学习张量必看一个学会张量张量分析课件

补充材料:张量分析初步高等复合材料力学AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陈玉丽航空科学与工程学院1补充材料:张量分析初步高等复合材料力学Advanced目录

引言

张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分AppendixA目录引言AppendixA引言

广义相对论（1915）、理论物理连续介质力学（固体力学、流体力学）现代力学的大部分文献都采用张量表示主要参考书:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.引言广义相对论（1915）、理论物理主要参考书:张量基本概念标量（零阶张量）例如：质量，温度质量密度应变能密度等等。其值与坐标系选取无关。

张量基本概念标量（零阶张量）张量基本概念矢量（一阶张量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。张量基本概念矢量（一阶张量）矢量（一阶张量）矢量u在笛卡尔坐标系中分解为其中u1,u2,u3

是u的三个分量，e1,

e2,e3是单位基矢量。张量基本概念矢量（一阶张量）其中u1,u2,u3是u的三个分矢量（一阶张量）既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则。张量基本概念矢量（一阶张量）既有大小又有方向性的物理量;张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u

分解式记法：分量记法：AppendixA.1张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法：AppendixA.1AppendixA.1张量基本概念指标符号用法三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：AppendixA.1张量基本概念指标符号用法爱因斯坦求和约定如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。张量基本概念爱因斯坦求和约定张量基本概念

由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围和i相同。张量基本概念由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：只要指标约定：

如果不标明取值范围，则拉丁指标i,j,k,…表示三维指标，取值1,2,3；希腊指标,,

,…均为二维指标，取值1,2。张量基本概念约定：张量基本概念

拉丁指标

希腊指标张量基本概念拉丁指标希腊指标张量基本概念二阶张量应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。三阶张量压电张量，等。四阶张量弹性张量，等。张量基本概念二阶张量张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；低阶张量的梯度；低阶张量的并积；更高阶张量的缩并，等。张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源张量基本概念应力张量张量基本概念应力张量张量基本概念张量的三种记法：实体记法：分解式记法：分量记法：张量基本概念张量的三种记法：张量基本概念张量基本概念爱因斯坦求和约定张量基本概念爱因斯坦求和约定采用指标符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和约定，写成：其中j是哑指标，i是自由指标。张量基本概念采用指标符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和约定，写成：其

例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为

（或）。矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。AppendixA.1张量基本概念例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：若i为自由指标★张量基本概念在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。例如：表达式在自由指标i取1，2，3时该式始终成立，即有张量基本概念★自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。i换成k★★张量基本概念同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系可简写成：场函数f(x1,x2,x3)的全微分：★张量基本概念24指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。例如：若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：★★张量基本概念25可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。一般说不能由等式两边消去ai导得但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。★张量基本概念26一般说不能由等式两边消去ai导得但若ai可以任意取值等式始终小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方程代表了nk个分量方程。在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。张量基本概念27小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程目录AppendixA

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分28目录AppendixA引言28符号ij与erst

ij符号

(Kroneckerdelta)

定义(笛卡尔坐标系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.对称性，由定义可知指标i和j是对称的，即29符号ij与erst

ij符号(Kronecker3.换标符号，具有换标作用。例如：2.ij

的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成的另一个指标，而自动消失。符号ij与erst

303.换标符号，具有换标作用。例如：2.ij的分量集合

类似地有符号ij与erst

31类似地有符号ij与erst

31erst符号(排列符号或置换符号，Eddington)

定义(笛卡尔坐标系)当r,s,t为正序排列时当r,s,t为逆序排列时当r,s,t中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。或符号ij与erst

32erst符号(排列符号或置换符号，Eddington)

特性共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0对其任何两个指标都是反对称的，即当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变

符号ij与erst

33特性符号ij与erst

33

常用实例三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：每个基矢量的模为1，即eiej＝1(当i＝j时)

不同基矢量互相正交，即eiej＝0

(当i≠j时)

上述两个性质可以用ij表示统一形式：eiej＝ij符号ij与erst

34常用实例符号ij与erst

34

当三个基矢量ei,ej,ek构成右手系时，有

而对于左手系，有：

符号ij与erst

35当三个基矢量ei,ej,ek构成右手系时，有2.矢量的点积：3.矢量的叉积(或称矢量积)：

如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。符号ij与erst

362.矢量的点积：如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。★符号ij与erst

37叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b★★★符号ij与erst

38★★★符号ij与erst

38三个矢量a,b,c的混合积是一个标量，其定义为：符号ij与erst

★若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当a,b,c构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。39三个矢量a,b,c的混合积是一个标量，其定义为：符号i由此可见符号ij和erst分别与矢量代数中的点积和叉积有关。利用(1)和(2)式有符号ij与erst

