高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用23平均值不等式24最大值与最小值问题优化的数学模型学案新

2．3～2.4平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型[对应学生用书P33][读教材·填要点]1．平均值不等式定理1(平均值不等式)：12n为n个正数，则设a，a，，aa1＋a2＋＋anna1a2an，n≥等号建立?a1＝a2＝＝an.①推论1：设a1，a2，，an为n个正数，且a1a2an＝1，则a1＋a2＋＋an≥n.且等号建立?a＝a＝＝a＝1.12n②推论2：设C为常数，且a，a，，a为n个正数；则当a＋a＋＋a＝nC时，12n12na1a2an≤Cn，且等号建立?1＝2＝＝n.aaa(2)定理2：12n为n个正数，则设a，a，，ann1，11n＋＋＋12n等号建立?a1＝a2＝＝an.定理3：设a1，a2，，an为正数，则a1＋a2＋＋annnn≥a1a2an≥111，＋＋＋ana1a2等号建立?a＝a＝＝a.12n推论：设a，a，，a为n个正数，则12n(a＋a＋＋a)(111212na1a2an1/102．最值问题设D为f(x)的定义域，若是存在x∈，使得f(x)≤f(x)(f(x)≥(x))，∈，000则称f(x)为f(x)在D上的最大(小)值，x称为f(x)在D上的最大(小)值点，追求函数00的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思想]a＋b1．利用基本不等式≥ab求最值的条件是什么？2提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能获取相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时获取.[对应学生用书P34]利用基本不等式求最值19[例1]已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求x＋y的最小值．[思路点拨]本题观察基本不等式的应用，解答本题可灵便使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，尔后再利用基本不等式求得和的最小值．19[精解详析]法一：∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，19y9xx＋y＝(x＋y)(x＋y)＝x＋y＋106＋10＝16.y9x19当且仅当x＝y，又x＋y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.2/10运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．运用定理求最值时：必定做到“一正，二定，三相等”．2x2＋x－31．求函数f(x)＝x(x＞0)的最大值及此时x的值．3解：f(x)＝1－2x＋x.3由于x＞0，所以2x＋x≥26，3得－2x＋x≤－26，所以f(x)≤1－26，323当且仅当2x＝x，即x＝2时，式子中的等号建立．6由于x＞0，所以x＝2时，等号建立．6所以f(x)max＝1－26，此时x＝2.利用平均值不等式求最值[例2]已知x为正实数，求函数＝(1－2)的最大值．yxx[思路点拨]本题观察三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要依照需要凑合出利用其算术—几何平均不等式的条件，尔后再求解．[精解详析]∵y＝x(1－x2)，22222221∴y＝x(1－x)＝2x(1－x)(1－x)·.22x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，212x2＋1－x2＋1－x234∴y≤23＝27.2223当且仅当2x＝1－x＝1－x，即x＝3时取“＝”号．3y≤9.3/103y的最大值为9.利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可获取最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获取定值需要必然的技巧，如：配系数、拆项、分别常数、平方变形等．当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x为正实数，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)1＝x·x·(2－2x)×21x＋x＋2－2x3＝1×8＝4.23227272当且仅当x＝2－2x，即x＝3时取等号．4此时，ymax＝27.利用平均值不等式解应用题[例3]已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．[思路点拨]本题观察算术—几何平均不等式在实责问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，尔后利用算术—几何平均不等式求最大值．[精解详析]设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得H－hrH＝R，4/10R∴r＝H(H－h)．2πR22∴V圆柱＝πrh＝H2(H－h)h(0＜h＜H)．依照平均不等式可得V圆柱4πR2H－hH－h4πR2H3＝2···h≤23H22H42＝27πRH.－h142当且仅当2＝h，即h＝3H时，V＝圆柱最大27πRH.在解求最值应用题时，先必定确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．在确定目标函数时，必定使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，如图可知2h＋3x＝3，3即h＝2(1－x)，32所以V＝S底·h＝6×4x·h5/10332333xxxx＋＋1－x3＝x··(1－x)＝23××××(1－x)≤9×222222231＝3.