结构力学静定平面桁架

第五章静定平面桁架第1页，共71页。一、桁架及其组成桁架全部由仅在两端与铰结点相连的直杆件连接而成的结构，广泛应用于建筑工程和机械工程。静定平面桁架输电桥梁建筑通讯第2页，共71页。静定平面桁架第3页，共71页。静定平面桁架第4页，共71页。§1桁架木桁架钢桁架钢筋混凝土桁架第5页，共71页。九江长江大桥主桁梁162m第6页，共71页。静定平面桁架北京体育馆主体桁架的一片25.5m56m第7页，共71页。假设1：各杆件都用光滑铰链相连接桁架模型简化的基本假设静定平面桁架1．桁架的计算简图第8页，共71页。假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心静定平面桁架第9页，共71页。假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上静定平面桁架第10页，共71页。静定平面桁架①各结点是光滑无摩擦的铰结点②各杆轴均为直线，且通过铰的几何中心③荷载作用在结点上1．桁架的计算简图桁架各杆之间的连接一般由螺栓或焊接（具体在《钢结构》中学习），为简化计算，通常作如下假设：2．桁架的组成及分类这样的桁架称为理想桁架。桁架中每根杆仅在两端铰接，这样的杆称为链杆或二力杆。节间上弦杆腹(竖)杆跨度L下弦杆斜腹杆端柱桁高第11页，共71页。静定平面桁架简单桁架。桁架分类由铰结三角形出发，依此增加二元体，最后与基础连接。2、联合桁架——由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的桁架。第12页，共71页。静定平面桁架3、复杂桁架------不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。第13页，共71页。静定平面桁架1．应用条件二、桁架内力的数解法（一）结点法（1）连接两根不共线杆的结点，若该结点上无荷载作用，则此两杆的轴力为零。（二元体上无结点荷载，该两杆不受力）S1=0S2=02．特殊杆件（1）一般应用于简单桁架，且按与简单桁架增加二元体的反向截取结点，可保证每个结点仅有两个未知力。

（结点有两个自由度，仅能建立两个平衡方程）（2）原则上，只要截取的结点有不多于两个未知力，均可用结点法。第14页，共71页。静定平面桁架（2）连接三根杆的结点上无荷载，且其中两根杆共线，则另一杆必为零轴力杆（3）‘X’形连接杆件的受力特点。（4）‘K’形连接杆件的受力特点。S1

S2=-S1

S2

S3=S2

S1=0S1

S3=S4

S2=S1

S4

第15页，共71页。静定平面桁架3．相似定理4．计算例题BLLyALxSSy

Sx

第16页，共71页。静定平面桁架例题12）取结点8为研究对象，画出受力图N87∑X=0，N87+40=0，得：N87=-40kN（得负值表示受压）

解：1）先找零离力杆。N67=0，N63=0，N85=0未知轴力N87以受拉方向画出。840kNN85=0

67840kN

34540kN3m3m4m4m12第17页，共71页。静定平面桁架3）再取结点7为研究对象，画出受力图。由于sinφ=0.6，cosφ=0.8，由（1），（2）两式得：N73=-25kN（受压），N75=25kN（受拉）∑X=0，--------------（1）∑Y=0，------------（2）N73φN7540kN0XY未知轴力N73，N75以受拉方向画出，已知轴力N87以实际方向画出。

67840kN

34540kN3m3m4m4m12第18页，共71页。静定平面桁架

67840kN

34540kN3m3m4m4m124）再取结点3为研究对象，画出受力图。未知轴力N73，N75以受拉方向画出，已知轴力N37以实际方向画出。以后截取结点的顺序依次为：5，4，1。可保证每个结点不多于两个未知力，顺利求出每根杆的轴力。φXN34

N3140kNY∑X=0，----------------（1）∑Y=0， ---------------（2）由于sinφ=0.6，cosφ=0.8，由（1），（2）两式得：N34=32kN（受拉），N31=-24kN（受压）第19页，共71页。静定平面桁架例题2找出所有零杆

PP例题3找出图示结构的零杆。P34512第20页，共71页。静定平面桁架解：图中没有明显的零杆。由∑X=0，可知，12杆必为压力，N12<0P34512（I）设14杆为拉力，N14>0，取结点1为研究对象，作受力分析，取如图示坐标系。N13N14

