解析力学习题

解析力学习题解析力学习题10/10解析力学习题第15章虚位移原理解题的一般步骤及应注意的问题１．解题的一般步骤（１）依据题意，分清所解析的问题是属于哪一类问题①求均衡条件；②求拘束反力；③求桁架内力。2）解析拘束的性质,画主动力的受力争.①系统之外的物体对它的作使劲；②非理想拘束的拘束反力；③因除掉拘束而“转变”为主动力的拘束反力或内力。3）确立系统的自由度，应包含因除掉拘束而增添的自由度。选择适合的坐标做广义坐标。4）给出系统的虚位移，采纳以下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系：①几何法：运用运动学中解析速度的方法，进行计算。②解析法：先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标解析表达式，此后再对广义坐标取变分，进行计算。5）成立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，成立虚功方程，确立均衡条件，求出待求的参量。2.应注意的问题应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜采纳分别体。2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小没关。在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，假如把主动力的虚功转变为主动力对转动轴（或刹时转动轴）之力矩的虚功，可能简单些。三、典型例题解析1图示曲柄连杆机构,在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶,欲使机构在图示地点保持均衡,试求加于滑块B上的水平力P应为多大?已知OA=a,AB=b,在图示地点AB与水平线的夹角=30oBPrBrAOδAδδ解:这是属于求主动力的均衡条件的问题。作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。系统受圆满拘束，有一个自由度，当机构有虚位移时，ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动，滑块Ｂ作平动。令ＯＡ杆的虚位移为δ，则Ａ点虚位移为rA,B点虚位移为rB,AB杆的虚位移为绕瞬心C的渺小转角δ,机构的虚位移如图。依据虚位移原理得：ＰrB－Ｍδ＝０（１）152rAaAC,rBBCrBBCrAa3AC代入（１）式得：Pa3M00P3Ma15-1图示曲柄式压缩机的销钉B上作用有水平力F，此力位于平面ABC内。作用线均分ABC。设AB=BC，ABC2，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。解：令B有虚位移δrBAB，而C有铅直向上的虚位移δrC，如图（a）。将δrB及δrC向BC方向投影，为简单起见，以δrB表示δrB的绝对值δrB，以δrC表示δrC，则有δrCcos(90)δrBcos(290)δrB1（1）即2cosδrC由虚位移原理得FδrBsinFNδrC0δrBFN（2）δrCFsin将式（1）代入（2）得FNFtan215-3挖土机发掘部分表示如图。支臂、B、D、、F为铰链，液压油缸ADDEF不动，AE伸缩时可经过连杆AB使挖斗BFC绕F转动，EA=FB=a。当1230时杆AEDF，此时油缸推力为F。不计构件重量，求此时挖斗可战胜的最大阻力矩M。解：由虚功原理：Fcos1δrAMδ0（1）δ式中B（2）δaδrAcosδrBsin、22AB的虚位移向AB投影δrAδrBtan2（3）式（2），（3）代入（1）得costanδδrB0F12rBMa1Fa1230,MFasin2,M215-5在图示机构中，当曲柄OC绕O轴摇动时，滑块A沿曲柄滑动，进而带动杆AB在铅直导槽K内挪动。已知：OC=a，OK=l，在点C处垂直于曲柄作用一力F1；而在点B沿BA作用一力F2。求机构均衡时F2与F1的关系。