模型的一种。

四．方块图的绘制（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，RCi（a）iuou图2-18一阶RC网络

解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：对其进行零初始条件下的拉氏变换得：

例１：画出下列RC电路的方块图。RCi（a）iuou图2-18一阶RC网络解：由图2将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。（b）I(s))(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo图2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi图2-20将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为例２：画出下列R-C网络的方块图

分析：由图2-21清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压产生影响，这就是负载效应。例２：画出下列R-C网络的方块图分析：由图2-21清楚地看解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。例２解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接控制系统的数学模型课件如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小

方框图的等效变换相当于在方框图上进行数学方程的运算。常用的方框图等效变换方法可归纳为两类。环节的合并;信号分支点或相加点的等效移动。方框图变换必须遵循的原则是：变换前、后的数学关系保持不变，因此方框图变换是一种等效变换，同时由于传递函数和变量的方程是代数方程，所以方框图变换是一些简单的代数运算。（－）环节的合并环节之间互相连接有三种基本形式：串联、并联和反馈连接。五.方框图的等效变换方框图的等效变换相当于在方框图上进行数学方1．环节的串联特点:前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号，下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时1．环节的串联特点:前一个环节的输出信号上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。2.环节的并联环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减），下图所示为三个环节的并联，图中含有信号相加点。从图中可见:等效传递函数为：2.环节的并联环节并联的特点是各环节的输入以上结论可推广到一般情况，当有n个环节并联时，其输出信号相加则有等效传递函数以上结论可推广到一般情况，当有n个环节并联时，3．反馈连接将系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与原输入信号进行比较后再作为输入信号，即为反馈连接，如下图所示。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。3．反馈连接将系统或环节的输出信号反馈到输入端上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。

（二）信号相加点和信号分支点的等效变换对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基信号相加点的移动分两种情况：前移和后移。有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

信号相加点的移动分两种情况：前移和后移。控制系统的数学模型课件信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。

此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置。但必须注意，相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。

此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。例：求传递函数分支点A后移，比较点B前移。---CB①②A（c）方块图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC比较点1和2交换。例：求传递函数分支点A后移，比较点B前移。---CB①②A（控制系统的数学模型课件例：用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)。解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。

例：用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s控制系统的数学模型课件2.6信号流图与梅逊公式

信号流图和方框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型。

框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。－）基本概念信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法。例如：一.信号流图及其等效变换2.6信号流图与梅逊公式信号流图和方框图类似，信号流图中，用小圆圈“O”表示变量，并称其为节点。节点之间用加权的有向线段连接，称为支路。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，因此支路的权又称为传输或者增益。信号流图中，用小圆圈“O”表示变量，并称其为（二）常用术语；信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。（1）出支路：离开节点的支路。（2）入支路：进入节点的支路。（3）源节点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输人，因此也称为输入节点。（4）汇节点(阱，坑)

：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。（5）混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。（二）常用术语；信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术（6）通道：又称为路径，是指从一个节点出发，沿着支路的箭号方向相继经过多个节点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。（7）开通道：如果通道从某个节点出发，终止于另一个节点上，并且通道中每个节点只经过一次，则称这样的通道为开通道。（6）通道：又称为路径，是指从一个节点出发，沿着支路的箭号方（8）闭通道：如果通道的终点就是通道的起始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为闭通道或回路、回环等。如果一个通道从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点，则称这样的通道为自回环。（9）前向通道：从源节点出发到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道称为前向通道。前向通道可以有多个。（8）闭通道：如果通道的终点就是通道的起始点，并且通道中每个（10）互不接触回环：如果一些回路没有任何公共节点和回路，就称它们为互不接触回环。（11）通道传输：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。

（12）回环传输：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘积。

（10）互不接触回环：如果一些回路没有任何公共节点和回路，就（三）信号流图的基本性质

（1）用节点表示变量，源节点代表输入量，汇节点代表输出量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，所有出支路的信号（即混合节点对应的变量）等于各支路引入信号的代数和。

