自动控制原理第6章-频域分析课件

自动控制原理第6章频域分析自动控制原理第6章频域分析12022/12/2第6章频域分析26.1频率特性的基本概念本章内容6.2奈奎斯特图分析法6.3开环系统的伯德图分析法6.4系统的闭环频率特性6.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系6.6Matlab在频域分析中的应用2022/12/1第6章频域分析26.1频率特性的基本概念2引言时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。建立在频率特性基础上的分析控制系统的频域法补缺了时域分析法中存在的不足，因而获得了广泛的应用。2022/12/2第6章频域分析3引言时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、3引言频域分析法具有以下特点：（1）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。（2）频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有相应的对应关系。（3）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。2022/12/2第6章频域分析4引言频域分析法具有以下特点：2022/12/1第6章46.1频率特性的基本概念6.1.1RC网络其微分方程为：2022/12/2第6章频域分析5图6-1RC电路6.1频率特性的基本概念6.1.1RC网络2022/12/56.1频率特性的基本概念令T=RC，为电路的惯性时间常数，则网络的传递函数为：若在网络输入正弦电压，即则有2022/12/2第6章频域分析66.1频率特性的基本概念令T=RC，为电路的惯性时间常数，66.1频率特性的基本概念经拉氏反变换，得到电容两端的电压为：上式中，c(t)第一项为瞬态分量，随着时问的无限增长瞬态分量衰减为零；第二项为稳态分量。2022/12/2第6章频域分析76.1频率特性的基本概念经拉氏反变换，得到电容两端的电压为：76.1频率特性的基本概念令，显然，RC电路的稳态响应为可知，当输入为正弦信号时，网络的稳态输出仍然是与输入电压同频率的正弦信号，输出的幅值是输入的

倍。相角比输入滞后了

。2022/12/2第6章频域分析86.1频率特性的基本概念令86.1频率特性的基本概念将输出的稳态响应和输入正弦信号用复数向量表示，则有上式即称为RC网络的频率特性。其中，RC网络的幅频特性为相频特性为2022/12/2第6章频域分析96.1频率特性的基本概念将输出的稳态响应和输入正弦信号用复数96.1频率特性的基本概念6.1.2频率特性的定义系统在正弦信号的作用下，其输出的稳态分量称为频率响应设线性定常系统的传递函数为G(s)，输入量和输出量分别为r(t)和c(t)，且输入信号为正弦信号拉氏变换为2022/12/2第6章频域分析10G(s)c(t)6.1频率特性的基本概念6.1.2频率特性的定义2022/106.1频率特性的基本概念可以得到设系统输出变量中的稳态分量和瞬态分量分别为cs(t)和ct(t)，则有2022/12/2第6章频域分析116.1频率特性的基本概念可以得到2022/12/1第6章频116.1频率特性的基本概念其中A1和A2为待定系数，则有上两式代入最上面公式，并利用数学中的欧拉公式，可以推导出2022/12/2第6章频域分析126.1频率特性的基本概念其中A1和A2为待定系数，则有202126.1频率特性的基本概念式中，就是令G(s)中的s等于，所得到的复数量；

为复量

的模，

为复量

的相位，也就是输出信号对于输入信号的相位差。2022/12/2第6章频域分析136.1频率特性的基本概念2022/12/1第6章频域分析1136.1频率特性的基本概念综上所述，对于线性定常系统，若传递函数为G(s)，当输入量是正弦信号是，其稳态响应cs(t)是同一频率的正弦信号，此时，称稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比，即为系统的幅频特性，称cs(t)与r(t)之间的相位差

为系统的相频特性幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性，或称频率响应。2022/12/2第6章频域分析146.1频率特性的基本概念综上所述，对于线性定常系统，若传递函146.1频率特性的基本概念6.1.3频率特性的表示方法频率特性有3种表示方法：1、指数表示2、极坐标表示2022/12/2第6章频域分析156.1频率特性的基本概念6.1.3频率特性的表示方法202156.1频率特性的基本概念3、直角坐标表示上式中，

称为实频特性，

称为虚频特性，其中2022/12/2第6章频域分析166.1频率特性的基本概念3、直角坐标表示2022/12/1第166.1频率特性的基本概念6.1.4频率特性与传递函数之间的关系2022/12/2第6章频域分析176.1频率特性的基本概念6.1.4频率特性与传递函数之间的176.1频率特性的基本概念6.1.5频率特性的性质(1)频率特性描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。因此，频率特性也是一种数学模型。(2)频率特性是在系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。可将频率特性的概念扩展为线性系统正弦输入作用下，输出稳态分量和输入的复数比。因此，频率特性是一种稳态响应。2022/12/2第6章频域分析186.1频率特性的基本概念6.1.5频率特性的性质2022/186.1频率特性的基本概念(3)系统的稳输出量与输入量具有相同的频率，且

、、都是频率ω的复变函数，都随频率ω的改变而改变，而与输入幅值无关。(4)频率特性反映了系统性能，不同的性能指标对系统频率特性提出不同的要求。反之，由系统的频率特性也可确定系统的性能指标。2022/12/2第6章频域分析196.1频率特性的基本概念(3)系统的稳输出量与输入量具有相同196.1频率特性的基本概念(5)实际的自动控制系统都具有ω升高、幅频特性

