高中数学空间向量及其运算题库

空间向量其运算空间向量线性运算学习目标

了解空向量量的模向量反向量相等向量线量等的概会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合掌握数乘向量运算的意义及运算律．知识点一空间向量的概念．空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a起点是，终点是，→→则向量可记AB，其模记为或|.．类特殊的空间向量名称零向量单位向量相反向量相等向量共线向量或平行向量

定义及表示起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0模为的向量称为单位向量与向量度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为－方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量有向线段所在的直线叫做向量的基线．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量知识点二空间向量的加减运算运算律．似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．→→→OB＋＝a＋b→→→＝－OCab．间向量加法交换律＋b＋a，空间向量加法结合律＋)＝a＋(b＋)．知识点三数乘向量运算．数与向量的积与平面向量一样实与间向量乘积λ然是一个向量称为向量的数乘运算记作λ，其长度和方向定如下：λ＝λ|.当λ时λ与向量a方向相同；当λ时与向量向相反；当＝，a.．间向量数乘运算满足以下运算律(μ)＝(λ)a；(ab)＝aλb．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同(√

)．向量没有方向．×

)．两个有公共终点的向量，一定是共线向量(×)．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方(×)题型一空间向量的概念理解例下关于空间向量的说法中正确的()A空间向量不满足加法结合律．若a＝，ab的长度相等而方向相同或相反→→→→→→．若向，CD足AB＞CD，B＞．相等向量其方向必相同考点空向量的相关概念及其示方法题点相、相反向量答案D解析A中，间向量满足加法结合律B中|＝b只说明，的长度相等而方向不确定；C中向量作为矢量不能比较大小，故选D.给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；→→②在正方体ABCD－AD中，必A＝C；1111③若空间向量m，n，满m，＝，则m＝.中不正确的个数是)A0B1C2D．3答案B解析两空间向量相等，它们起点、终点不一定相同，①不正确；在正方体ABCD－→→AD中必A＝C成立，正确；显然正确．故选B.111反思感悟在间中向量向的模相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．→→→跟踪训练1(1)在行六面体-ACD中下列四对向量：①与CD；AC与111→→→→→BD；与；④AD与B其中互为相反向量的有n对则于)11A1C．

B2D．答案B→→→→→→解析对①与DAD与长度相等方向相反互为相反向量于与BD11111→→长度相等，方向不相反；对于④与B长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．11如图，在长方体ABCD′B′′′，＝3＝2AA′＝，则分别以长方的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为5所有向量．→试写出与向量相等的所有向量．→试写出向量A′的所有相反向量．解

→→→→①于长方体的高为1所以长方体的四条高所对应的向AA，A′ABB′，′，→→→→CC′C′DDD′，共8向量都是单位向量，而其他向量的模均不1，故单位向量共有8个→→→②由于长方体的左右两侧面的对线长均为5故模为5的量D′，′A，′D，→→→→→′BC，′B，′，′→→→→③与向量AB相等的所有向量(除它自身之)有A′B′，及′C′→→→→→④向量AA′的相反向量有′A，B′B，′CD′D.题型二空间向量的加减运算例2如，已知长方-A′B′′D，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．→→AA′－CB→→→AA′＋＋B′′解

→→→→→→→(1)AA′－＝AA－＝′＝′→→→→→→→→→AA′＋＋B′′(′＋AB＋B′′′B′C′AC′→→向量AD′，AC′如图所示．引申探究→→→→利用本例题图，化简′A′B′′′CA解

结合加法运算→→→→→→→→′′′′AB＋B′′AC，′C′A＝0.→→→→故AA＋A′B′′C′＋C′＝.反思感悟空向量加法、减法算的两个技巧巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．巧用平移用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时要意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．→→→→跟踪训练在图所示的平行六面体中，求证＋AB′′＝2AC.证明∵行六面体的六个面均平行四边形，→→→→→→→→→∴＝＋，′AB＋AA′，AD＝＋′→→→∴＋′′→→→→→→＝(AB＋AD)(AB＋′＋(ADAA)→→→＝＋＋′．→→→→又∵′′，＝BC→→→→→→∴AB＋′＝AB＋＋′11→→→＝＋′AC→→→→∴＋′′＝′题三

数向运→→→例如所，在平行六面体ABCD－ABCD中，A＝aAB＝ADcMN111分别是，D的点，试用a，，表以下各向量：11→→→→AP(2)A；(3)MPNC.1解

→→→(1)AP＝ADDP11→→1＝(AA＋AD)＋AB1＝a＋.→→→A＝A＋AN11→→→＝－AA＋AB＋AD12＝－＋＋c→→→→→→→MPNC＝(MA＋D＋)＋(NC＋CC)11111→→1→→→＝＋AB＋AD＋AA2→→→＝＋AD21＝a＋＋2引申探究CP1若把本例中“P是D的点”改为“P在线段CD上且＝”其他条件不变，如11PD21→何表示A？→→→→→→2解AP＝AD＋＝AA＋＋AB＝＋＋11133反思感悟利数乘运算进行向表示的技巧数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3如，在空间四边形中，，分别是对边，BC的点，点在→→→→MN上MG2GN如图所示记OA＝aOB＝b＝用向量ac表示向O.→→→→2→1→→→211解＝OM＋MG＝＋＝OA(＋OC＋CN＝＋[a＋＋(b－)]2321＝a＋＋3对空间向量的有关概念理解不清误典例下说法中，错误的个数()①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；→→→→→→→→②若向BCD足AB＝CD，与D向，则B>CD；→→→→→→③若两个非零向AB，CD满足A＋＝，则AB，CD互为相反向量；→→④ABCD充要条件是与C重，与D重．A1B2C3D．4考点空向量的相关概念及其示方法题点相、相反向量答案解析①误，两个空间向量相，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．②错误，向量的模可以比较大小但向量不能比较大小．→→→→→→③正确，由＋CD0，＝－CD，所以ABCD为相反向量．→→→→→→④错误，＝CD充要条件是AB＝CD，，CD向．但A与C，B与D不定重合．故一共有3个误命题，正答案为C.[素评]掌握空间向量的相关概念是正确解答本的关键．准确把握推理的形式和规则，有利于培养学生的合乎逻辑的思维.．列命题中，假命题()．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同．只有零向量的模等于．空间中任意两个单位向量必相等答案D→．平行六面体ABCD－AD中，与向AD相等的向量共有)111A1个B．2个．3个D答案→→→→解析与AD相等的向量有AD，BC，C共．11．量，互相反向量，已＝3，则下列结论正确的()AabC．与b方相