当且仅当x＝1－，即x＝2时，等号建立．2x321所以当底面边长为3时，正六棱柱容器容积最大值为3.[对应学生用书P35]一、选择题121．函数y＝3x＋x2(x>0)的最小值是()A．6B．66C．9D．12123x3x1233x3x12剖析：y＝3x＋x2＝2＋2＋x2≥32·2·x2＝9，当且仅当3x＝122，即x＝2时取等号．2x答案：C2．已知x＋2＋3＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()yz3A．36B．2235C．12D．12xyz剖析：∵2>0,4>0,8>0，xyzx2y＋23z3x2y3z∴2＋4＋8＝2＋2≥32·2·2332x＋2y＋3z＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，6/102即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝3时取等号．答案：C3．设x，y为正实数，且满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D．2x＋4y剖析：由于x，y为正实数，∴4xy≤.2x＋4yxy≤＝10.∴xy≤100.4lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.答案：D＋114xx43xx44．已知x∈R，有不等式：x＋x≥2x·x＝2，x＋x2＝2＋2＋x2≥32·2·x2＝3，.启示我们可以实行结论为：a≥n＋1(n∈N)，则a的值为()xn＋A．nnB．2nC．n2D．2n＋1axx剖析：x＋xn＝n+n+1444

xa·++n24n443xxn个相乘n≥(＋1)n+1x?x?·?x?annnnxn144424443n个x相乘nn＋1a＝(n＋1)nn，由实行结论知ann＝1，∴a＝n.n答案：A二、填空题21125．设x，y∈R，且xy≠0，则x＋y2·x2＋4y的最小值为______．2＋112＝＋＋221＋·221，当且仅当剖析：x22＋4y＋22≥＋4xy·22＝yx144xyxy142xy97/1022124xy＝x2y2时等号建立，即|xy|＝2时等号建立．答案：9．若x，∈＋且xy＝，则x＋yy＋x的最小值是________．6yR1yx剖析：∵x>0，y>0，xy＝1，∴xy＝1＋x2y2＋y＋xy＋x＋xyyx1＋33x2y2＝4，x2y2当且仅当y＝x＝xy，即x＝y＝1时取等号．答案：4π1p7．对于x∈0，2，不等式sin2x＋cos2x≥16恒建立，则正数p的取值范围为________．剖析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.π又x∈0，2，∴t∈(0,1)．p不等式sin2x＋cos2x≥16可化为1p≥16－t(1－t)，1而y＝16－t(1－t)11＝17－t＋16t≤17－2t·16t＝9，11当t＝16t，即t＝4时取等号，所以原不等式恒建立，只需p≥9.答案：[9，＋∞)8．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是________．剖析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.8/101222则S＝2(3x＋4y＋5z)，又∵3＋4＝5，1∴这个直角三角形的面积S＝2×3×4＝6.3x＋4y＋5z＝2×6＝12.3∴33x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.16(xyz)max＝15.44当且仅当x＝3，y＝1，z＝5时等号建立．16答案：15三、解答题ab9．已知a，b，x，y均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，x＋y＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.abbxay2解：∵x＋y＝(x＋y)x＋y＝a＋b＋y＋x≥a＋b＋2ab＝(a＋b)，bxay当且仅当y＝x时取等号．又(x＋y)min＝(a＋b)2＝18，即a＋b＋2ab＝18①又a＋b＝10②a＝2a＝8由①②可得或b＝8b＝2.10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余花销(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料花销与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行花销总和为最小．解：设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时．则依题意有A＝k·V3，且有30＝k·103，3k＝100.33∴A＝100V.9/101设每千米的航行花销为R，需时间为V小时，1333248032240240332240240∴R＝V＋480＝V＋＝100V＋＋V≥3100V··＝36.V100100VVVV32240当且仅当100V＝V，即V＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行花销总和最小．以下列图，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处依旧是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光辉与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比．即＝ks