衰减的特性，该特性称为低通滤波器特性。(6)频率特性一般适用于线性元件或系统的分析，也可推广应用到某些非线性系统的分析。(7)频率特性的分析方法是一种图解分析，其最大的特点就是将系统的频率特性用曲线表示出来，计算量小，非常直观。常用的分析方法有两种：奈奎斯特图(Nyquist图)分析法和伯德图(Bode图)分析法。2022/12/2第6章频域分析206.1频率特性的基本概念(5)实际的自动控制系统都具有ω升高206.2奈奎斯特图分析法奈奎斯特(Nyquist)图又称极坐标图，或称幅相特性图，它是在直角坐标或极坐标平面上，以ω为自变量，当ω由0->∞时，画出频率特性

的点的轨迹，这个平面称为G(s)的复平面。奈奎斯特图的优点是，可以在一张图上就可以较容易的得到全部频率范围内的频率特性，利用图形可以较容易的对系统进行定性分析；缺点是，不能明显地表示出各个环节对系统的影响和作用。2022/12/2第6章频域分析216.2奈奎斯特图分析法奈奎斯特(Nyquist)图又称极坐标216.2奈奎斯特图分析法6.2.1典型环节的奈奎斯特图1.比例环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析226.2奈奎斯特图分析法6.2.1典型环节的奈奎斯特图202226.2奈奎斯特图分析法上述特性与ω的变化无关，故比例环节的奈奎斯特图为实轴上的一个点。2022/12/2第6章频域分析23图6-2比例环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法上述特性与ω的变化无关，故比例环节的奈236.2奈奎斯特图分析法2.积分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析246.2奈奎斯特图分析法2.积分环节2022/12/1第6章246.2奈奎斯特图分析法根据奈奎斯特图的基本图法，找出几个关键点。根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是负虚轴。2022/12/2第6章频域分析25图6-3积分环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法根据奈奎斯特图的基本图法，找出几个关键256.2奈奎斯特图分析法3.微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析266.2奈奎斯特图分析法3.微分环节2022/12/1第6章266.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是正虚轴2022/12/2第6章频域分析27图6-4微分环节奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/276.2奈奎斯特图分析法4.惯性环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析286.2奈奎斯特图分析法4.惯性环节2022/12/1第6章286.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是在第四象限，由实频特性和虚频特性可以推得2022/12/2第6章频域分析296.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/296.2奈奎斯特图分析法可以看出这是一个圆，圆心为

，半径为1/2。因此，惯性环节的奈奎斯特图是第四象限的圆。2022/12/2第6章频域分析30图6-5惯性环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法可以看出这是一个圆，圆心为306.2奈奎斯特图分析法5.一阶微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析316.2奈奎斯特图分析法5.一阶微分环节2022/12/1第6316.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是一条第一象限内过点

且平行于虚轴的直线。2022/12/2第6章频域分析32图6-6一阶微分环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/326.2奈奎斯特图分析法6.振荡环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析336.2奈奎斯特图分析法6.振荡环节2022/12/1第6章336.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图开始于正实轴的

点，顺时针经第四象限后，与负虚轴相交于

点，然后进入第三象限，在原点与负实轴相切并终止于坐标原点。2022/12/2第6章频域分析346.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/346.2奈奎斯特图分析法2022/12/2第6章频域分析35图6-7振荡环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法2022/12/1第6章频域分析35356.2奈奎斯特图分析法7.延迟环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：2022/12/2第6章频域分析366.2奈奎斯特图分析法7.延迟环节2022/12/1第6章366.2奈奎斯特图分析法可见，当ω由0->∞时，

由0->∞，由于

，因此延迟环节的奈奎斯特图是一个单位圆。2022/12/2第6章频域分析37图6-8延迟环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法可见，当ω由0->∞时，376.2奈奎斯特图分析法6.2.2奈奎斯特图的画法设开环传递函数G(s)由n个典型环节G1(s)G2(s)…Gn(s)串联构成，则系统的频率特性为式中，系统的开环频率特性即是由各组成系统的典型环节的频率特性叠加而成。2022/12/2第6章频域分析386.2奈奎斯特图分析法6.2.2奈奎斯特图的画法2022/386.2奈奎斯特图分析法在实际工程当中，往往只需要画出频率特性的大致图形即可，并不需要画出准确的曲线。绘制奈奎斯特曲线要把握好开环频率特性的三个要点：（1）开环奈奎斯特曲线的起点

和终点

。（2）开环奈奎斯特曲线与实轴的交点。（3）开环奈奎斯特曲线的变化范围(象限、单调性等)。2022/12/2第6章频域分析396.2奈奎斯特图分析法在实际工程当中，往往只需要画出频率特性396.3开环系统的伯德图分析法6.3.1伯德图的基本概念伯德（Bode）图又称为频率特性的对数坐标图或对数频率特性图。Bode图容易绘制，从图形上容易看出某些参数变化和某些环节对系统性能的影响，所以它在频率特性法中成为应用得最广的图示法。Bode图包括幅频特性图和相频特性图，分别表示频率特性的幅值和相位与角频率之间的关系。2022/12/2第6章频域分析406.3开环系统的伯德图分析法6.3.1伯德图的基本概念2406.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是频率特性的对数值L(ω)=20lgA(ω)（dB）与频率ω的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角(度)与频率ω的关系曲线。两种图的横坐标都是角频率ω（rad/s），采用对数分度，即横轴上标示的是角频率ω，但它的长度实际上是lgω。2022/12/2第6章频域分析416.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是频率特性的对数值416.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性的纵轴为L(ω)=20lgA(ω)采用线性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；横坐标采用对数分度，即横轴上的ω取对数后为等分点。对数相频特性横轴采用对数分度，纵轴为线性分度，单位为度。

