教学设计 完整版：平均变化率

平均变化率教学目标：1、知识与技能：理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2、过程与方法：通过从实际生活背景中引出数学模型的过程来引入平均变化率及其导数，学会数学抽象思维，注重数形结合的思想方法；3、情感意志和价值观：培养学生分析问题、归纳综合的能力，培养创新的能力。教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢教学难点：平均变化率概念的理解教学方法：启发式数形结合讨论式教具：多媒体课件教学过程：一、复习引入引例1．变化与运动为主线：过山车运动感觉：刺激与心跳——（多媒体引入1：过山车在运动中速度变化快）引例2．现在最让中国人骄傲的上海籍体育名星是谁？（姚明，刘翔）姚明的身高是多少？（2米26）姚明一出生就是这个身高吗？小学和大学的同学也没有感到他高度变化特别大（多媒体出示姚明部分年龄身高的折线图）如果把姚明的年龄作为自变量，将身高作为函数值，从图中可以直观的看出姚明的身高与年龄呈现出变化趋势——姚明在13岁到15岁身高变化最快引例3．世界充满着变化，有的变化几乎不被人们所感觉，而有的变化却让人发出感叹与惊呼。下面我们来看：某市2022年4月20日最高温度为℃，而此前的两天，4月19日与4月18日最高温度分别为℃和℃，短短两天时间，气温“陡增”℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”。但是如果我们将该市2022年3月18日最高温度℃与4月18日最高温度℃进行比较，我们发现两者温差为℃，甚至超过了℃，而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢？——原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”那么我们用怎样的数学模型来衡量或刻画变量变化的快与慢呢？出示本节课的课题：第三章导数及其应用——导数的概念——§平均变化率二、新课讲授（一）平均变化率的概念1．陡峭程度在前面的案例中，过山车运动中速度“陡增”，姚明身高“陡增”，气温“陡增”的数学含义是什么呢？我们以气温为例来观察气温曲线图（以2022年3月18日作为第一天）。T(℃)CBA23234t(d)容易看出B，C之间的曲线较A，B之间的曲线更加“陡峭”。陡峭的程度反映了气温变化的快与慢。那么如何来量化这个陡峭程度呢？2．平均变化率联想——直线的倾斜程度：斜率我们用类似的比值：－／34―32(即yc―yB／xc－xB)来近似的量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间[32，34]上的平均变化率。∴气温在区间[1，32]上的平均变化率为－／32―1=31≈∴气温在区间[32，34]上的平均变化率为－／34―32＝2＝虽然A,B之间的温差与B,C之间的温差几乎相同,但它们的平均变化率却相差很大。3．平均变化率的定义：一般地，函数y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为f(x2)－f(x1)／x2－x1说明：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”——无形不直观，无数不入微嘛！（二）例题的讲解例1．一婴儿从出生到第24个月的体重情况如图的函数曲线所示，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率。例2．水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙（如图示），t秒后容器甲中水的体积V（t）=5e－(单位为cm3)，计算第一个10秒内V的平均变化率。例3．已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：⑴[1，3]；⑵[1，2]；⑶[1，]；⑷[1，]。说明：此处教学要与后续内容做铺垫，可作图进行比较。例4．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝―2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：⑴[―3，―1]；⑵[0，5]。说明：例4内容应与“直线”的内容互动，反过来体会△y／△x的含义。（三）探究练习探究题一：设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变为x0＋△x时，函数值的改变量△y为多少？（）A．f(x0＋△x)；B．f(x0)＋△x；C．f(x0)×△x；D．f(x0＋△x)―f(x0)探究题二：向高度为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状可能为下列哪一张？（四）小结（学生回答）表示