高一年段培优数学教材

**第一讲

高一年段培数学教材（1）高一数学备课组函数的性质一、本性质：1.函数图像的对称性（1

奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意xD都有偶函数的图像关于y轴对称，对于任意D，有f(x)f(x)成立。

成立；（2

原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线yx示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y对称。

对称。若某一函数与其反函数表（3

若函足x)

，则

的图像就关于线x

对称；函数足

，则

的图像就关于对称。（4

互对称知识：函数y与x)

的图像关于直线xa

对称。2函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数y

0)

的图像和单调区间。3函数的周期性对于函数y

，若存在一个非零常数

T

，使得当x为定域中的每一个值时，都有T)

成立，则y

是周期函数，T称该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1

T

是

的周期，那)

也是它的周期。（2

若

是周期T

的函数，则yb)(a

是周期为

的周期函数。（3

若函数

的图像关于直线xa和x

对称，则y

是周期

的函数。（4

若函数

满足f(xa)，则y

是周期2a函数。4高斯函数对于任意实数x

，我们记不超过x

的最大整数

，通常称函数y

为取整函数。又称高斯函数。又x

，则函数y

称为小数部分函数，它表示的是x

的小数部分。高斯函数的常用性质：（1

对任意xR有x1x1

（2

对任意xR

，函数

y

的值域为

[0,1)（3

高斯函数是一个不减函数，即对于任意x,x1

Rx1

x]]2（4

nZRxn]n

，后一个式子表明

y

是周期为1的函数。（5

若R[y]

（6）nNR二、综合应用例1设

是R上的奇函数，f(x2)时，f(x)x,求的值。例2

都是定义在R的奇函数2

在区)

上的最大值为5，求F在(,0)上的最小值。

x2222x22x2222x223

2a例3已知44y

ya0

x2y)

______________例4a1,a,

均为实数，试求当变化时，函数

sinsinsin

的最小值。例5解方程xlog(22

31)5

20x38)

4x15284x例6已知定义在R上的函数

满足f(x)y)，当x0时f0，；（1

：

为奇函数；2）求

在[上的最值3当2时,

式logt)f2

t2

2)

求实k

的取值范围。11例7证明：对于一切大于的自然，恒(1)(1)(135

11

)

12例8

是定义在Z上的一个实值函数

满足

y)y)2f(x)f(y)f(1)0

①②

证：

是周期为4的期函数。例9给定实数，

为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是（）①x0②x1③x是周期函④x是函例10：方lg三、强化训练：

x20

的实根个数。1.已知abx4

、b实数5求lg3)的值。32.若方程x)a0

有唯一解，求a的所有取值。3.知函数

定义在非负整数集上，且对任意正整数x，有f(x)。若f(0)19924.函数

，求的值。定义在实数集R对一切实数x满足等式f(27)f(7x).设0

的一个根是0

，记0区间中的根的个数是N，求N的最小值。5.若函

的图像关于直线x

对称，且关于点

对称，求证

是周期函数。6.求数a

n

的最小项，其中

a

n

224n69

a2

3

2,)7.已知

0

的解集[0,，解不等式

0.8.设

是定义)

上的增函数，对任意(0,)

，满足f(y)

。（1求证：①当

x0

x②)f(y)y（2若f(5)1

，解不等式1)2.9.已知a1)，满足4x5)3x1)的x值。10.求和：

]

3x3223x322参考答案：例1周期为4，0.5例2af(x)

，G

为奇函数。F

(上最小值为-1.例3

[

上为增函数x2y)4例4(1sin)

1)换元后研究函数xsin

2

的单调性1

时y2a2min

1))

；a

时y2)min2例5构造xlog(22

31)，利用单调性得：（2

构造递增函数x

4x

，利用

20x38)

解得2x9例6max

6;f(x)min

6

（3k221例7构造

111(1)(1)(1352n1

，证明

是递增数列，故

例8令y1例9④

得T例10

x22

（11

方程解得x

（2）当0

时x]0lgx2

（矛盾）（3）当1

1

3x10

3

（4x1000强化训练：132a