2022/12/2第6章频域分析42图6-9Bode图坐标系6.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性的纵轴为L(ω)426.3开环系统的伯德图分析法6.3.2典型环节的伯德图1.比例环节传递函数：频率特性：因此2022/12/2第6章频域分析43（a）幅频特性

（b）相频特性图6-10放大环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法6.3.2典型环节的伯德图2436.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是平行于横轴的直线，与横轴相距20lgKdB。当K>1时，直线位于横轴上方；当K<1时，直线位于横轴下方。相频特性是与横轴相重合的直线。K的数值变化时，幅频特性图中的直线20lgK向上或向下平移，但相频特性不变。2022/12/2第6章频域分析446.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是平行于横轴的直线446.3开环系统的伯德图分析法2.积分环节对数幅频特性为由于横坐标实际上是lgω，把lgω看成是横轴的自变量，而纵轴是函数可见上式是一条直线，斜率为-20，该直线在ω=1处穿越横轴（或称0dB线）2022/12/2第6章频域分析456.3开环系统的伯德图分析法2.积分环节2022/12/456.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上-900，且平行于横轴的直线2022/12/2第6章频域分析46（a）幅频特性

（b）相频特性图6-11积分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上-900，466.3开环系统的伯德图分析法如果n个积分环节串联，则传递函数为对数幅频特性为它是一条斜率为-20ndB/dec的直线，并在ω=1处穿越0dB线。因为所以它的相频特性是通过纵轴上-n×900且平行于横轴的直线。2022/12/2第6章频域分析476.3开环系统的伯德图分析法如果n个积分环节串联，则传递函476.3开环系统的伯德图分析法如果一个放大环节K和n个积分环节串联，则整个环节的传递函数和频率特性分别为对数幅频特性为这是斜率为-20ndB/dec的直线，它在处穿越0dB线；它也通过ω=1,这一点。2022/12/2第6章频域分析486.3开环系统的伯德图分析法如果一个放大环节K和n个积分环486.3开环系统的伯德图分析法3.纯微分环节对数频率特性为可知，纯微分环节对数频率特性是一条斜率为+20的直线，直线通过横轴上ω=1的点。因为可见在该直线上，频率每增加到10倍，纵坐标的数值便增加20dB，故称直线斜率是20dB/dec。2022/12/2第6章频域分析496.3开环系统的伯德图分析法3.纯微分环节2022/12496.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上900点且与横轴平行的直线。2022/12/2第6章频域分析50（a）幅频特性

（b）相频特性图6-12纯微分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上900点且506.3开环系统的伯德图分析法4.惯性环节对数幅频特性为准确的对数幅频特性是一条比较复杂的曲线。为了简化，一般用直线近似地代替曲线。2022/12/2第6章频域分析516.3开环系统的伯德图分析法4.惯性环节2022/12/516.3开环系统的伯德图分析法当ω≤1/T时，略去Tω，上式变为这是与横轴重合的直线。当ω≥1/T时，略去1，上式变为这是一条斜率为-20dB/dec的直线，它在ω=1/T处穿越0dB线。上述两条直线在0dB线上的ω=1/T相交，称角频率ω=1/T为转折频率或交接频率，并称这两条直线形成的折线为惯性环节的渐近线或渐近幅频特性。2022/12/2第6章频域分析526.3开环系统的伯德图分析法当ω≤1/T时，略去Tω，上式526.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析53（a）幅频特性

（b）相频特性图6-13惯性环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域536.3开环系统的伯德图分析法5.一阶微分环节对数幅频特性为当ω≤1/τ时，略去τω，上式变为这是与横轴重合的直线。当ω≥1/τ时，略去1，上式变为这是一条斜率为20dB/dec的直线，它在ω=1/τ处穿越0dB线。2022/12/2第6章频域分析546.3开环系统的伯德图分析法5.一阶微分环节2022/1546.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析55（a）幅频特性

（b）相频特性图6-14一阶微分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域556.3开环系统的伯德图分析法6.振荡环节对数幅频特性为当ω≤1/T时，略去Tω，上式变为这表示横轴重合的直线当ω≥1/T时，略去1和，上式变为这是一条斜率为-40dB/dec的直线，它在ω=1/T处穿越0dB线。2022/12/2第6章频域分析566.3开环系统的伯德图分析法6.振荡环节2022/12/566.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析57图6-15振荡环节的渐近幅频特性6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域576.3开环系统的伯德图分析法7.二阶微分环节二阶微分环节的传递函数、频率特性为对数幅频特性和相频特性分别为2022/12/2第6章频域分析586.3开环系统的伯德图分析法7.二阶微分环节2022/1586.3开环系统的伯德图分析法二阶微分环节与振荡环节的对数频率特性关于横轴对称。二阶微分环节的渐近线方程是上述两条直线相交于横轴上

，

称为转折频率。表示斜率为-40dB/dec的直线，它通过横轴上

的点。2022/12/2第6章频域分析596.3开环系统的伯德图分析法二阶微分环节与振荡环节的对数频596.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析60（a）幅频特性

（b）相频特性图6-16二阶微分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域606.3开环系统的伯德图分析法8.延迟环节对数幅频特性为延迟环节的频率特性对数坐标图，2022/12/2第6章频域分析61（a）幅频特性