40由此可见符号ij和erst分别与矢量代数中的点积和叉4.三阶行列式的值符号ij与erst

414.三阶行列式的值符号ij与erst

41符号ij与erst

4.三阶行列式的值42符号ij与erst

4.三阶行列式的值42符号ij与erst

4.三阶行列式的值43符号ij与erst

4.三阶行列式的值435.e-

恒等式，其一般形式为：即退化形式为：符号ij与erst

445.e-恒等式，其一般形式为：符号ij与erst

1.平衡方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？45xyz1.平衡方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？45xyz2.几何方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？462.几何方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？463.本构方程（各向同性材料）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]473.本构方程（各向同性材料）：如何用张量改写弹性力学基本4.变形协调方程（平面应变）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：二维指标为希腊字母,,,…，取值1,2。484.变形协调方程（平面应变）：如何用张量改写弹性力学基本目录AppendixA

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定

符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分49目录AppendixA引言49坐标与坐标转换笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)50坐标与坐标转换笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)50

笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)坐标变化时，矢径的变化为

坐标与坐标转换51笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)坐标与坐标转换51

任意坐标系坐标变化时，矢径的变化为

坐标与坐标转换52任意坐标系坐标与坐标转换52

概念

坐标线

当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。

基矢量

矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi

坐标与坐标转换53概念坐标与坐标转换53

参考架空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。对笛卡尔坐标系：坐标与坐标转换54参考架坐标与坐标转换54三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基坐标与坐标转换55三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基坐标与坐标转换5欧氏空间中的一般坐标系现在的坐标线可能不再正交；不同点处的坐标线可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能随点而异；各点处的参考架不再是正交标准化基。

坐标与坐标转换56欧氏空间中的一般坐标系坐标与坐标转换56

坐标转换坐标与坐标转换57坐标转换坐标与坐标转换57将新基对老基

分解：转换系数：反之：

坐标与坐标转换58将新基对老基分解：坐标与坐标转换58向新坐标轴

投影，即用点乘上式两边，则左边：右边：坐标与坐标转换59向新坐标轴投影，即用点乘上式两边，则左边：由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式

经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式

坐标与坐标转换60由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式坐标与坐标转换60坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合)

坐标与坐标转换61坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合)坐标与坐标转换61

坐标转换的一般定义设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，和是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换。其逆变换为对(*)式微分(*)坐标与坐标转换62坐标转换的一般定义(*)坐标与坐标转换62处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用唯一确定其系数行列式(雅克比行列式)坐标与坐标转换63其系数行列式(雅克比行列式)坐标与坐标转换63容许转换由单值、一阶偏导数连续、且J处处不为零的转换函数所实现的坐标转换正常转换

J

处处为正，把右手系转换右手系反常转换

J

处处为负，把右手系转换成左手系坐标与坐标转换64容许转换由单值、一阶偏导数连续、且J处处不为零的转换目录AppendixA

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换

张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分65目录AppendixA引言65

张量的分量转换规律张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关。所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性。张量的分量转换规律66张量的分量转换规律张量的分量转换规律66

标量分量转换规律设一个标量在新、老坐标系中的值为t和t’，则矢量分量转换规律

张量的分量转换规律67标量分量转换规律张量的分量转换规律67张量分量转换规律以三维空间的二阶张量为例，其分解式是：其中，Tij

为张量分量，eiej称为基矢量，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。张量的分量转换规律68张量的分量表示法张量的实体表示法（并矢表示法）张量分量转换规律张量的分量转换规律68张量的分量表示法张量

张量分量转换规律即张量的分量转换规律69张量分量转换规律张量的分量转换规律69高阶张量的分量满足如下转换规律张量的分量转换规律70高阶张量的分量满足如下转换规律张量的分量转换规律70注：在一个表示全部张量分量集合的指标符号中，自由指标的数目等于张量的阶数K，每个自由指标的取值范围等于张量的维数n，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以n维K阶张量共有nK个分量。张量的分量转换规律71注：张量的分量转换规律71

张量方程

定义每项都由张量组成的方程称为张量方程。

特性具有与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。张量的分量转换规律72张量方程张量的分量转换规律72目录

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程

张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分73目录引言73张量代数&商判则

相等若两个张量和相等则对应分量相等若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。74张量代数&商判则相等74