（2）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。

（3）增加一个具有单位传输的支路，可把混合节点为汇节点。

（4）对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。（四）信号流图的绘制①用小圆圈表示各变量对应的节点（三）信号流图的基本性质（1）用节点表示②在比较点之后的引出点，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。③在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的e1，e2。

②在比较点之后的引出点，只需在比较点后设置一个节点便可。也即（五）信号流图的简化

（l）串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。（2）并联支路的总传输等于各支路传输之和。（3）混合节点可以用移动支路的方法消去。（4）回环可以用方框图中反馈连接的规则化为等效支路。

（五）信号流图的简化下表列出了信号流图的等效变换规则:下表列出了信号流图的等效变换规则:例题试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。

解（a）所示的方框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：方框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图2-31表示了信号流图的简化过程。例题试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系求出系统的闭环传递函数（总传输）为:

求出系统的闭环传递函数（总传输）为:二、梅逊公式及其应用－Mason’sGainFormula式中G(s)为从源节点到汇节点之间的总传输，n为从源节点到汇节点之间前向通道的总数，Pk为第K条前向通道的传输。为信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数行列式,k为第K条前向通道的信号流图特征式的余子式，即从中除去与第K条前向通道相接触的回环后余下的部分。的计算公式为：

式中L1——信号流图中所有不同回环的传输之和；

L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和；

L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和；……………

Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和；信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式，即梅逊公式为：二、梅逊公式及其应用－Mason’sGainFormul利用梅逊公式求系统总传输时,只要求出信号流图中的n、Pk、和K,代入公式计算即可。例题2：试用梅逊公式计算下图系统的总传输。例题2利用梅逊公式求系统总传输时,只要求出信=1-L1=1+G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7三个回环均与前向通道P1接触，所以1=1根据梅逊公式，系统总传输为：解源节点R(s)和汇节点C(s)之间只有一条前向通道n=1。通道传输为：P1=G1G2G3G4三个回环的传输之和为：L1=-G2G3G6-G3G4G5-G1G2G3G7三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：=1-L1=1+G2G3G6+G3G4G5+G1G例题3：试利用梅逊公式求图2-33所示信号流的总传输。

例题3例题3：试利用梅逊公式求图2-33所示信号流的总传输。例题L3=abefij

=1-L1+L2-L3

第一条前向通道与所有回环均有接触，所以1=1第二条前向通道与回环cd不接触，所以2=1-cd解

首先确定信号流图中由源节点到汇节点间的前向通道数,从图中可知n=2,第一条前向通道的传输为P1=acegi。第二条前向通道的传输为P2=kgi。

L1=ah＋cd＋ef＋gh＋ij＋kfdbL2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij

L3=abefij解首先确定信号流图中由源节点到本章重点：传递函数的建立（求取）方框图的化简用信号流图求总传输本章重点：Matlab中控制系统模型的建立•Transferfunctions(TF),forexample,1)num=[1,2];den=[1,1,10];G=tf(num,den)Org=tf([1,2],[1,1,10])Matlab中控制系统模型的建立•Transferfun2)num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));G=tf(num,den)2)•Zero-pole-gain(ZPK)models,forexample,>>z=[0-6-5]'>>p=[-1,-2,-3+4*j,-3-4*j]'>>k=1Sys2=zpk(z,p,k)•Zero-pole-gain(ZPK)models,ConvertingBetweenModeRepresentationstf2zp：transferfunctionmodeltoZero-pole-gain(ZPK)modelszp2tf：Zero-pole-gain(ZPK)modelstotransferfunctionmodelz=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;》[num,den]=zp2tf(z,p,k)》num=00618den=181710printsys(num,den,'s')ConvertingBetweenModeRepres控制系统的数学模型课件ConvertbetweenpartialfractionexpansionandtransferfunctionsResidue考虑下列传递函数将求出多项式B(S)和A(S)之比的部分分式展开式中的留数、极点和余项。B(S)/A(S)的部分分式展开式由下式给出：Convertbetweenpartialfracti控制系统的数学模型课件利用留数命令，由部分分式展开式构成其多项式（分子和分母）：可以将部分分式展开式返回到多项式之比B(S)/A(S)，即得到：利用留数命令，由部分分式展开式构成其多项式（分子和分母）：有重极点的情况：有重极点的情况：InterconnectingLinearModels1.Parallel----Parallelinterconnectionoftwomodels[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)2.Series----seriesinterconnectionoftwomodels[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)3.Feedback---Feedbackconnectionoftwomodels[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)InterconnectingLinearModelsR(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)AddingDelaystoModelsYoucanaddtimedelaystomodelsbyspecifyinganinputoroutputdelaywhenbuildingamodel.Forexample,sys_tfdelay=tf(1.5,[11440.02],'inputdelay',0.05)Transferfunction:1.5exp(-0.05*s)*----------------------s^2+14s+40.02AddingDelaystoModelsModelCharacteristics