（b）相频特性图6-17延迟环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法8.延迟环节2022/12/616.3开环系统的伯德图分析法6.3.3开环传递函数的伯德图画法绘制开环对数幅频特性图步骤：1.将开环传递函数写成基本环节相乘的形式；2.计算各基本环节的转折频率，并标在横轴上。最好同时标明各转折频率对应的基本环节渐近线的斜率；3.设最低的转折频率为

，先绘

的低频区图形，在此频段范围内，只有积分（或纯微分）环节和放大环节起作用2022/12/2第6章频域分析626.3开环系统的伯德图分析法6.3.3开环传递函数的伯德图626.3开环系统的伯德图分析法4.按着由低频到高频的顺序将已画好的直线或折线图形延长。每到一个转折频率，折线发生转折，直线的斜率就要在原数值之上加上对应的基本环节的斜率。在每条折线上应注明斜率；5.如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处进行修正。2022/12/2第6章频域分析636.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域636.4系统的闭环频率特性6.4.1闭环频率特性设某单位反馈系统的开环传递函数为G(s)，其闭环传递函数为对应的闭环频率特性为上式描述了开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。2022/12/2第6章频域分析646.4系统的闭环频率特性6.4.1闭环频率特性2022/1646.4系统的闭环频率特性6.4.2闭环频率特性曲线的绘制1.等M圆设系统的开环传递函数为G(s)，其开环频率特性按照直角坐标表示为由上页闭环频率特性式，可得2022/12/2第6章频域分析656.4系统的闭环频率特性6.4.2闭环频率特性曲线的绘制2656.4系统的闭环频率特性两边取平方，并整理可得可以看出，如果M为常数，则上式(6-96)即为以U为X轴，以V为Y轴的G平面上圆的方程，圆心为

，半径为

。因此，在G平面上，等M轨迹就是一组等M圆图，2022/12/2第6章频域分析666.4系统的闭环频率特性两边取平方，并整理可得2022/12666.4系统的闭环频率特性2022/12/2第6章频域分析67图6-18等M圆图6.4系统的闭环频率特性2022/12/1第6章频域分析6676.4系统的闭环频率特性2．等N圆同上面所述：若用N来表示闭环相频特性的正切，则有整理可得2022/12/2第6章频域分析686.4系统的闭环频率特性2．等N圆2022/12/1第6章686.4系统的闭环频率特性若N为常数，则上式也是一个圆，圆心为

半径为2022/12/2第6章频域分析69图6-19等N圆图6.4系统的闭环频率特性若N为常数，则上式也是一个圆，202696.4系统的闭环频率特性3.闭环频率特性曲线利用等M圆图和等N圆图，开环幅相曲线与等M圆和等N圆的交点，便可得到相应频率的M值和N值（或α值）2022/12/2第6章频域分析70图6-20闭环频率特性曲线6.4系统的闭环频率特性3.闭环频率特性曲线2022/12706.4系统的闭环频率特性6.4.3闭环频率指标系统闭环系统的幅频特性曲线为2022/12/2第6章频域分析71图6-21闭环系统的幅频特性曲线6.4系统的闭环频率特性6.4.3闭环频率指标2022/1716.4系统的闭环频率特性衡量系统性能的闭环频率指标主要有如下几项：1.零频幅值M0ω=0时的闭环幅频特性值称为零频幅值M0，也称为闭环系统的增益，或者说是系统单位阶跃响应的稳态值，它主要反映系统的稳态精度。2.谐振峰值Mr闭环幅频特性的最大值和零频幅值的比值称为谐振峰值Mr，即Mr=Mmax/M0。Mr越大，表明系统对某个频率的正弦输入信号反映强烈，有振荡的趋向。2022/12/2第6章频域分析726.4系统的闭环频率特性衡量系统性能的闭环频率指标主要有如下726.4系统的闭环频率特性3.谐振频率ωr谐振频率是指出现谐振峰值Mr时对应的角频率。4.带宽频率ωb带宽频率是闭环幅频特性M(ω)降低到其零频值的0.707倍时所对应的频率。通常把区间[0,ωb]对应的频率范围称为通频带或频带宽度(简称带宽)。2022/12/2第6章频域分析736.4系统的闭环频率特性3.谐振频率ωr2022/12/1736.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系6.5.1时域性能指标时域性能指标包括稳态性能指标和动态性能指标。（1）稳态性能指标

稳态性能指标主要表征系统的控制精度，主要是指系统的稳态误差（2）动态性能指标

动态性能指标主要表征系统瞬态响应的品质，主要包括调节时间、峰值时间、上升时间、超调量、振荡次数。其中比较常用的是调节时间和超调量。2022/12/2第6章频域分析746.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系6.5.1时域性746.5.2频域性能指标频域性能指标包括开环频域指标和闭环频域指标。（1）开环频域指标一般是根据系统的开环频率特性曲线给出，包括剪切频率、相角裕量、幅值裕量。其中比较常用的是剪切频率、相角裕量。（2）闭环频域指标一般是根据系统的闭环幅频特性曲线给出，包括谐振峰值、谐振频率和带宽频率。2022/12/2第6章频域分析756.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系6.5.2频域性能指标2022/12/1第6章频域分析75756.5.3频域指标与时域指标之间的关系1.二阶系统频域指标与时域指标的关系谐振峰值谐振频率截止频率2022/12/2第6章频域分析766.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系6.5.3频域指标与时域指标之间的关系2022/12/1第676剪切频率相角裕量上升时间2022/12/2第6章频域分析776.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系剪切频率2022/12/1第6章频域分析776.5频域性77峰值时间调节时间超调量2022/12/2第6章频域分析786.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系峰值时间2022/12/1第6章频域分析786.5频域性782.高阶系统频域指标与时域指标的关系

