二轮难题复习 不等式压轴解答题 （教师版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页二轮难题复习不等式压轴解答题1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．分式不等式eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0≤0，,gx≠0.))4．基本不等式(1)基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．基本不等式的变形：①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．5．线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．例题1．已知在每一项均不为0的数列中，，且(，为常数，)，记数列的前项和为.(1)当时，求；(2)当，时，求证：数列为等比数列；(3)在满足(2)中条件时是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，最小值为2.【解析】【分析】(1)先由题设条件得到：，再由，进而说明数列是首项为3，公比为的等比数列，再求其前项和即可；(2)利用等比数列的定义证明结论即可；(3)先由(1)，再利用放缩法得到：当时，，进而得到：，又由求得的最小值．(1)当时，，，，数列是首项为3，公比为的等比数列．当时，；当时，．故；(2)当，时，，，，若存在，，使得，则根据可知，，这与矛盾，∴，，∴，又∵，∴数列是首项为，公比为2的等比数列．(3)由(2)知，，．由得：即，当时，，∴，当且仅当时取“”，∴，又∵，，∴存在且的最小值为2．【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式、前项和公式及不等式的放缩，解题的关键是，然后对的范围进行研究.例题2．已知函数，其中.（1）当时，求函数的零点；（2）若，，当时，关于的方程有3个不同的实数解，求实数的值及该方程的解；（3）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）1；（2），，，；（3）1.【解析】【分析】（1）当时，代入让得绝对值均为0求得函数的零点；（2）若，时，换元令，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布分情况讨论求得的值及该方程的解；（3）先证．结合恒成立思想，考虑、（1），结合绝对值不等式的性质；再证当时，对一切，时恒成立，由二次函数的性质和绝对值不等式的性质，可得证明．【详解】（1）当时，，则，得，所以函数的零点为1；（2），所以可化为,令，因为，所以，则方程可化为，要使原方程有3个实数根，则必须满足：一根为，另两根在上；或者一根为，另两根在上.1）若一根为0，另两根在上，则时，则可化为，则，此时，原方程有3个解，，；2）若一根为1，另两根在上，则时，则可化为，则，舍去综上可知，，，，.（3）因为对任意，都有恒成立，即对任意，都有恒成立所以，且都有恒成立.①当，时，恒成立.②当，时，恒成立.③当，时，由恒成立，则，举例：当时，对一切时，恒成立.当时，，因为，所以所以综上所述，的最小值为1.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将绝对值去掉，先利用特殊值，，然后分情况讨论将绝对值去掉.例题3．定义为有限实数列{an}的波动强度．（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a，b，c，d满足(a﹣b)(b﹣c)＞0，判断f(a,b,c,d)≤f(a,c,b,d)是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列a1，a2，…，an是数列1+21，2+22，3+23，…，n+2n的一个排列，求f(a1,a2,…,an)的最大值，并说明理由．【答案】（1）6；（2）正确，证明见解析；（3），理由见解析．【解析】【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）解法一：直接按定义求解，利用绝对值几何含义即可证明；解法二：假设a＞b＞c，分d与a，b，c的大小，讨论四种情况依次去绝对值符号，即可得出结论；（3）设，{bn}是单调递增数列．分n是奇、偶数情况讨论，依次求其最大值即可．【详解】（1）；（2）是正确的；，解法一：∵由题意，或，∴，，∴，即，并且当b＞c时，d≥b可取等号，当c＞b时，若d≤b可取等号，所以等号可以取到；解法二：不妨设a＞b＞c，分4种情况讨论若d≥a，则，∴；若a＞d≥b，则，∴；若b＞d≥c，则，∴；若c＞d，则，∴；综上有：.（3）设，{bn}是单调递增数列，分n是奇、偶数情况讨论，，其中，，并且．经过上述调整后的数列，系数不可能为0．当n为偶数时，系数中有个2和个，1个1和1个．当n为奇数时，有两种情况：系数中有个2和个，2个；系数中有个和个2，2个1．当n是偶数，n＝2k，k≥2，k∈N*，.当n是奇数，n＝2k+1，k∈N*，∵，∴，可知.综上，．【点睛】关键点点睛：第二问，有已知条件知或，应用绝对值的几何含义即可证明，或讨论的大小关系，证明不等式；第三问，构造，讨论n的奇偶性，进而确定系数分布及其对应个数，应用等差、等比数列性质求最大值.例题4．已知函数，，.（1）若，求在上的最小值；（2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围；（3）当时，求函数在上的最小值.【答案】（1）2e；（2）[0,2]；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）结合基本不等式求得在区间上的最小值.（2）根据已知条件得到对于任意的实数恒成立，结合绝对值三角不等式以及绝对值不等式的解法，求得的取值范围.（3）先求得的表达式，利用零点分段法，结合对分类讨论，求得在上的最小值.【详解】（1），且时，，当且仅当时，等号成立.（2）对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，，所以，则，所以的