量子力学基本原理

第二节量子力学的基本原理一、波函数微观粒子的运动状态称为量子态，用波函数Ψ（x，y，z，t）或Ψ（r，t）来描述。波函数是体系的状态函数，是体系中所有坐标的函数，也是时间的函数。1、德布罗意波函数自由粒子所表现的波动，是波长和频率都为确定值的波动。或第1页，共23页。复指数函数：将代入上式得在三维空间内，则有德布罗意波函数第2页，共23页。2、波函数的物理意义—德布罗意波的统计解释称为几率密度，它就是通常所说的电子云；dτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比,所以在该点附近找到粒子的几率正比于，用波函数描述的波为几率波。量子力学的基本假定之一第3页，共23页。（1）合格波函数的条件a、Ψ必须是连续的；b、Ψ必须是单值的；c、Ψ必须是有限的。3、波函数的性质◆一般为复数形式：＝f＋ig，f和g均为坐标的实函数。的共轭复数*＝f－ig，*＝f2＋g2，因此*是实函数，且为正值。为书写方便，常用2代替*。第4页，共23页。（2）C和描写同一状态（C为常数）（3）波函数的归一化对于未归一化的波函数，粒子出现在d内的几率与*d成正比，粒子出现在空间某点的几率密度与*成正比；若是归一化的定态波函数，*d表示粒子出现在d内的几率，*是粒子出现在空间某点的几率密度。通常用归一化的波函数描述微观粒子的运动状态。即在整个空间找到粒子的几率是100%.第5页，共23页。如果波函数未归一化，可乘上一个合适的系数c使它归一化。归一=c未归一化（C为归一化系数）第6页，共23页。第7页，共23页。二、实物微粒的运动规律—Schrödinger方程1、定态Schrödinger方程对三维空间内任意方向上运动的粒子，则：上式两侧对x,y,z两次求偏导，得：第8页，共23页。第9页，共23页。将三式相加，并乘以1/2m,得：量子力学证明，对受力场V作用的粒子可得：（拉普拉斯算符）第10页，共23页。

这就是著名的定态Schrödinger方程，用它来描述微观粒子运动的稳定态上式两侧各加上V(x,y,z)，粒子总能量的平均值对定态而言，粒子的总能量必定是守恒的，为一与位置无关的常数。第11页，共23页。♥Schrödinger方程的物理意义：2、含时Schrödinger方程

对于一个质量为m，在势能为V的场中运动的微粒来说，其每一个定态可用满足这个方程的合理解的波函数来描述，与每一个相应的常数E就是微粒处在该定态时的总能量。量子力学的基本假定之二第12页，共23页。三、定态Schrödinger方程的算符表达式力学量：力学中能用实验仪器观察得到的物理量，如：E、P、M，它们都是坐标和动量的函数。1、算符和力学量的算符表示算符：指对一个函数施行某种运算（或动作）的符号，如：+、-、×、÷、√。第13页，共23页。线性算符：Â(1＋2)＝Â1＋Â2，Â为线性算符。厄米算符：∫1*Â1d＝∫1(Â1)*d或∫1*Â2d＝∫2(Â1)*d∫exp[-ix](id/dx)exp[ix]dx＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x.∫exp[ix](id/dx)exp[ix]*dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x.∫1*Â1d＝∫1(Â1)*dÂ是厄米算符例:Â＝id/dx，1＝exp[ix]，1*＝exp[-ix]，Â是厄米算符吗？第14页，共23页。量子力学中，微观体系的每个力学量都对应着一个线性厄米算符量子力学的基本假定之三第15页，共23页。力学量算符力学量算符位置x势能V动量的x轴分量px动能T=p2/2m角动量的z轴分量Mz＝xpy－ypx总能量E=T+V力学量与算符的对应关系如下表：第16页，共23页。2、能量算符的本征方程、本征值和本征函数

若上式中f2等于一个常数a乘以f1本身，那么称f1为本征函数，常数称为与f1对应的本征值，而把方程称为本征方程。一个算符Â作用于一个函数f1,得到的将是另一个函数f2，本征函数本征值量子力学的基本假定之四第17页，共23页。(a)eimx(b)sinx(c)x2+y2(d)(a-x)e-x例.下列函数,那些是的本征函数?并求出相应的本征值.解:(a)和(b)是的本征函数

eimx=-m2eimx,其相应的本征值为-m2

sinx=-sinx,其相应的本征值为-1第18页，共23页。（定态Schrödinger方程的算符表达式）第19页，共23页。四、量子力学态的叠加原理假设：若1，2…n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的也是该体系可能的状态。如果已归一化，组合系数ci的大小反映i贡献的多少。为适应原子周围势场的变化，原子轨道通过线性组合，所得的杂化轨道（sp，sp2，sp3等）也是该原子中电子可能存在的状态。量子力学的基本假定之五第20页，共23页。若状态函数不是力学量A的算符Â的本征态,当体系处于这个状态时,Âa,但这时可用积分计算力学量的平均值：〈a〉＝∫*Âd设与1，2…n对应的本征值分别为a1，a2，…，an，当体系处于状态并且已归一化时，可由下式计算力学量的平均值〈a〉（对应于力学量A的实验测定值）：□本征态的力学量的平均值□非本征态的力学量的平均值例如，氢原子基态波函数为1s，其半径和势能等均无确定值，但可由上式求平均半径和平均势能。第21页，共23页。

如果微观粒子不是处在本征态，而是处在某一任意状态，则该力学量不一定有确定值，可求其平均值。对任一物理量Q的平均值：若已归一化，则：第22页，共23页。内容梗概第二节量子力学的基本原理。自由粒子所表现的波动，是波长和频率都为确定值的波动。2、波函数的物理意义—德布罗意波的统计解释。dτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。对于未归一化的波函数，粒子出现在d内的几率与*d。成正比，粒子出现在空间某点的几率密度与*成正比。的几率，*是粒子出现在空间某点的几率密度。通常用归一化的波函数描述微观粒子的运动状态。上式两侧对x,y,z两次求偏导，得：。上式两侧各加上V(x,y,z)，。对定态而言，粒子的总能量必定是守恒的，为一与位置无关的常数。对于一个质量为m，在势能为V的场中运动的微粒来说，其每一个定态可用满足这个方程的合理解的波函数来描述，与每一个相应的常数E就是微粒处在该定态时的总能量。如：E、P、M，它们都是坐标和动量的函数。1、算符和力学量的算