解：用解析法解，采纳为广义坐标，则滑块A的拘束方程yAltanδyAlsec2δ（1）153由虚位称原理(F1a)δF2δyA0（2）把式（1）代入（2）得F1aδF2lsec2δ0因δ0，于是有F1aF2lsec20故F1F2lacos215-7图示滑套D套在圆滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动，已知0时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5kN/m。求在随意地点均衡时，应加多大的力偶矩M？解：除掉弹簧拘束，代之以弹性力F及F。0.3)，已知0时弹簧原长为0.3m，在随意角时，弹簧DBABADcos此时弹簧的缩短量为DB(0.3)。cos故弹性力FFk(0.3)cos取x轴沿AB杆，设D点沿杆的坐标为xD，而采纳为广义坐标，则滑块D的拘束方程为xDδδcos，xDcos2其他有xB=常量，δxB0由虚位移原理(F)δxDMδ0把F及δxD的表达式代入上式得k(0.3)δMδ0coscos2Mk0.3(11)coscos2sin(1cos)把k=5000N/m代入求得M450Nmcos3W1。滑块C的15-9在图示机构中，曲柄AB和连杆BC为均质杆，拥有同样的长度和重量重量为W2，可沿倾角为的导轨AD滑动。设拘束都是理想的，求系统在铅垂面内的均衡地点。解：取为广义坐标，另作坐标系Axy，设AB=BC=l因y1lsin()2154y2ACsinlsin( )2lcossinl( )22yCACsin2lcossin对坐标的变分：δlcos()δy12δy22lsinsinlcos()δ2δ2sinsinδyC-l由虚位移原理W1δy1W1δy2W2δyC0即W1lcos()2lsinsinlcos()2W2lsinsinδ022因δ0，故有W1lcos()2lsinsinlcos()2W2lsinsin022W2coscos2sinsin1cotcot1即W12sinsin2故tanW1cot2(W1W2)15-11图示均质杆AB长为2l，一端靠在圆滑的铅直墙壁上，另一端放在固定圆滑曲面DE上。欲使细杆能静止在铅直平面的随意地点，问曲面的曲线DE的形式应是如何的？解：作坐标系Dxy，因为杆AB只受主动力W作用，依据虚位移原理WδyC0W0δyC0，故yC=常量杆在铅直地点时yC0=l，yC=l杆在随意地点时yC=yA+lcos，即lyAlcosyAl(1cos)xA2lsin消去得DE曲线方程xA2(lyA)214l2l2由方程知，DE曲线为中心在（0，l）长短半轴分别为2l和l的椭圆的一部分。如坐标系Dxy向上平移l距离，则DE曲线方程与书中答案一致。15-13半径为R的滚子放在粗拙水平面上，连杆AB的两头分别与轮缘上的A点和滑块B铰接。此刻滚子上施加矩为M的力偶，在滑块上施加力F，使系统于图示地点处均衡。设M力F为已知，忽视转动摩阻和各构件的重量，不计滑块和各铰链处的摩擦，试求力偶矩以及滚子与地面间的摩擦力Fs。解：作功力M，F，虚功方程为：δsAFδsB0M2RδsA，δsB向AB投影：δsAδsBcos45155M2δsB/(2R)FδsB02M=2RFFx0，Fs=F15-15试用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。解：将BD杆除掉代之以力F及F。令C点有虚位移δrC，则B点必有虚位移δrBD点必有虚位移δrD，如图（a）。由虚位移原理FδrBFδrDcos90FPδrD0δrDF即（1）δrBFP由图（a）可见，ACD框的转轴在A点，CB杆的瞬心在E点δrDADδrCACδrCECδrBEBδδδ6622DDC3（2）因此δδ1δ6226rBrCrB3由式（1）、（2）得FFFP（拉力）例15-4在水平面内运动的行星齿轮机构如图15-4所示。均质系杆OA的质量为m，它可1绕端点O转动，另一端装有质量为m2，半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半为R的固定大齿轮纯转动。当系杆受力偶M的作用时，试求系杆的角加快度。15-4【解】机构拥有一个自由度，选系杆的转角φ为广义坐标。设系杆对O轴的转动惯量为JO，小齿轮对其质心A的转动惯量为JA，小齿轮的绝对角速度为，则A点的速度为小齿轮的角速度156系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和，即与广义坐标对应的广义力将上两式代入拉氏方程YB