对于高阶系统来说，很难建立准确的数学关系，仅可做近似处理，即将高阶系统降阶为低阶系统来建立近似的数学关系，如下所示：谐振峰值超调量调节时间2022/12/2第6章频域分析796.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系2.高阶系统频域指标与时域指标的关系2022/12/1第6796.6Matlab在频域分析中的应用6.6.1nyquist曲线的绘制在Matlab控制系统工具箱中提供了一个函数nyquist()，该函数的功能是绘制系统的奈奎斯特曲线，并可以根据曲线分析包括相角裕量、增益裕量及稳定性等系统特性，有两种调用格式。1.nyquist(sys)此调用格式的功能是直接绘制系统sys的奈奎斯特曲线。2022/12/2第6章频域分析806.6Matlab在频域分析中的应用6.6.1nyqui806.6Matlab在频域分析中的应用2.[re,im,w]=nyquist(sys)此调用格式的功能并不是直接绘制曲线，而是返回系统频率响应的实部(re)、虚部(im)以及对应的角频率ω。2022/12/2第6章频域分析816.6Matlab在频域分析中的应用2.[re,im,w]816.6Matlab在频域分析中的应用6.6.2Bode图的绘制Matlab提供了一个直接求解和绘制系统Bode图的函数bode()和一个直接求解系统幅值稳定裕度和相位稳定裕度的函数margin()。1.bode()函数此函数的调用格式有(1)bode(sys)此格式调用后，直接计算并绘制系统的Bode图。2022/12/2第6章频域分析826.6Matlab在频域分析中的应用6.6.2Bode图826.6Matlab在频域分析中的应用(2)bode(sys,w)此格式调用后，也是直接计求并绘制系统的Bode图，但是可以用w来定义绘制Bode图时的频率范围或者频率点。如果w为频率范围，则必须为[wmin,wmax]格式；如果w为频率点，则必须是需要频率点构成的向量。(3)[mag,phase,w]=bode(sys)此格式调用后，并不绘制曲线，而只是计算出系统Bode图的输出数据，其中mag为系统的幅值，phase为Bode图的相位，w为所对应的频率。2022/12/2第6章频域分析836.6Matlab在频域分析中的应用(2)bode(sys83谢谢大家！结束84谢谢大家！结束8484自动控制原理第6章频域分析自动控制原理第6章频域分析852022/12/2第6章频域分析866.1频率特性的基本概念本章内容6.2奈奎斯特图分析法6.3开环系统的伯德图分析法6.4系统的闭环频率特性6.5频域性能指标与时域性能指标之间的关系6.6Matlab在频域分析中的应用2022/12/1第6章频域分析26.1频率特性的基本概念86引言时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。频域分析法，是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。建立在频率特性基础上的分析控制系统的频域法补缺了时域分析法中存在的不足，因而获得了广泛的应用。2022/12/2第6章频域分析87引言时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、87引言频域分析法具有以下特点：（1）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。（2）频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有相应的对应关系。（3）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。2022/12/2第6章频域分析88引言频域分析法具有以下特点：2022/12/1第6章886.1频率特性的基本概念6.1.1RC网络其微分方程为：2022/12/2第6章频域分析89图6-1RC电路6.1频率特性的基本概念6.1.1RC网络2022/12/896.1频率特性的基本概念令T=RC，为电路的惯性时间常数，则网络的传递函数为：若在网络输入正弦电压，即则有2022/12/2第6章频域分析906.1频率特性的基本概念令T=RC，为电路的惯性时间常数，906.1频率特性的基本概念经拉氏反变换，得到电容两端的电压为：上式中，c(t)第一项为瞬态分量，随着时问的无限增长瞬态分量衰减为零；第二项为稳态分量。2022/12/2第6章频域分析916.1频率特性的基本概念经拉氏反变换，得到电容两端的电压为：916.1频率特性的基本概念令，显然，RC电路的稳态响应为可知，当输入为正弦信号时，网络的稳态输出仍然是与输入电压同频率的正弦信号，输出的幅值是输入的

倍。相角比输入滞后了

。2022/12/2第6章频域分析926.1频率特性的基本概念令926.1频率特性的基本概念将输出的稳态响应和输入正弦信号用复数向量表示，则有上式即称为RC网络的频率特性。其中，RC网络的幅频特性为相频特性为2022/12/2第6章频域分析936.1频率特性的基本概念将输出的稳态响应和输入正弦信号用复数936.1频率特性的基本概念6.1.2频率特性的定义系统在正弦信号的作用下，其输出的稳态分量称为频率响应设线性定常系统的传递函数为G(s)，输入量和输出量分别为r(t)和c(t)，且输入信号为正弦信号拉氏变换为2022/12/2第6章频域分析94G(s)c(t)6.1频率特性的基本概念6.1.2频率特性的定义2022/946.1频率特性的基本概念可以得到设系统输出变量中的稳态分量和瞬态分量分别为cs(t)和ct(t)，则有2022/12/2第6章频域分析956.1频率特性的基本概念可以得到2022/12/1第6章频956.1频率特性的基本概念其中A1和A2为待定系数，则有上两式代入最上面公式，并利用数学中的欧拉公式，可以推导出2022/12/2第6章频域分析966.1频率特性的基本概念其中A1和A2为待定系数，则有202966.1频率特性的基本概念式中，就是令G(s)中的s等于，所得到的复数量；