N12XY考虑到14杆和24杆在结点4处构成‘K’形连接，且无荷载作用，则N14=-N24，即一杆受拉，另一杆受压。第21页，共71页。静定平面桁架再取结点2为研究对象，作受力分析，取如图示坐标系。综上（I）、（II）所述，14杆只能是零杆。由∑X=0，可知，24杆必为拉力，N24>0（II）设14杆为压力，N14<0，同理得：N24<0，为受压杆，这也与‘K’形杆的受力矛盾。这与‘K’形杆的受力矛盾。P34512N25N24N12YX第22页，共71页。静定平面桁架原结构去掉零杆后变为下图：通过此题的过程，我们要学会巧取坐标系，掌握受力图的画法。第23页，共71页。静定平面桁架（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象）1．截面法的应用条件：2．截面单杆的概念a

杆系A杆系取∑MA=0，求Na

取∑MB=0，求NcabcB截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过3个（1）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都交于同一点。则此杆为截面单杆。如图中的a、b、c杆第24页，共71页。静定平面桁架（2）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都彼此平行（或认为交于无穷远）。则此杆为截面单杆。如图中的a取∑Y=0，先求Nay，再由相似定理求Na

Ya

X3．计算例题第25页，共71页。静定平面桁架例题1求指定杆1，2，3的轴力P1

23

d4d解：II作I—I截面，取右半为研究对象得：N1=P（拉力）PN1

A∑MA=0，第26页，共71页。静定平面桁架∑Y=0，N2=-P（压力）∑MB=0，得：N3=-P（压力）AIIII123作II—II截面，取右半为研究对象，N2

N3PBP第27页，共71页。静定平面桁架例题2求Nb

b3d3dABPP解：直接结点法不能求解。必须用截面法，这就需要找截面单杆。为此，作截面I—I，取内部为研究对象。如图，Nb为截面单杆。APNb

第28页，共71页。静定平面桁架APNb∑MA=0，Nb的力臂不易求出。得：由相似定理，，得：（压力）∑MA=0，Nbx

NbyNb

B为此，把Nb沿其作用线延长至B点，然后分解，先求Nby第29页，共71页。静定平面桁架例题3解：直接结点法不能求解。必须用截面法，这就需要找截面单杆PdabdddII∑Y=0，易得：N1=0，123为此，作截面I—I，取右半部为研究对象。如图，N1为截面单杆。从而，N2=0，Na=0，N3=0AB求支反力PPP450

N1

XYP第30页，共71页。静定平面桁架为求Nb，取结点B为研究对象，XBNb

PY（拉力）∑X=0，BA第31页，共71页。静定平面桁架（三）结点法和截面法的联合应用2．技巧（1）结点法和截面法的联合应用，不分先后，简单、快捷求出内力为前提。（2）巧取隔离体，即巧作截面，避免求解联立方程。（3）尽力避免求未知力臂，可把所求力沿其作用线延长至恰当位置后分解，先求分力，再用相似定理求该力。（4）结点法求解时，选恰当的坐标系，尽力避免求联立方程。（5）有零杆的结构，先去掉零杆。在例题3中，先用截面法求出部分杆的轴力后，再用结点法求出b杆的轴力。在一道题中，结点法和截面法都得到了应用。求解桁架，不必拘泥与那种方法，只要能快速求出杆件的轴力，就是行之有效的。1．基本理论隔离体（研究对象），平衡力系第32页，共71页。2、弦杆2P1245∑M2=0N1×6+（2P－P/2）×4=0