mP2a2例题2三铰拱以以以下图,求支座B的拘束反力。PCmaaaAB:(1)求支座B的铅垂反力,除掉支座B的铅垂拘束,代之拘束反力YB,以以以下图,该系统有一个自由度:AC绕A定轴转动,BC做平面运动,瞬心为A,画虚位移图如图。利用虚位移图，rC=(AC1=(AC2))1=2=利用虚位移图计算虚功W(m)=mW(P)=aP

12由虚位移原理，m+aP-2aYB=0157Cm

PrCa1YBmPABYBrB2a22求支座B的水昭雪力,除掉支座B的水平拘束,代之拘束反力XB,以以以下图,该系统有一个自由度:AC绕A定轴转动,BC做平面运动,瞬心为I,画虚位移图如图。利用虚位移图得:rC=(AC)1=(IC)222CPmrC1XBBrBA1=2=利用虚位移图计算虚功W(m)=m1W(P)=aP2W(XB)=2aXB2由虚位移原理得:m1+aP2+2aXB2=0mPXB22a例题3组合梁构造受荷载如图示，P1=10kN,q=1.6kN/m,P2=15kN,M=40kN?m,求固定端支座A的拘束反力。P2qB60oCP1M2A4D22222158:(1)求固定端支座A的反力偶,除掉固定端拘束,代之反力偶MA和固定铰支座A,以以以下图,作用在系统上的主动力有MA、M、P1、P2以及均布荷载的协力Q。该系统有一个自由度:AC绕A定轴转动,BC做平面运动,瞬心为I,画虚位移图如图。利用虚位移图得:rB=(AB)1=(BI)2=AB211BIrC=(IC)2=(CD)33=IC12ICDrB22利用虚位移图计算虚功P2P1CW(M)=MA1MA1BA2rCMQW(M)=M34AW(P1)=-2P131W(P2)=-P2311.62D22+P2W(Q)=-Q121由虚位移原理得:MA1+M3-2P11+(-P232+P212)-Q1=022MA=7.685kNm求固定端支座A的水昭雪力,除掉固定端拘束,代之以水昭雪力XA和滑块A,该滑块固结于A端，只好水平方向自由滑动，以以以下图,作用在系统上的主动力有XA、M、P1、P2以及均布荷载的协力Q。该系统有一个自由度:AB做平动,CD做定轴转动，BC做平面运动，瞬心为I。画虚位移图如图。由虚位移图得：rA=rA1BI=8，2

8IC11rACD4I11rBP2rCP1CBMQXAArA2D由虚位移原理得:15931XArAQrAP2221P22BI1M20解得：XA(3)求固定端支座A的铅直方向的反力YA,除掉固定端拘束,代之以铅直反力YA和滑块A,该滑块固结于A端，只好铅直方向自由滑动，以以以下图,作用在系统上的主动力有YA、M、P1、P2以及均布荷载的协力Q。该系统有一个自由度:AB做平动,BC做平面运动，瞬心在C点。CD不动。画虚位移图如图。由虚位移原理得:P2rArB30CYArAP1rAP22P1B2MYArAQAYAD例4求图示桁架1、２杆的内力。ＤＧ1Ｈ26060ABＥPP解：(1)求1杆的内力S1，除掉1杆，用内力S1和S1取代（假定为拉力），以以以下图,作用在系统上的主动力有P、P、S1和S1。该系统有一个自由度:ADEFG做定轴转动,BFH做平面运动，瞬心在B点。画虚位移图如图。利用虚位移图得:rF=2a1=a221=2利用虚位移图计算虚功S1S1W(S1)=-0.87aS11ＤＧＨW(P)=-aP1W(P)=-2aP16060AW(S2)=-0.87aS22B由虚位移原理得:ＥＦrF10.87aS1-aP1-2aP12=0PP21160求2杆的内力S2，除掉2杆，用内力S2和S2取代（假定为拉力），以以以下图,作用在系统上的主动力有P、P、S2和S2。该系统有一个自由度:ADEG做定轴转动,BFH做平面运动，瞬心在B点（因为B点的速度沿水平方向，EF做平