立体几何向量法求角 专题讲义-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

立体几何向量法用向量法解决立体几何的题目大致可以分为以下四步：第一：建立空间直角坐标系。建系的关键在于寻找三条两两垂直的直线，但是很多时候题目中不会存在这种直接就能用的情况，所以有的轴需要我们自己去作图。因此三条轴的确定我们可以一条一条来确定，首先如果题目中存在线面垂直的情况，那么这条线就可以作为我们的Z轴，则X轴Y轴必定在平面内，所以我们只有在平面内找两条垂直的线就可以做为XY轴；其次如果题目中存在面面垂直的情况，那么在一个平面内做一条垂直于交线的直线作为Z轴，那么XY平面就在另一个平面内；最后如果没有就自己确定一条线为X轴，再作一条垂直于X轴的线作为Y轴；其次如果题目中不存在线面垂直，则首先定底面作为XOY面，在面内选定一条作为X轴，然后作出或者找出Y轴，最后以竖直向上作出Z轴即可。总之题目中有垂直关系的线就利用，没有就自己作图画出来，如果用了题目中的直线，则一定要用题目条件来说明你建系的准确性（即两两垂直）。第二：表示点的坐标。向量法的难点不在于建系而在于点坐标的表示，因为很多时候并不是因为建不了系而导致题目无法做下去，而是因为没有办法表示出其中几个点的坐标。表示点的坐标，可以看做从原点出发，以三条坐标轴的方向向目标点进行运动，每个方向走多少路程，即这个方向的坐标为多少。对于无法表示的点的坐标，那么我们始终要记住，只要这个立体图形是一个固定的图形，那么它的每个点的坐标都是唯一确定的，是能够求出来的。对于求点的坐标我们要充分利用向量平行与垂直的知识点进行计算。如果这个点在某一条直线的某个位置，即有三点共线的位置关系，或者有平行的关系，我们都可以用进行计算，或者设点的坐标。如果这个点不是上述情况，则我们需要去设这个点的三个坐标（如果知道其中某个或者某两个坐标可以不用设），那么利用方程的思想，我们需要去列出对应数量的方程进行计算，方程的等量关系可以选择：线段长度关系（利用两点之间的距离公式）、直线的位置关系（主要是垂直，向量点乘等于0），从而列出方程求解。总之，能表示就表示，不能表示就大胆的去设，设完以后列出对应个数的方程。第三：表示方向向量与求法向量。对于题目所求的条件中，出现的直线表示其方向向量即可，出现的面对应的求出它们的法向量。第四：利用公式求角。线面角求正弦值，二面角求余弦值，这是每个题目运用公式求出来的内容，如果题目所求不同，则需要利用三角函数进行转化。如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．在如图的空间几何中，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=，四边形BCED为直角梯形，∠DBC=90°，BD=1，DE=，F为AB中点.（Ⅰ）证明：DF//平面ACE；（Ⅱ）若AD=，求CE与平面ADB所成角的正弦值.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.（全国甲）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是矩形，E