导学案 指数运算的性质

指数运算的性质1．掌握幂的运算性质．2．能够熟练地进行指数的运算．指数幂的运算性质当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足以下三条：(1)am·an＝________________________；(2)(am)n＝________________________；(3)(ab)n＝______________________.指数幂运算性质的语言叙述为：(1)两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘；(3)两个实数积的幂等于它们幂的积．【做一做1－1】计算：3×＝__________.【做一做1－2】计算：100－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81,16)))＝__________.答案：(1)am＋n(2)amn(3)anbn【做一做1－1】9.【做一做1－2】－eq\f(53,270)为什么指数幂运算性质中规定了a＞0，b＞0?剖析：这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定a＞0时a＝eq\r(n,am)表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂的运算性质不作这样的限制的话，就会出现运算上的错误．例如：－2＝eq\r(3,－8)＝(－8)＝(－8)＝eq\r(6,－82)＝eq\r(6,64)＝2.显然这是错误的．题型一根式的运算【例1】求下列各式的值：(1)eq\r(6,3－π6)；(2)；(3)(eq\r(3,25)－eq\r(125))÷eq\r(4,5)；(4)eq\f(a2,\r(a)·\r(3,a2))(a＞0)．分析：将根式化为分数指数幂形式，利用分数指数幂的运算性质计算是根式运算中经常采用的方法．反思：对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．题型二指数幂(根式)的运算【例2】计算下列各式：(1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋[(－2)3]＋16－＋|－|；(2)÷eq\r(\r(3,a－7)·\r(3,a13))(a＞0)．分析：(1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．(2)将根式化为分数指数幂．反思：进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．题型三条件求值问题【例3】已知，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.分析：解答本题可从整体上寻求各式与条件的联系，进而整体代入求值．反思：1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件、整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过解出a的值代入求值则非常复杂．2．解决此类问题的一般步骤是：答案：【例1】解：(1)原式＝|3－π|＝π－3；(2)原式＝；(3)原式＝；(4)原式＝.【例2】解：(1)原式＝[3]－1＋(－2)－4＋(24)－＋[2]＝－1－1＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋＝eq\f(143,80).(2)原式＝.【例3】解：(1)将的两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)由a＋a－1＝3，两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45.∴y＝±3eq\r(5)，即a2－a－2＝±3eq\r(5).1下列各式运算错误的是()．A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b182把根式改写成分数指数幂的形式为()．A．B．C．D．3化简的结果是()．A．