TheControlSystemToolboxcontainscommandstoquerymodelcharacteristicssuchastheI/Odimensions,poles,zeros.Thesecommandsapplytobothcontinuous-anddiscrete-timemodel.size(model_name)---Numberofinputsandoutputsisct(model_name)---Returns1forcontinuoussystemsisdt(model_name)---Returns1fordiscretesystemshasdelay(model_name)---Trueifsystemhasdelayspole(model_name)---Systempoleszero(model_name)---System(transmission)zerosModelCharacteristics欢迎各位来到《自动控制原理》课堂！欢迎各位第二章控制系统的数学模型2.1绪言

2.2线性元件的微分方程及求解2.3控制系统复域数学模型2.4典型环节及其传递函数2.5控制系统的方块图2.6信号流图与梅逊公式本章小结、重点和习题第二章控制系统的数学模型2.1绪言2.1绪言１．本章主要内容

本章主要讨论系统微分方程、传递函数和结构图，信号流图、梅逊公式及其应用。２．数学模型：是描述系统变量之间关系的数学表达式数学模型微分方程传递函数方框图和信号流图状态空间模型图2-12.1绪言１．本章主要内容２．数学模型：是描述系统3．物理模型：任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。4．数学建模：从实际系统中抽象出系统数学模型的过程5.建立控制系统数学模型的方法有

：a.机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。b.实验辩识法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。3．物理模型：任何元件或系统实际上都是很复杂的，难实验法：基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近黑匣子输入（已知）输出（已知）图2-2实验法：基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的黑匣子输入（分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。2.2线性元件的微分方程及其求解一．微分方程：是一种输入----输出描述，给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统的输出.（1）确定系统的输入量和输出量（2）将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。（3）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。二．列写线性系统微分方程的主要步骤2.2线性元件的微分方程及其求解一．微分方程：是一种输入三．举例说明线性元件微分方程的建立例2-1:图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。U1R1R2U2C1C2图2-3RC组成的四端网络

解：设回路电流i1、i2，根据基尔霍夫定律，列写方程组如下：

(5)(4)(3)(2)(1)三．举例说明线性元件微分方程的建立例2-1:图2-1为由由②导出：

将i1、i2代入①、③，则得

由④、⑤得：(5)(4)(2)(3)(1)由②导出：将i1、i2代入①、③，则得由④、⑤得：(5)(4这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。例2-2试证明图2-4示(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。图2-4电机相似系统

B1B2K1K2XrXc

（a）系机械统R2C2R1C1UrUc

(b)气电系统例2-2试证明图2-4示(a)、(b)所示的机、电系统是

解：对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式

B1B2K1K2XrXc

（a）系机械统解：B1B2K1K2XrXc（a）系机械统对电气网络(b)，列写电路方程如下：②

③

④1

R2C2R1C1UrUc

(b)气电系统对电气网络(b)，列写电路方程如下：②③利用②、③、④求出

代入①将①两边微分得利用②、③、④求出力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统......因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。1/C21/C1电阻R2电阻R1电气弹性系数K2弹性系数K1阻尼B2阻尼B1机械图2-5力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故四线性微分方程的求解2.数学工具－拉普拉斯变换与反变换(.1.经典解法:ω(t)=ωp(t)+ωh(t)

特解

通解还可分为ω(t)=ω∞(t)+ωt(t)