N1=－P∑M5=0N4×6－（2P－P/2）×4=0

N4=PN1=－PN4=PP/2P2P2PN3N1N2N4ⅠⅠP/2P/2PPP4m4m4m4m3m3m12654123456ⅡⅡN1N5N6N43、斜杆∵结点6为K型结点。∴N6=－N5再由∑Y=0得：Y5－Y6+2P－P－P/2=0∴Y6=P/4∴N6=－N5=5P/12P/2P12652P4、竖杆取结点7为分离体。37由∑Y=0得：Y5+Y3+P+N2=0∴N2=－P/2PNN1N5N3N22P2P2P2P2P2P2P2P求指定杆的轴力。解:1、先求出反力。由于对称：N3=N5第33页，共71页。（四）对称性的利用对称结构在反对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值反号对称结构在正对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必等值同号FAyFByE点无荷载,红色杆不受力FAyFBy红色的杆不受力第34页，共71页。静定平面桁架例题求指定杆的轴力1F2dA3BHP2PPd2d4d2d解：1）支反力VA=VB=2P，HA=02）由对称性，结点E的两根斜杆轴力相同。取结点E为研究对象∑Y=0，2N1y=2P，得：N1y=P，YN1

X2PN1x=P用相似定理得：（拉力），N1=得N1N1yN1xFEH第35页，共71页。静定平面桁架3）作I—I截面，取右半为研究对象F123B

CD

N1N3PNCD∑ME=0，得：NCD=7P（拉力）II∑X=0，N1x+N3+NCD=0，得：N3=-8P（压力）H第36页，共71页。静定平面桁架4）作II—II截面，取右半为研究对象，把N2在B点分解∑MF=0，得：N2y·2d+2P·2d=NCD·d，得：N2y=3P/2N2

BFNCD2PIIII（拉力）由相似定理，N2=2N2yN2x第37页，共71页。静定平面桁架三、组合结构的计算梁式杆链杆1．组合结构的特点及计算过程①由链杆及梁式杆构成②先计算链杆的轴力，后计算梁式杆的内力③截面法时，避免截断梁式杆（受弯杆）第38页，共71页。静定平面桁架第39页，共71页。静定平面桁架例题1AB2m10KN/m2m2m2m2mGCFDEYAYB解:(1)求支座反力YA=YB=40KN2．计算例题求链杆的轴力和受弯杆件的弯矩图第40页，共71页。(2)求桁架杆内力ABYA2m10KN/m2m2m2m2mGFEYBDCDYAG10KN/mANDEXCYCCYA=YB=40KN∑Y=0YC+10×4–40=0YC=0取截面Ⅰ－Ⅰ左：NDE×2+10×4×2–40×4=0

NDE=40kN∑MC=0∑X=0XC+NDE=0XC=–40kN第41页，共71页。结点Ｄ：ABYA2m10KN/m2m2m2m2mGFEYBD40NDGNADC∑Y=0NDG+NADy=0NDG=–40kN∑X=0NADx=40kNNAD=(40/2)×2×√2=40√2kN

NADy=(40/2)×2=40kN第42页，共71页。求梁式杆弯矩:ABVA2m10KN/m2m2m2m2mGFEVBD40KN40KN40KN40√2kNCNDG=–40kNNAD=40√2kNNDE=40kNACG第43页，共71页。静定平面桁架ABGFC40KN40√2kN-40KN20KNm20KNmAB2m10KN/m2m2m2m2mGCFDE第44页，共71页。静定平面桁架例题25kN/m10kNG2m2m2m2m2m2m2mDEAB2mC∑MB=0，解：1）支座反力YA

YB∑Y=0，得：YB=22.5kN（向上）得：YA=27.5kN（向上）第45页，共71页。2）取结点A、B、C为研究对象，kN（压力），kN（拉力）kN（拉力），kN（压力）kN（压力），kN（拉力）NBEVBNBCBG

DEABCVANADANACNCDNCE

C22.527.5第46页，共71页。3）取结点D为研究对象，∑X=0，得：VDG=-25kN同样，取结点E为研究对象，得：VEH=25kN

909040405050NDG

VDG

DX5kN/m10kNG2m2m2m2m2m2m2mDEAB2mC-38.9-3.53.5-31.827.522.5第47页，共71页。静定平面桁架例题3AaEaB2aaa2a∑MD=0，得：即-----------------（1）qCD解：1）取整体为研究对象，YBYAYD第48页，共71页。静定平面桁架2）作I—I截面，取左半为研究对象，∑MC=0，得：，即----------------（2）