B＋为数0D．＝答案D解析向a，互相反向量，则ab模相等、方向相反．故D正．→→．知空间四边形，连接，BD设MG分是BCCD的点，MG＋→等于()→→→→DBB．3MGC．GMDMG答案B→→→→→→→→→→→解析MG－＋＝MG(AB－＝－DBMG＋2＝MG．正方体ABCDACD中，已知下列各式：111→→→→→→→→→→→①(AB＋)CC；②(＋A)＋C；(ABBB)＋BC；④＋)＋B中1111111→运算的结果为C的有_______．1答案→→→→解析根空间向量的加法运算及正方体的性质逐一进行判断(＋＋＝AC1→→CC＝AC；11→→→→→→②(AA＋D)＋D＝AD＋＝；111111→→→→→→③(AB＋BB)＋B＝AB＋AC；1111→→→→→→④(AA＋B)B＝AB＋BC＝AC1111111→所以4式子的运算结果都是C.1．一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．．间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．巧用平移利用三角形法则和平四边形法则进行向量加法运算时务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结一、选择题．列命题中为真命题的()→→．向量AB与B的长度相等．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆．空间向量就是空间中的一条有向线段．不相等的两个空间向量的模必不相等考点空向量的相关概念及其示方法题点相、相反向量答案A解析对选项B，其终点构一个球面；对于选项，向量不能用向线段表示；对于选项D，量a与向量b相等，未必它们的模不相等，故选→→→．知空间四边形，连接ACBD则＋＋CD为()→→→A.BDC.ACD．0答案A→→→→→→解析AB＋＋CD＝ACCD＝AD.→→→→3图所示D是间四边形O的的点＝aOCcD为)(＋)cC.(b＋)－a

(c－D．＋(＋c答案→→→解析AD＝＋→1→→＝－OA(OB＋)＝－＋(＋．→→→．正方体ABCDACD中，向量表达D－AB＋BC简后的结果是)111→→→→A.B.DBC.D.DB1

1答案A→→→→→→→→→→→→解析如所示，∵＝，－＝AA－BA＝，∴DD－＋11111→→＝BD1→→→在间移ABC到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′C′接对应顶点A′＝AB＝＝是′→的中点是′C的中点，如图所示，用向量，，表示向M等于()a＋＋c1＋b＋c2C．a＋a答案D→1→1→解析MN′′＝→→如，四棱柱的上底面ABCD，＝，则下列向量相等的是()→→A.ADCB→→ACD

→→B.OAC→→DO与OB答案D→→→→解析∵＝DC，∴＝DC，∥DC，即四边形为行四边形，由平行四边形→→的性质知，DO＝→→如，平行六面体－ACD中M为AC与交点，AB＝，A＝，1111→→A＝，则下列向量中相等的向量()111A－a＋c2＋b＋cC.a－b＋c1D．－＋c2答案A→→→解析M＝B＋1→→→＝A＋(＋BC1＝＋(＋＝－＋＋.→→→为正六边形所平面外一点O为六边形ABCDEF的心＋PB＋→→→＋＋＋PF等()→→→→APOBPO．6POPO答案→→→→→→→解析由是正六边形ABCDEF的心OA＋＝＋OEOCOF，∴PA→→→→→→→→→→→→→→→→→＋＋PC＋PD＋＋PF＝＋OA＋PO＋OB＋＋OC＋PO＋＋＋＋PO＋→＝6.二、填空题．知向量a，互平行，其中，c同，向＝3b＝2|＝1则ab＋＝________.考点空向量的加减运算题点空向量的加减运算的应答案→→→．直三棱柱ABC-AB中若CAa，C＝bCC＝，＝111答案－＋－解析如，→→→A＝＋1→→→＝C＋(CB)1→→→＝－CC＋－CA1＝－＋11给出下列几个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若a＝|b，则aba＝－b；对于任意向量，，有＋≤a＋|b其中正确命题的序号________．考点空向量的相关概念及其示方法题点空向量的定义与模答案③解析对①长度相等且方向反的两个向量是相反向量，错误；对②若＝，则ab的度相等，但方向没有任何系，故不正确；只③确．三、解答题12.如图所示，在平行六体ABCD－′B′C′′，化简下列表达式．→→AB；→→→AB＋′→→→AB＋′→→→AC′＋D′B－DC.解

→→→(1)AB＋BC＝AC.→→→→→AB＋′AC′→＝′→→→→→→→AB＋′AB＋′＝DB→→→→→→→→→→→AC′＋D′B－DC(＋＋′)＋(DADC＋′)－DC＝13.如图所示，在三棱柱ABC-AB中M是的点．化简下列各式，并在图中标出化11简得到的向量：→→CBBA；1→→→AC＋AA；1→→→－－CB1解

→→→(1)＋BACA1因为M是BB的点，1→→所以BM.→→又AABB，1→→→→→→所以AC＋＝BMAM1→→→→→→→→→－－CB－＝BA向A，AM，BA如所示．11．