稳态解暂态解a2[s2(s)–sω(0)-]+a1[s(s)–ω(0)]+a0(s)=b1[sUg(s)–ug(0)]+b0Ug(s)整理，

得(s)=1(s)+2(s)

=Ug(s)+∴

ω(t)=ω1(t)+ω2(t)零状态解零输入解（自由响应）四线性微分方程的求解2.数学工具－拉普拉斯变换与反变换(1。求解所用数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)分段连续则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作：⑵拉氏变换基本定理线性定理

位移定理延迟定理终值定理1。求解所用数学工具－拉普拉斯变换与反变换⑴拉氏变换定义设初值定理微分定理积分定理⑶拉氏反变换：F(s)化成下列因式分解形式：a．F(s)中具有不同的极点时，可展开为初值定理微分定理积分定理⑶拉氏反变换：F(s)化成下列因式

c.F(s)含有多重极点时，可展开为其余各极点的留数确定方法与上同。b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为c.F(s)含有多重极点时，可展开为其余各极点的留2.3控制系统的复域数学模型一．传递函数１．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。系统微分方程的一般形式为：设R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)],当初始条件均为0时,有

(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

即传递函数:

2.3控制系统的复域数学模型一．传递函数１．定义：线性（５）与微分方程的区别及联系微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。二．几点结论：

（1）传递函数是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的（2）如果已知系统的传递函数和输入信号,则可根据式（2-36）求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C（S）,再求C（S）的拉氏反变换可得到系统的响应c(t)。所以传递函数和微分方程、传递函数与时域响应之间都具有密切联系

（3）传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式

（4）同一系统的输出对不同的输入量有不同的传递函数，但特征多项式相同

（５）与微分方程的区别及联系二．几点结论：（1）传递函数是--》机械系统传递函数例2-5

求例2-2机械系统与电路系统的传递函数

和解：--》电系统的传递函数--》机械系统传递函数例2-5求例2-2机械系统与电路系性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。三．传递函数的几点性质性质2G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。性质4如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质5如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述。性质6传递函数与微分方程之间有关系。性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。例2-6在例2-1中，设当输入为单位阶跃函数,即时,求输出解：根据例1得到的微分方程。性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

控制系统的数学模型课件四．传递函数的极点和零点对输出的影响

极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。为传递函数的零点为传递函数的极点四．传递函数的极点和零点对输出的影响极点是微分方零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大2.4典型环节及其传递函数

由微分方程直接得出的传递函数是复变量s的有理分式。对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次n不低于分子多项式的阶次m，分母多项式阶次为n的传递函数称为n阶传递函数，相应的系统称为n阶系统

。传递函数可表示成复变量s的有理分式:传递函数可表示成零、极点表示：2.4典型环节及其传递函数由微分方程直接

系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为：可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的(js+1)、1/(Tis+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。

系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极1.比例环节比例环节又称放大环节，其输出与输入成比例关系K：比例系数或放大系数，增益其传递函数：1.比例环节比例环节又称放大环节，其输出与输入成比例关系2．惯性环节

惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述：式中T——惯性环节的时间常数K——比例系数。2．惯性环节惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量3．积分环节输出量与输入量的积分成比例，系数为K。积分环节的传递函数为：积分环节的动态方程为：积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为：C（t）=Kt上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。3．积分环节输出量与输入量的积分成比例，系数为K。积分环节的4．振荡环节

振荡环节的微分方程是：相应的传递函数为：

式中T——时间常数；——阻尼系数（阻尼比），且0＜＜1。振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点,在复平面S上的位置见右图所示,传递函数可改写为：n=1/T——无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为：4．振荡环节振荡环节的微分方程是：相应的传递函数为：式中5．微分环节

微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为：相应的传递函数为：

5．微分环节微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分6．延迟环节延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输出是一个延迟时间后，完全复现输入信号，即：式中——纯延迟时间。单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示．根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数为：6．延迟环节延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。延迟环节的输一．方框图的基本概念１．控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。2.5控制系统的方块图一．方框图的基本概念１．控制系统的方块图是系统各元件特性、前述几种典型环节的方框图如下图所示：前述几种典型环节的方框图如下图所示：（1）方块（BlockDiagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。G(s)R(s)C(s)