为复量

的模，

为复量

的相位，也就是输出信号对于输入信号的相位差。2022/12/2第6章频域分析976.1频率特性的基本概念2022/12/1第6章频域分析1976.1频率特性的基本概念综上所述，对于线性定常系统，若传递函数为G(s)，当输入量是正弦信号是，其稳态响应cs(t)是同一频率的正弦信号，此时，称稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比，即为系统的幅频特性，称cs(t)与r(t)之间的相位差

为系统的相频特性幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性，或称频率响应。2022/12/2第6章频域分析986.1频率特性的基本概念综上所述，对于线性定常系统，若传递函986.1频率特性的基本概念6.1.3频率特性的表示方法频率特性有3种表示方法：1、指数表示2、极坐标表示2022/12/2第6章频域分析996.1频率特性的基本概念6.1.3频率特性的表示方法202996.1频率特性的基本概念3、直角坐标表示上式中，

称为实频特性，

称为虚频特性，其中2022/12/2第6章频域分析1006.1频率特性的基本概念3、直角坐标表示2022/12/1第1006.1频率特性的基本概念6.1.4频率特性与传递函数之间的关系2022/12/2第6章频域分析1016.1频率特性的基本概念6.1.4频率特性与传递函数之间的1016.1频率特性的基本概念6.1.5频率特性的性质(1)频率特性描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。因此，频率特性也是一种数学模型。(2)频率特性是在系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。可将频率特性的概念扩展为线性系统正弦输入作用下，输出稳态分量和输入的复数比。因此，频率特性是一种稳态响应。2022/12/2第6章频域分析1026.1频率特性的基本概念6.1.5频率特性的性质2022/1026.1频率特性的基本概念(3)系统的稳输出量与输入量具有相同的频率，且

、、都是频率ω的复变函数，都随频率ω的改变而改变，而与输入幅值无关。(4)频率特性反映了系统性能，不同的性能指标对系统频率特性提出不同的要求。反之，由系统的频率特性也可确定系统的性能指标。2022/12/2第6章频域分析1036.1频率特性的基本概念(3)系统的稳输出量与输入量具有相同1036.1频率特性的基本概念(5)实际的自动控制系统都具有ω升高、幅频特性

衰减的特性，该特性称为低通滤波器特性。(6)频率特性一般适用于线性元件或系统的分析，也可推广应用到某些非线性系统的分析。(7)频率特性的分析方法是一种图解分析，其最大的特点就是将系统的频率特性用曲线表示出来，计算量小，非常直观。常用的分析方法有两种：奈奎斯特图(Nyquist图)分析法和伯德图(Bode图)分析法。2022/12/2第6章频域分析1046.1频率特性的基本概念(5)实际的自动控制系统都具有ω升高1046.2奈奎斯特图分析法奈奎斯特(Nyquist)图又称极坐标图，或称幅相特性图，它是在直角坐标或极坐标平面上，以ω为自变量，当ω由0->∞时，画出频率特性

的点的轨迹，这个平面称为G(s)的复平面。奈奎斯特图的优点是，可以在一张图上就可以较容易的得到全部频率范围内的频率特性，利用图形可以较容易的对系统进行定性分析；缺点是，不能明显地表示出各个环节对系统的影响和作用。2022/12/2第6章频域分析1056.2奈奎斯特图分析法奈奎斯特(Nyquist)图又称极坐标1056.2奈奎斯特图分析法6.2.1典型环节的奈奎斯特图1.比例环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析1066.2奈奎斯特图分析法6.2.1典型环节的奈奎斯特图2021066.2奈奎斯特图分析法上述特性与ω的变化无关，故比例环节的奈奎斯特图为实轴上的一个点。2022/12/2第6章频域分析107图6-2比例环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法上述特性与ω的变化无关，故比例环节的奈1076.2奈奎斯特图分析法2.积分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析1086.2奈奎斯特图分析法2.积分环节2022/12/1第6章1086.2奈奎斯特图分析法根据奈奎斯特图的基本图法，找出几个关键点。根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是负虚轴。2022/12/2第6章频域分析109图6-3积分环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法根据奈奎斯特图的基本图法，找出几个关键1096.2奈奎斯特图分析法3.微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析1106.2奈奎斯特图分析法3.微分环节2022/12/1第6章1106.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是正虚轴2022/12/2第6章频域分析111图6-4微分环节奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/1116.2奈奎斯特图分析法4.惯性环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析1126.2奈奎斯特图分析法4.惯性环节2022/12/1第6章1126.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是在第四象限，由实频特性和虚频特性可以推得2022/12/2第6章频域分析1136.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/1136.2奈奎斯特图分析法可以看出这是一个圆，圆心为

，半径为1/2。因此，惯性环节的奈奎斯特图是第四象限的圆。2022/12/2第6章频域分析114图6-5惯性环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法可以看出这是一个圆，圆心为1146.2奈奎斯特图分析法5.一阶微分环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析1156.2奈奎斯特图分析法5.一阶微分环节2022/12/1第61156.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图是一条第一象限内过点

且平行于虚轴的直线。2022/12/2第6章频域分析116图6-6一阶微分环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/1166.2奈奎斯特图分析法6.振荡环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：实频特性：虚频特性：2022/12/2第6章频域分析1176.2奈奎斯特图分析法6.振荡环节2022/12/1第6章1176.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表根据表中的关键点和ω的变化情况，可知积分环节奈奎斯特图开始于正实轴的