和、差两个同阶张量与之和(或差)是另一个同阶张量其分量关系为张量代数&商判则75和、差张量代数&商判则75

数积张量A和一个数(或标量函数)相乘得另一同维同阶张量T其分量关系为张量代数&商判则76数积张量代数&商判则76

并积两个同维不同阶（或同阶）张量A和B的并积T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量。设则其分量关系为注意：张量代数&商判则77并积注意：张量代数&商判则77

缩并若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。

其分量关系为张量代数&商判则78缩并张量代数&商判则78若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若张量代数&商判则

缩并79若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若张

内积并积加缩并运算称为内积。例如和

的一种内积是其分量关系为张量代数&商判则80内积张量代数&商判则80

点积前张量A的最后基矢量与后张量B的第一基矢量缩并的结果，记为，是最常用的一种内积。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。张量代数&商判则81点积张量代数&商判则81对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：并双点积串双点积张量代数&商判则

双点积82对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两

并矢把K个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个K阶张量。矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。张量代数&商判则83并矢矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任和任意矢量的内积（包括点积）为K-1阶张量的量一定是个K阶张量。一个K阶张量连续地和n个任意矢量求内积，其缩并的结果是一个K-n阶张量。张量代数&商判则

商判则84一个K阶张量连续地和n个任意矢量求内积，其缩并的结果OperationNumberoforder并积差乘-1点乘-2双点乘-4张量乘法运算和结果的阶数85OperationNumberoforder并积目录

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则

常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分86目录引言86特殊张量，主方向与主分量

常用特殊张量零张量则：

87特殊张量，主方向与主分量常用特殊张量87

单位张量

笛卡尔坐标系中分量为ij的二阶张量I，即单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊张量，主方向与主分量88单位张量单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：特殊张特殊张量，主方向与主分量

球形张量主对角分量为，其余分量为零的二阶张量。它是数

与单位张量的数积。即89特殊张量，主方向与主分量球形张量89

转置张量对于二阶张量，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量称为张量T的转置张量。特殊张量，主方向与主分量90转置张量特殊张量，主方向与主分量90

对称张量

反对称张量特殊张量，主方向与主分量91对称张量特殊张量，主方向与主分量91转置张量等于其负张量的张量。即满足反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张量的独立分量只有三个。n维二阶对称张量有

个独立分量。特殊张量，主方向与主分量

反对称张量92特殊张量，主方向与主分量反对称张量92任意二阶张量T均可分解为对称张量S和反对称张量A之和：特殊张量，主方向与主分量

加法分解93任意二阶张量T均可分解为对称张量S和反对称张量A任意二阶对称张量S均可分解为球形张量P和偏斜张量D之和：其中特殊张量，主方向与主分量

偏斜张量

94任意二阶对称张量S均可分解为球形张量P和偏斜张量D偏斜张量为偏斜张量三个对角分量之和为零：特殊张量，主方向与主分量

偏斜张量

95偏斜张量为特殊张量，主方向与主分量偏斜张量95笛卡尔系中以erst为分量的三阶张量，又称排列张量特殊张量，主方向与主分量

置换张量96特殊张量，主方向与主分量置换张量96所有分量均不因坐标转换而改变的张量。例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。特殊张量，主方向与主分量

各向同性张量97所有分量均不因坐标转换而改变的张量。特殊张量，主方向与主分量

主方向与主分量二阶张量可定义为一种由矢量a到矢量b的线性变换，即一般说，矢量a与b并不同向。对于给定的任意二阶张量T能否找到某个矢量，它在线性变换后能保持方向不变，即或特殊张量，主方向与主分量98主方向与主分量特殊张量，主方向与主分量98其中是标量。上式是求j

的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零特殊张量，主方向与主分量99其中是标量。上式是求j的线性齐次代数方程组，存在非零这是关于的特征方程；其中是[Tij]的主对角分量之和，称为张量T的迹，记作trT是矩阵[Tij]的二阶主子式之和。

特殊张量，主方向与主分量100这是关于的特征方程；其中特殊张量，主方向与主分量100是矩阵的行列式，记作detT。特征方程的三个特征根称为张量T的主分量。当T是实对称张量时，存在三个实特征根

特殊张量，主方向与主分量101是矩阵的行列式，记作detT。特殊张量，主方向与主分量101由特征方程求特征根：由每个(k)