CDF

EB

C

YA

N1

VB

II第49页，共71页。静定平面桁架3）取结点B为研究对象，∑X=0，知，N1=N2

∑Y=0，得：YB+2N1y=0，--------（3）N2N1BXYB

Y取整体为研究对象，∑Y=0，得：YD=（向下）YA=0，YB=（向上），N1=N2=（压力）

CDF

EB

由（1）、（2）、（3）式得：即，第50页，共71页。静定平面桁架4）由结点E的平衡，5）

AFCD

E

BYNEF

NEC

EN2

XNEC=（拉力）NEF=（压力），

CDF

EB

2qa23qa2-4.5qaMF=2qa2（上侧受拉）第51页，共71页。静定平面桁架四、约束代替法图1所示结构，支座反力有4个，难以求解。几何构造分析也不易用刚片法则判断。P1P2

BCA

图12．约束代替法的思路1．约束代替法所解决的问题复杂结构，几何构造分析不易用刚片法则判断，从而没有清楚的求解途径。第52页，共71页。静定平面桁架P1P2

BCA

图1P1P2

BC

图21）去掉约束以约束力代替，再补充链杆使结构仍是静定的。2）按叠加法，图2所示结构内力可如下两种情况（图3、图4）的叠加把支座A处的约束反力用力X代替，假定把B、C结点补充链杆。如图2则，图2结构就是简单桁架，看作P1、P2、X三个荷载作用，易于求解。X第53页，共71页。静定平面桁架P1P2图4BC图3因此，先计算图3结构的，再计算图4结构的（是X的函数），然后，令：+=0，解出X，问题就解决了。3）为了使叠加的结果与原结构受力相同，只需保证叠加后，链杆BC的轴力为零。P1P2

BC

X第54页，共71页。静定平面桁架3．计算例题EFGPH3d例题1CABD3d解：1）拆除支座A的约束，以约束力X代替BXP2）增添BF杆。则体系变为易于判断的几何不变体系，如下图。第55页，共71页。静定平面桁架3）计算体系仅在X及仅在P作用下的结构内力BX

F易用结点法算得：B

FP

5）已知支座A的反力，就可计算其它支座的反力，从而可计算结构各杆的内力。4）令：，得：X=，即，支座A的反力易用结点法算得：第56页，共71页。静定平面桁架例题2qACFaEGaB2aaa2a解：1）拆除支座B的约束，以约束力X代替q

EGX2）增添EG杆。则体系变为易于判断的几何不变体系，如图。第57页，共71页。静定平面桁架3）计算体系仅在X及仅在q作用下的结构内力qAF

EGX=，，4）令：，得：X=从而，VA=+=0，VB=AEGBC2aaa2aaa第58页，共71页。静定平面桁架3）取结点B为研究对象，由∑X=0，知，N1=N2

由∑Y=0，得：VB+2N1y=0，N2N1BXVB

YN1=N2=（压力）即，4）由结点E的平衡，YNEF

NEH

EN2

XNEH=（拉力）NEF=（压力），qACa

aB2aaa2aEFGH第59页，共71页。静定平面桁架5）

AFCD

E

B2qa23qa2-4.5qa第60页，共71页。静定平面桁架题5—53：代替法的做法。PP

X1X2

第61页，共71页。静定平面桁架例题2求指定杆的轴力，N1，N2，N3P2P13

6ddd解：1）求支座反力，∑MO=0，得：即取整体为研究对象，OCDEFVDVEHFHC∑MO1=0，得：O1由对称性得：HF=HC=P第62页，共71页。PB2P13

6ddd2）作图示截面，∑ME=0，得：即取右半为研究对象，CEFD∑Y=0，得：3）取结点B为研究对象，（压力）得：N1=PP/2N1PN2

N4

AEPP/2第63页，共71页。静定平面桁架4）取结点A为研究对象，（压力）N1=AN3

0N4

PB2P13

6dddCEFD第64页，共71页。静定平面桁架例题32qaG1.5aA1B1.5a23qF1.5aCDE3a3a解：1）支座反力VC=VE=4qa得：YB=qa2）取AB为研究对象，∑MA=0,YB

AXB2qa第65页，共71页。静定平面桁架3）取DEB为研究对象，得：XB=2qaG

A1B23qF∑MD