点，顺时针经第四象限后，与负虚轴相交于

点，然后进入第三象限，在原点与负实轴相切并终止于坐标原点。2022/12/2第6章频域分析1186.2奈奎斯特图分析法根据上述各式，可得到关键点表2022/1186.2奈奎斯特图分析法2022/12/2第6章频域分析119图6-7振荡环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法2022/12/1第6章频域分析351196.2奈奎斯特图分析法7.延迟环节传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：2022/12/2第6章频域分析1206.2奈奎斯特图分析法7.延迟环节2022/12/1第6章1206.2奈奎斯特图分析法可见，当ω由0->∞时，

由0->∞，由于

，因此延迟环节的奈奎斯特图是一个单位圆。2022/12/2第6章频域分析121图6-8延迟环节的奈奎斯特图6.2奈奎斯特图分析法可见，当ω由0->∞时，1216.2奈奎斯特图分析法6.2.2奈奎斯特图的画法设开环传递函数G(s)由n个典型环节G1(s)G2(s)…Gn(s)串联构成，则系统的频率特性为式中，系统的开环频率特性即是由各组成系统的典型环节的频率特性叠加而成。2022/12/2第6章频域分析1226.2奈奎斯特图分析法6.2.2奈奎斯特图的画法2022/1226.2奈奎斯特图分析法在实际工程当中，往往只需要画出频率特性的大致图形即可，并不需要画出准确的曲线。绘制奈奎斯特曲线要把握好开环频率特性的三个要点：（1）开环奈奎斯特曲线的起点

和终点

。（2）开环奈奎斯特曲线与实轴的交点。（3）开环奈奎斯特曲线的变化范围(象限、单调性等)。2022/12/2第6章频域分析1236.2奈奎斯特图分析法在实际工程当中，往往只需要画出频率特性1236.3开环系统的伯德图分析法6.3.1伯德图的基本概念伯德（Bode）图又称为频率特性的对数坐标图或对数频率特性图。Bode图容易绘制，从图形上容易看出某些参数变化和某些环节对系统性能的影响，所以它在频率特性法中成为应用得最广的图示法。Bode图包括幅频特性图和相频特性图，分别表示频率特性的幅值和相位与角频率之间的关系。2022/12/2第6章频域分析1246.3开环系统的伯德图分析法6.3.1伯德图的基本概念21246.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是频率特性的对数值L(ω)=20lgA(ω)（dB）与频率ω的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角(度)与频率ω的关系曲线。两种图的横坐标都是角频率ω（rad/s），采用对数分度，即横轴上标示的是角频率ω，但它的长度实际上是lgω。2022/12/2第6章频域分析1256.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是频率特性的对数值1256.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性的纵轴为L(ω)=20lgA(ω)采用线性分度，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；横坐标采用对数分度，即横轴上的ω取对数后为等分点。对数相频特性横轴采用对数分度，纵轴为线性分度，单位为度。

2022/12/2第6章频域分析126图6-9Bode图坐标系6.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性的纵轴为L(ω)1266.3开环系统的伯德图分析法6.3.2典型环节的伯德图1.比例环节传递函数：频率特性：因此2022/12/2第6章频域分析127（a）幅频特性

（b）相频特性图6-10放大环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法6.3.2典型环节的伯德图21276.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是平行于横轴的直线，与横轴相距20lgKdB。当K>1时，直线位于横轴上方；当K<1时，直线位于横轴下方。相频特性是与横轴相重合的直线。K的数值变化时，幅频特性图中的直线20lgK向上或向下平移，但相频特性不变。2022/12/2第6章频域分析1286.3开环系统的伯德图分析法对数幅频特性是平行于横轴的直线1286.3开环系统的伯德图分析法2.积分环节对数幅频特性为由于横坐标实际上是lgω，把lgω看成是横轴的自变量，而纵轴是函数可见上式是一条直线，斜率为-20，该直线在ω=1处穿越横轴（或称0dB线）2022/12/2第6章频域分析1296.3开环系统的伯德图分析法2.积分环节2022/12/1296.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上-900，且平行于横轴的直线2022/12/2第6章频域分析130（a）幅频特性

（b）相频特性图6-11积分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上-900，1306.3开环系统的伯德图分析法如果n个积分环节串联，则传递函数为对数幅频特性为它是一条斜率为-20ndB/dec的直线，并在ω=1处穿越0dB线。因为所以它的相频特性是通过纵轴上-n×900且平行于横轴的直线。2022/12/2第6章频域分析1316.3开环系统的伯德图分析法如果n个积分环节串联，则传递函1316.3开环系统的伯德图分析法如果一个放大环节K和n个积分环节串联，则整个环节的传递函数和频率特性分别为对数幅频特性为这是斜率为-20ndB/dec的直线，它在处穿越0dB线；它也通过ω=1,这一点。2022/12/2第6章频域分析1326.3开环系统的伯德图分析法如果一个放大环节K和n个积分环1326.3开环系统的伯德图分析法3.纯微分环节对数频率特性为可知，纯微分环节对数频率特性是一条斜率为+20的直线，直线通过横轴上ω=1的点。因为可见在该直线上，频率每增加到10倍，纵坐标的数值便增加20dB，故称直线斜率是20dB/dec。2022/12/2第6章频域分析1336.3开环系统的伯德图分析法3.纯微分环节2022/121336.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上900点且与横轴平行的直线。2022/12/2第6章频域分析134（a）幅频特性