分别求特征方向：方向矢量j(k)特殊张量，主方向与主分量102由特征方程求特征根：由每个(k)分别求特征方向：方向矢量由上述方法求得的三个单位矢量(k)＝j(k)ej称为张量T的主方向。注：若(1),(2),(3)互不相等，则(1),(2),(3)互相垂直。对于二重根情况，例如(1)＝(2)，则垂直于(3)的任何方向都是主方向，可任选其中两个互相垂直方向作为(1)和(2)。对于三重根情况，例如(1)＝(2)＝(3)，则任何方向都是主方向，可任选三个互相垂直的方向作为(1),(2)和(3)。特殊张量，主方向与主分量103由上述方法求得的三个单位矢量(k)＝j(k)ej称为注

主坐标系沿主方向(1),

(2),(3)的正交坐标系称为张量T的主坐标系。在主坐标系中，有当T为应力张量时，(k)就是三个主应力1,2和3特殊张量，主方向与主分量104主坐标系沿主方向(1),(2),(3)的正交坐标系特征方程是一个与坐标选择无关的普遍方程，它的三个系数I1,I2和I3分别称为张量T的第一、第二和第三不变量。

特征方程的根(k)也是三个不变量，相应的主方向(k)也与坐标无关。特殊张量，主方向与主分量

不变量105特征方程是一个与坐标选择无关的普遍方程，它的三个系数I1,目录

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量

张量函数及其微积分106目录引言106张量函数及其微积分在空间所论域内,每点定义的同阶张量,构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。这里简要介绍笛卡儿坐标系中的张量分析。

107张量函数及其微积分在空间所论域内,每点定义的同阶张量,构A:标量的矢量函数张量函数一个张量F依赖于另一张量T而变化矢量u是t的函数，ui也是t的函数，如ui可导，则矢量u对t的导数为:即张量函数及其微积分108A:标量的矢量函数张量函数矢量u是t的函数，ui也B:矢量的标量函数标量

f是矢量u的函数即若f

可连续偏导,则f对u的导数是一个矢量张量函数及其微积分109B:矢量的标量函数标量f是矢量u的函数即若f可连矢量u是矢量v的函数，即若ui的偏导连续，则u对v的导数是一个二阶张量张量函数及其微积分C:矢量的矢量函数110矢量u是矢量v的函数，即若ui的偏导连续，则u对v的导数是一若f对二阶张量Tij的偏导连续,则若标量f是二阶张量Tij的函数,即f相对于T的导数是二阶张量张量函数及其微积分D:二阶张量的标量函数111若f对二阶张量Tij的偏导连续,则若标量f是二阶若φ是定义在空间区域的张量，φ是一个张量场，则则φ对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为则φ的导数和微分记为张量函数及其微积分E:张量场112若φ是定义在空间区域的张量，φ是一个张量场，则则φ对坐标的一

Hamilton算子φ的导数和微分可用Hamilton算子改写为右梯度同样定义左梯度张量函数及其微积分张量的梯度为比原张量高一阶的新张量梯度113Hamilton算子φ的导数和微分可用Hamilton张量函数及其微积分散度左散度

右散度

张量的散度为比原张量低一阶的新张量114张量函数及其微积分散度左散度右散度张量的散度为比原张张量函数及其微积分旋度左旋度

右旋度

张量的旋度为与原张量具有相同阶数的新张量115张量函数及其微积分旋度左旋度右旋度张量的旋度为与原张张量函数及其微积分

高斯公式（散度定理）式中，V表示空间的某一区域，S是这一区域的表面，n=niei是S的外法线单位矢量,φ

是V中具有连续偏导的场函数。116张量函数及其微积分高斯公式（散度定理）式中，V表示空间V表示空间的某一区域，S是这一区域的表面，n=niei是S的外法线单位矢量,φ

是V中任意阶的光滑张量场。用“○”表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则张量函数及其微积分

高斯公式117V表示空间的某一区域，S是这一区域的表面，n=ni118118119

学习目标：广告分类及特点。广告的写法

学法指导：结合已有见闻了解广告用法。学会联想，激发想象力，学会广告写作。课后多观察，多积累素材，借助媒体，借鉴经验，处处留心皆广告。

本节课重点：学习目标1、2、广告标题写法。119

学习目标：120导入：相信同学们对广告这个字眼是再熟悉不过了，随着现代科技的发展，人们生活水平的日益提高，传媒手段的多元化，广告如漫天飞雪扑面而来，给人们的生活带来意想不到的影响。可以说人人都离不开广告。通过今天的学习，同学们对广告会有更深的认识。120导入：相信同学们对广告这个字眼是再熟悉不过了，随着现代121广告概念：广义：包括公益性宣传广告和商业行为广告。狭义：以盈利为目的的商业行为的广告。商业广告概念：商业广告是一种有计划、有针对性地通过各种媒体向公众传递商品、服务信息，以促进销售或有偿服务的经济应用文。