图2-12方块图中的方块信号线方块r(t)c(t)二．方块图元素（1）方块（BlockDiagram）:表示输入到输出单向（2）比较点（合成点、综合点）SummingPoint两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。+Υ1Υ1+Υ2Υ2+-)()(21sRsR-)(1sR)(2sRΥ1Υ1-Υ2+Υ3Υ2-Υ3注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。图2-13（2）比较点（合成点、综合点）SummingPoint+Υ(3)分支点（引出点、测量点）BranchPoint表示信号测量或引出的位置(4)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。(3)分支点（引出点、测量点）BranchPoint(4)(1)前向通道传递函数--假设N(s)=0,打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比(2)反馈回路传递函数假设N(s)=0,主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打开反馈)(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图三．几个基本概念及术语(1)前向通道传递函数--假设N(s)=0,打开反馈后，输(3)开环传递函数Open-loopTransferFunction假设N(s)=0

主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图(3)开环传递函数Open-loopTransferF(4)闭环传递函数Closed-loopTransferFunction假设N(s)=0输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。推导：因为

右边移过来整理得

即

请记住(4)闭环传递函数Closed-loopTransfer(5)误差传递函数假设N(s)=0误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：将**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图(5)误差传递函数假设N(s)=0代入上式，消去G(s)即-N(s)C(s)H(s))(2sG)(1sG图2-16输出对扰动的结构利用公式**，直接可得：(6)输出对扰动的传递函数假设R(s)=0**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图-N(s)C(s)H(s))(2sG)(1sG图2-16输（7）误差对扰动的传递函数假设R(s)=0

H(s)N(s)E(s)＋)(1sG)(2sG-1图2-17误差对扰动的结构图

利用公式**，直接可得：**++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)图2-15反馈控制系统方块图（7）误差对扰动的传递函数假设R(s)=0H(s)N(线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ(Ｓ)与扰动Ｎ(Ｓ)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ(Ｓ)与扰动Ｎ(Ｓ)注（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。系统方块图-也是系统数学模型的一种。

四．方块图的绘制（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，RCi（a）iuou图2-18一阶RC网络

解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：对其进行零初始条件下的拉氏变换得：

例１：画出下列RC电路的方块图。RCi（a）iuou图2-18一阶RC网络解：由图2将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。（b）I(s))(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo图2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi图2-20将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为例２：画出下列R-C网络的方块图

分析：由图2-21清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压产生影响，这就是负载效应。例２：画出下列R-C网络的方块图分析：由图2-21清楚地看解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。例２解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接控制系统的数学模型课件如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小

方框图的等效变换相当于在方框图上进行数学方程的运算。常用的方框图等效变换方法可归纳为两类。环节的合并;信号分支点或相加点的等效移动。方框图变换必须遵循的原则是：变换前、后的数学关系保持不变，因此方框图变换是一种等效变换，同时由于传递函数和变量的方程是代数方程，所以方框图变换是一些简单的代数运算。（－）环节的合并环节之间互相连接有三种基本形式：串联、并联和反馈连接。五.方框图的等效变换方框图的等效变换相当于在方框图上进行数学方1．环节的串联特点:前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号，下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时1．环节的串联特点:前一个环节的输出信号上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。2.环节的并联环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减），下图所示为三个环节的并联，图中含有信号相加点。从图中可见:等效传递函数为：2.环节的并联环节并联的特点是各环节的输入以上结论可推广到一般情况，当有n个环节并联时，其输出信号相加则有等效传递函数以上结论可推广到一般情况，当有n个环节并联时，3．反馈连接将系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与原输入信号进行比较后再作为输入信号，即为反馈连接，如下图所示。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。3．反馈连接将系统或环节的输出信号反馈到输入端上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。

（二）信号相加点和信号分支点的等效变换对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基信号相加点的移动分两种情况：前移和后移。有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

信号相加点的移动分两种情况：前移和后移。控制系统的数学模型课件信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。

此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置。但必须注意，相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。

此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方