（b）相频特性图6-12纯微分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法相频特性是通过纵轴上900点且1346.3开环系统的伯德图分析法4.惯性环节对数幅频特性为准确的对数幅频特性是一条比较复杂的曲线。为了简化，一般用直线近似地代替曲线。2022/12/2第6章频域分析1356.3开环系统的伯德图分析法4.惯性环节2022/12/1356.3开环系统的伯德图分析法当ω≤1/T时，略去Tω，上式变为这是与横轴重合的直线。当ω≥1/T时，略去1，上式变为这是一条斜率为-20dB/dec的直线，它在ω=1/T处穿越0dB线。上述两条直线在0dB线上的ω=1/T相交，称角频率ω=1/T为转折频率或交接频率，并称这两条直线形成的折线为惯性环节的渐近线或渐近幅频特性。2022/12/2第6章频域分析1366.3开环系统的伯德图分析法当ω≤1/T时，略去Tω，上式1366.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析137（a）幅频特性

（b）相频特性图6-13惯性环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域1376.3开环系统的伯德图分析法5.一阶微分环节对数幅频特性为当ω≤1/τ时，略去τω，上式变为这是与横轴重合的直线。当ω≥1/τ时，略去1，上式变为这是一条斜率为20dB/dec的直线，它在ω=1/τ处穿越0dB线。2022/12/2第6章频域分析1386.3开环系统的伯德图分析法5.一阶微分环节2022/11386.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析139（a）幅频特性

（b）相频特性图6-14一阶微分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域1396.3开环系统的伯德图分析法6.振荡环节对数幅频特性为当ω≤1/T时，略去Tω，上式变为这表示横轴重合的直线当ω≥1/T时，略去1和，上式变为这是一条斜率为-40dB/dec的直线，它在ω=1/T处穿越0dB线。2022/12/2第6章频域分析1406.3开环系统的伯德图分析法6.振荡环节2022/12/1406.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析141图6-15振荡环节的渐近幅频特性6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域1416.3开环系统的伯德图分析法7.二阶微分环节二阶微分环节的传递函数、频率特性为对数幅频特性和相频特性分别为2022/12/2第6章频域分析1426.3开环系统的伯德图分析法7.二阶微分环节2022/11426.3开环系统的伯德图分析法二阶微分环节与振荡环节的对数频率特性关于横轴对称。二阶微分环节的渐近线方程是上述两条直线相交于横轴上

，

称为转折频率。表示斜率为-40dB/dec的直线，它通过横轴上

的点。2022/12/2第6章频域分析1436.3开环系统的伯德图分析法二阶微分环节与振荡环节的对数频1436.3开环系统的伯德图分析法2022/12/2第6章频域分析144（a）幅频特性

（b）相频特性图6-16二阶微分环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域1446.3开环系统的伯德图分析法8.延迟环节对数幅频特性为延迟环节的频率特性对数坐标图，2022/12/2第6章频域分析145（a）幅频特性

（b）相频特性图6-17延迟环节的Bode图6.3开环系统的伯德图分析法8.延迟环节2022/12/1456.3开环系统的伯德图分析法6.3.3开环传递函数的伯德图画法绘制开环对数幅频特性图步骤：1.将开环传递函数写成基本环节相乘的形式；2.计算各基本环节的转折频率，并标在横轴上。最好同时标明各转折频率对应的基本环节渐近线的斜率；3.设最低的转折频率为

，先绘

的低频区图形，在此频段范围内，只有积分（或纯微分）环节和放大环节起作用2022/12/2第6章频域分析1466.3开环系统的伯德图分析法6.3.3开环传递函数的伯德图1466.3开环系统的伯德图分析法4.按着由低频到高频的顺序将已画好的直线或折线图形延长。每到一个转折频率，折线发生转折，直线的斜率就要在原数值之上加上对应的基本环节的斜率。在每条折线上应注明斜率；5.如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处进行修正。2022/12/2第6章频域分析1476.3开环系统的伯德图分析法2022/12/1第6章频域1476.4系统的闭环频率特性6.4.1闭环频率特性设某单位反馈系统的开环传递函数为G(s)，其闭环传递函数为对应的闭环频率特性为上式描述了开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。2022/12/2第6章频域分析1486.4系统的闭环频率特性6.4.1闭环频率特性2022/11486.4系统的闭环频率特性6.4.2闭环频率特性曲线的绘制1.等M圆设系统的开环传递函数为G(s)，其开环频率特性按照直角坐标表示为由上页闭环频率特性式，可得2022/12/2第6章频域分析1496.4系统的闭环频率特性6.4.2闭环频率特性曲线的绘制21496.4系统的闭环频率特性两边取平方，并整理可得可以看出，如果M为常数，则上式(6-96)即为以U为X轴，以V为Y轴的G平面上圆的方程，圆心为

，半径为

。因此，在G平面上，等M轨迹就是一组等M圆图，2022/12/2第6章频域分析1506.4系统的闭环频率特性两边取平方，并整理可得2022/121506.4系统的闭环频率特性2022/12/2第6章频域分析151图6-18等M圆图6.4系统的闭环频率特性2022/12/1第6章频域分析61516.4系统的闭环频率特性2．等N圆同上面所述：若用N来表示闭环相频特性的正切，则有整理可得2022/12/2第6章频域分析1526.4系统的闭环频率特性2．等N圆2022/12/1第6章1526.4系统的闭环频率特性若N为常数，则上式也是一个圆，圆心为