“广告”一词，来源于西方。英语称之为Advertise。源出于拉丁语Advetteze，含义为‘注意’、‘诱导’。

121广告概念：广义：122分类：

按传播媒体形式分：报刊杂志广告广播电视广告路牌广告橱窗展示广告邮寄广告按作用分：商品广告招聘广告服务广告122分类：

按传播媒体形式分：报刊杂志广告123广告词，也称广告文案或广告文稿，是指在广告作品中用以表达广告主题和创意的语言文字，它是广告的核心。123广告词，也称广告文案或广告文稿，是指在广告作品中用以表124标题作品欣赏：标题：谁来电，让我心头一震（ERICSSON手机杂志广告）124标题作品欣赏：标题：谁来电，让我心头一震（ERICSS125竹叶青茶叶平面广告（香篇）：文案:暗香浮动竹叶青，品“竹叶青”，细闻其香，虽无茉莉之馥都，但有山水之清芳，至纯至真，此刻，品茗渐入佳境……125竹叶青茶叶平面广告（香篇）：文案:暗香浮动竹叶青，126正文写法：

作为广告主体，要求提供商品细节的部分：商品的正式名称、规格型号、性能特点、使用成果、所得荣誉、售后服务以及优惠条件等。服务性企业，介绍服务设施、服务内容。文字要求简明扼要、通俗易懂，少用专业术语。具体要求：

1、主题突出，立意新颖

2、内容真实。

3、语言简练生动。126正文写法：作为广告主体，要求提供商品细节127正文证明体。比如：山东兰陵美酒，曾荣获1915年巴拿马国际博览会金质奖章。1980年获山东优质产品证书，1987年获“中国第一届黄酒节”一等奖。陈述体。大致分为条款式和文章式两种。比如，广西永福制药厂的广告：“永福县是名贵特产罗汉果之乡，罗汉果味甜、性凉，具有清热润肺、止咳化痰、生津止渴、润肠通便、益肝健脾以及促进肠胃机能、降低血压等功效”。对话体。形式活泼，有亲切感。127正文证明体。比如：山东兰陵美酒，曾荣获1915年128ΧΧ牌超浓缩洗衣粉

该产品全国首创，使用方便，效力极强，特别经济，省时省力，最佳选择。简析文从字顺，但没有意象，更无生动感人的艺术意境。没有随文，缺少相关商品信息。128简析文从字顺，但没有意象，更无生动感人的艺术意境。没有129美国一家电话公司的广告电视画面：傍晚，一对老年夫妇正在餐厅里用餐，电话铃响，老妇人起身接电话，一会儿，老妇人回到餐桌旁。老先生：谁的电话？老妇人：是女儿打来的。老先生：有什么事？老妇人：没事。老先生：没事？几千里地打来电话？老妇人：（呜咽）她说她爱我们。（两位老人相视无言，激动不已。）旁白：用电话传递你的爱吧！

129美国一家电话公司的广告130

简析这是一则对话体广告。标题使用直接式标题，让人一看就清楚。正文描绘了一幅普通的生活画面，蕴涵着深切的亲情与挚爱。以情感人。强烈的感情诉求。最后的旁白画龙点睛地揭示广告的主旨，使人恍然有悟，感染力强。

130简析这是一则对话体广告。标题使用直接式标131广告标语

也叫广告口号，它是企业在一定时期内反复使用的特定宣传语言。一般有以下几种形式：

1、赞扬式

如：白里透红、与众不同。

2、号召式

如：今年过节不收礼，收礼只收脑白金。

3、情感式

4、综合式131广告标语也叫广告口号，它是企业在132练习：某餐馆的广告词是:”好吃,您告诉大家;不好吃,您告诉我们。”这两句话看似挺自信,但仔细想想,这样说显得该餐馆对自己的饭菜质量还是没有十分把握。如果稍做改动，改为：“___________________________________________________”132练习：某餐馆的广告词是:”好吃,您告诉大家;不好吃,您快乐高尔夫青少年暑期活动计划

