三角函数恒等变换练习题及答案详解

两角和和差的正弦、余弦、正切利用两角和和差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和和差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1．两角和和差的余弦、正弦、正切公式(α－β)＝αβ＋αβ(Cα－β)(α＋β)＝αβ－αβ(Cα＋β)(α－β)＝αβ－αβ(Sα－β)(α＋β)＝αβ＋αβ(Sα＋β)(α－β)＝\f(α－β,1＋αβ)(Tα－β)(α＋β)＝\f(α＋β,1－αβ)(Tα＋β)2．二倍角公式2α＝；2α＝2α－2α＝22α－1＝1－22α；2α＝\f(2α,1－2α).3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为α±β＝(α±β)(1∓αβ)，αβ＝1－\f(α＋βα＋β)＝\f(α－βα－β)－1.4．函数f(α)＝α＋α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝\r(a2＋b2)(α＋φ)或f(α)＝\r(a2＋b2)(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．[难点正本疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件和结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂和降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解和组合”、“配方和平方”等．热身训练1．已知(α＋β)＝\f(2,3)，(α－β)＝－\f(1,5)，则\f(αβ)的值为．2．函数f(x)＝2x(x＋x)的单调增区间为．3．(2012·江苏)设α为锐角，若＝\f(4,5)，则4．(2012·江西)若\f(α＋αα－α)＝\f(1,2)，则2α等于()A．－\f(3,4)\f(3,4)C．－\f(4,3)\f(4,3)5．(2011·辽宁)设(\f(π,4)＋θ)＝\f(1,3)，则2θ等于()A．－\f(7,9)B．－\f(1,9)\f(1,9)\f(7,9)典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题例1(1)化简：\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(1\f(α,2))－\f(α,2)))·\b\\(\\)(\a\4\\1(1＋α·\f(α,2)))；(2)求值：[250°＋10°(1＋\r(3)10°)]·\r(2280°).在△中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则\f(A,2)＋\f(C,2)＋\r(3)\f(A,2)\f(C,2)的值为．题型二三角函数的给角求值和给值求角问题例2(1)已知0<β<\f(π,2)<α<π，且＝－\f(1,9)，＝\f(2,3)，求(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且(α－β)＝\f(1,2)，β＝－\f(1,7)，求2α－β的值．已知α＝\f(1,7)，(α－β)＝\f(13,14)，且0<β<α<\f(π,2)，求β.题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)＝2x－2·(1)若α＝2，求f(α)的值；(2)若x∈\b\\[\\](\a\4\\1(\f(π,12)，\f(π,2)))，求f(x)的取值范围．已知函数f(x)＝\r(3)＋22(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4x·－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．总结方法和技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：x±y＝(x±y)·(1∓y)；倍角公式变形：降幂公式2α＝\f(1＋2α,2)，2α＝\f(1－2α,2)；配方变形：1±α＝\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(α,2)±\f(α,2)))2,1＋α＝22\f(α,2)，1－α＝22\f(α,2).2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝α＋α＝\r(a2＋b2)(α＋φ)(其中φ＝\f())有\r(a2＋b2)≥.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误和防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，(α＋β)＝\f(\r(2),2)所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·山东)若θ∈，2θ＝\f(3\r(7),8)，则θ等于()\f(3,5)\f(4,5)\f(\r(7),4)\f(3,4)2．已知(α＋β)＝\f(2,5)，＝\f(1,4)，那么等于()\f(13,18)\f(13,22)\f(3,22)\f(1,6)3．当－\f(π,2)≤x≤\f(π,2)时，函数f(x)＝x＋\r(3)x的()A．最大值是1，最小值是－1B．最大值是1，最小值是－\f(1,2)C．最大值是2，最小值是－2D．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足2α＝，则2α＝.5．已知＝\f(12,13)，α∈，则\f(2α\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,4)＋α)))＝.6．设x∈，则函数y＝\f(22x＋12x)的最小值为．三、解答题7．(13分)(2012·广东)已知函数f(x)＝2(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈\b\\[\\](\a\4\\1(0，\f(π,2)))，\b\\(\\)(\a\4\\1(5α＋\f(5,3)π))＝－\f(6,5)，\b\\(\\)(\a\4\\1(5β－\f(5,6)π))＝\f(16,17)，求(α＋β)的值．课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·江西)若θ＋\f(1θ)＝4，则2θ等于()\f(1,5)\f(1,4)\f(1,3)\f(1,2)2．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，α＋α＝\f(\r(3),3)，则2α等于()A．－\f(\r(5),3)B．－\f(\r(5),9)\f(\r(5),9)\f(\r(5),3)3．已知α，β都是锐角，若α＝\f(\r(5),5)，β＝\f(\r(10),10)，则α＋β等于()\f(π,4)\f(3π,4)\f(π,4)和\f(3π,4)D．－\f(π,4)和－\f(3π,4)4．(2011·福建)若α∈，且2α＋2α＝\f(1,4)，则α的值等于()\f(\r(2),2)\f(\r(3),3)\r(2)\r(3)二、填空题(每小题5分，共15分)5．275°＋215°＋75°15°的值为．6.\f(\r(3)12°－3,4212°－212°)＝.7．α＝\f(3,5)，β＝\