快乐高尔夫青少年暑期活动计划青少年兴趣培养计划云集达体育发展有限公司青少年兴趣培养计划云集达体育发展有限公司补充材料:张量分析初步高等复合材料力学AdvancedMechanicsofCompositeMaterials陈玉丽航空科学与工程学院135补充材料:张量分析初步高等复合材料力学Advanced目录

引言

张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分AppendixA目录引言AppendixA引言

广义相对论（1915）、理论物理连续介质力学（固体力学、流体力学）现代力学的大部分文献都采用张量表示主要参考书:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.引言广义相对论（1915）、理论物理主要参考书:张量基本概念标量（零阶张量）例如：质量，温度质量密度应变能密度等等。其值与坐标系选取无关。

张量基本概念标量（零阶张量）张量基本概念矢量（一阶张量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。张量基本概念矢量（一阶张量）矢量（一阶张量）矢量u在笛卡尔坐标系中分解为其中u1,u2,u3

是u的三个分量，e1,

e2,e3是单位基矢量。张量基本概念矢量（一阶张量）其中u1,u2,u3是u的三个分矢量（一阶张量）既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则。张量基本概念矢量（一阶张量）既有大小又有方向性的物理量;张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u

分解式记法：分量记法：AppendixA.1张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法：AppendixA.1AppendixA.1张量基本概念指标符号用法三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：AppendixA.1张量基本概念指标符号用法爱因斯坦求和约定如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。张量基本概念爱因斯坦求和约定张量基本概念

由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围和i相同。张量基本概念由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：只要指标约定：

如果不标明取值范围，则拉丁指标i,j,k,…表示三维指标，取值1,2,3；希腊指标,,

,…均为二维指标，取值1,2。张量基本概念约定：张量基本概念

拉丁指标

希腊指标张量基本概念拉丁指标希腊指标张量基本概念二阶张量应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。三阶张量压电张量，等。四阶张量弹性张量，等。张量基本概念二阶张量张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；低阶张量的梯度；低阶张量的并积；更高阶张量的缩并，等。张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源张量基本概念应力张量张量基本概念应力张量张量基本概念张量的三种记法：实体记法：分解式记法：分量记法：张量基本概念张量的三种记法：张量基本概念张量基本概念爱因斯坦求和约定张量基本概念爱因斯坦求和约定采用指标符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和约定，写成：其中j是哑指标，i是自由指标。张量基本概念采用指标符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和约定，写成：其

例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为

（或）。矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。AppendixA.1张量基本概念例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：若i为自由指标★张量基本概念在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。例如：表达式在自由指标i取1，2，3时该式始终成立，即有张量基本概念★自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。i换成k★★张量基本概念同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系可简写成：场函数f(x1,x2,x3)的全微分：★张量基本概念158指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。例如：若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：★★张量基本概念159可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。一般说不能由等式两边消去ai导得但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。★张量基本概念160一般说不能由等式两边消去ai导得但若ai可以任意取值等式始终小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方程代表了nk个分量方程。在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。张量基本概念161小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程目录AppendixA

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分162目录AppendixA引言28符号ij与erst

ij符号

(Kroneckerdelta)

定义(笛卡尔坐标系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.对称性，由定义可知指标i和j是对称的，即163符号ij与erst

ij符号(Kronecker3.换标符号，具有换标作用。例如：2.ij

的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成的另一个指标，而自动消失。符号ij与erst

1643.换标符号，具有换标作用。例如：2.ij的分量集合

类似地有符号ij与erst

165类似地有符号ij与erst

31erst符号(排列符号或置换符号，Eddington)

定义(笛卡尔坐标系)当r,s,t为正序排列时当r,s,t为逆序排列时当r,s,t中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。或符号ij与erst

166erst符号(排列符号或置换符号，Eddington)

特性共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0对其任何两个指标都是反对称的，即当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变

符号ij与erst

167特性符号ij与erst

33

常用实例三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：每个基矢量的模为1，即eiej＝1(当i＝j时)

不同基矢量互相正交，即eiej＝0

(当i≠j时)

上述两个性质可以用ij表示统一形式：eiej＝ij符号ij与erst

168常用实例符号ij与erst

34

当三个基矢量ei,ej,ek构成右手系时，有

而对于左手系，有：

符号ij与erst

169当三个基矢量ei,ej,ek构成右手系时，有2.矢量的点积：3.矢量的叉积(或称矢量积)：

如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。符号ij与erst

1702.矢量的点积：如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。★符号ij与erst

171叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b★★★符号ij与erst

172★★★符号ij与erst

38三个矢量a,b,c的混合积是一个标量，其定义为：符号ij与erst

★若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。当a,b,c构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。173三个矢量a,b,c的混合积是一个标量，其定义为：符号i由此可见符号ij和erst分别与矢量代数中的点积和叉积有关。利用(1)和(2)式有符号ij与erst

174由此可见符号ij和erst分别与矢量代数中的点积和叉4.三阶行列式的值符号ij与erst

1754.三阶行列式的值符号ij与erst

41符号ij与erst

4.三阶行列式的值176符号ij与erst

4.三阶行列式的值42符号ij与erst

4.三阶行列式的值177符号ij与erst

4.三阶行列式的值435.e-

恒等式，其一般形式为：即退化形式为：符号ij与erst

1785.e-恒等式，其一般形式为：符号ij与erst

1.平衡方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？179xyz1.平衡方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？45xyz2.几何方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？1802.几何方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？463.本构方程（各向同性材料）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]1813.本构方程（各向同性材料）：如何用张量改写弹性力学基本4.变形协调方程（平面应变）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：二维指标为希腊字母,,,…，取值1,2。1824.变形协调方程（平面应变）：如何用张量改写弹性力学基本目录AppendixA

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定

符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分183目录AppendixA引言49坐标与坐标转换笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)184坐标与坐标转换笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)50

笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)坐标变化时，矢径的变化为

坐标与坐标转换185笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)坐标与坐标转换51

任意坐标系坐标变化时，矢径的变化为

坐标与坐标转换186任意坐标系坐标与坐标转换52

概念

坐标线

当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。

基矢量

矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi

坐标与坐标转换187概念坐标与坐标转换53

参考架空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。对笛卡尔坐标系：坐标与坐标转换188参考架坐标与坐标转换54三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基坐标与坐标转换189三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基坐标与坐标转换5欧氏空间中的一般坐标系现在的坐标线可能不再正交；不同点处的坐标线可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能随点而异；各点处的参考架不再是正交标准化基。

坐标与坐标转换190欧氏空间中的一般坐标系坐标与坐标转换56

坐标转换坐标与坐标转换191坐标转换坐标与坐标转换57将新基对老基

分解：转换系数：反之：

坐标与坐标转换192将新基对老基分解：坐标与坐标转换58向新坐标轴

投影，即用点乘上式两边，则左边：右边：坐标与坐标转换193向新坐标轴投影，即用点乘上式两边，则左边：由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式

经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式

坐标与坐标转换194由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式坐标与坐标转换60坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合)

坐标与坐标转换195坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合)坐标与坐标转换61

坐标转换的一般定义设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，和是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换。其逆变换为对(*)式微分(*)坐标与坐标转换196坐标转换的一般定义(*)坐标与坐标转换62处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用唯一确定其系数行列式(雅克比行列式)坐标与坐标转换197其系数行列式(雅克比行列式)坐标与坐标转换63容许转换由单值、一阶偏导数连续、且J处处不为零的转换函数所实现的坐标转换正常转换

J

处处为正，把右手系转换右手系反常转换

J

处处为负，把右手系转换成左手系坐标与坐标转换198容许转换由单值、一阶偏导数连续、且J处处不为零的转换目录AppendixA

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换

张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分199目录AppendixA引言65

张量的分量转换规律张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关。所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性。张量的分量转换规律200张量的分量转换规律张量的分量转换规律66

标量分量转换规律设一个标量在新、老坐标系中的值为t和t’，则矢量分量转换规律

张量的分量转换规律201标量分量转换规律张量的分量转换规律67张量分量转换规律以三维空间的二阶张量为例，其分解式是：其中，Tij

为张量分量，eiej称为基矢量，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。张量的分量转换规律202张量的分量表示法张量的实体表示法（并矢表示法）张量分量转换规律张量的分量转换规律68张量的分量表示法张量

张量分量转换规律即张量的分量转换规律203张量分量转换规律张量的分量转换规律69高阶张量的分量满足如下转换规律张量的分量转换规律204高阶张量的分量满足如下转换规律张量的分量转换规律70注：在一个表示全部张量分量集合的指标符号中，自由指标的数目等于张量的阶数K，每个自由指标的取值范围等于张量的维数n，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以n维K阶张量共有nK个分量。张量的分量转换规律205注：张量的分量转换规律71

张量方程

定义每项都由张量组成的方程称为张量方程。

特性具有与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。张量的分量转换规律206张量方程张量的分量转换规律72目录

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程

张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分207目录引言73张量代数&商判则

相等若两个张量和相等则对应分量相等若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。208张量代数&商判则相等74

和、差两个同阶张量与之和(或差)是另一个同阶张量其分量关系为张量代数&商判则209和、差张量代数&商判则75

数积张量A和一个数(或标量函数)相乘得另一同维同阶张量T其分量关系为张量代数&商判则210数积张量代数&商判则76

并积两个同维不同阶（或同阶）张量A和B的并积T是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量。设则其分量关系为注意：张量代数&商判则211并积注意：张量代数&商判则77

缩并若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。

其分量关系为张量代数&商判则212缩并张量代数&商判则78若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若张量代数&商判则

缩并213若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若张

内积并积加缩并运算称为内积。例如和

的一种内积是其分量关系为张量代数&商判则214内积张量代数&商判则80

点积前张量A的最后基矢量与后张量B的第一基矢量缩并的结果，记为，是最常用的一种内积。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。张量代数&商判则215点积张量代数&商判则81对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：并双点积串双点积张量代数&商判则

双点积216对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两

并矢把K个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个K阶张量。矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。张量代数&商判则217并矢矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任和任意矢量的内积（包括点积）为K-1阶张量的量一定是个K阶张量。一个K阶张量连续地和n个任意矢量求内积，其缩并的结果是一个K-n阶张量。张量代数&商判则

商判则218一个K阶张量连续地和n个任意矢量求内积，其缩并的结果OperationNumberoforder并积差乘-1点乘-2双点乘-4张量乘法运算和结果的阶数219OperationNumberoforder并积目录

引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst

坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则

常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分220目录引言86特殊张量，主方向与主分量

常用特殊张量零张量则：

221特殊张量，主方向与主分量常用特殊张量87

单位张量

笛卡尔坐标系中分量为ij的二阶张量I，即单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊张量，主方向与主分量222单位张量单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：特殊张特殊张量，主方向与主分量

球形张量主对角分量为，其余分量为零的二阶张量。它是数

与单位张量的数积。即223特殊张量，主方向与主分量球形张量89

转置张量对于二阶张量，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量称为张量T的转置张量。特殊张量，主方向与主分量224转置张量特殊张量，主方向与主分量90

对称张量

反对称张量特殊张量，主方向与主分量225对称张量特殊张量，主方向与主分量91转置张量等于其负张量的张量。即满足反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张量的独立分量只有三个。n维二阶对称张量有

个独立分量。特殊张量，主方向与主分量

反对称张量226特殊张量，主方向与主分量反对称张量92任意二阶张量T均可分解为对称张量S和反对称张量A之和：特殊张量，主方向与主分量

加法分解227任意二阶张量T均可分解为对称张量S和反对称张量A任意二阶对称张量S均可分解为球形张量P和偏斜张量D之和：其中特殊张量，主方向与主分量

偏斜张量

228任意二阶对称张量S均可分解为球形张量P和偏斜张量D偏斜张量为偏斜张量三个对角分量之和为零：特殊张量，主方向与主分量

偏斜张量

229偏斜张量为特殊张量，主方向与主分量偏斜张量95笛卡尔系中以erst为分量的三阶张量，又称排列张量特殊张量，主方向与主分量

置换张量230特殊张量，主方向与主分量置换张量96所有分量均不因坐标转换而改变的张量。例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。特殊张量，主方向与主分量

各向同性张量231所有分量均不因坐标转换而改变的张量。特殊张量，主方向与主分量

主方向与主分量二阶张量可定义为一种由矢量a到矢量b的线性变换，即一般说，矢量a与b并不同向。对于给定的任意二阶张量T能否找到某个矢量，它在线性变换后能保持方向不变，即或特殊张量，主方向与主分量232主方向与主分量特殊张量，主方向与主分量98其中是标量。上式是求j

的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零特殊张量，主方向与主分量233其中是标量。上式是求j的线性齐次代数方程组，存在非零这是关于的特征方程；其中是[Tij]的主对角分量之和，称为张量T的迹，记作trT是矩阵[Tij]的二阶主子式之和。

特殊张量，主方向与主分量234这是关于的特征方程；其中特殊张量，主方向与主分量100是矩阵的行列式，记作detT。特征方程的三个特征根称为张量T的主分量。当T是实对称张量时，存在三个实特征根

特殊张量，主方向与主分量235是矩阵的行列式，记作detT。特殊张量，主方向与主分量101由特征方程求特征根：由每个(k)

分别求特征方向：方向矢量j