点、直线、平面之间的位置关系 讲义-高二上学期数学人教A版必修2

步步升教育焦点专题高一决定高考九大校区总电话：88369993步步升教育焦点专题八大校区总电话：88369993用优质的教育开启成功的人生赵老师二章点、平面、直线之间的位置关系第一节点、线、面位置关系【知识点梳理】1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内．用符号语言表示公理1：．公理1作用：判断直线是否在平面内．公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a．符号语言：．公理2作用：①它是判定两个平面相交的方法．②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点．③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面．公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2、空间直线与直线之间的位置关系（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．（2）异面直线性质：既不平行，又不相交．（3）异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线．（4）异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．（5）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．B、证明作出的角即为所求角．C、利用三角形来求角．（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条．（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补．3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aα；a∩α＝A；a∥α．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．4、平面与平面之间的位置关系：平行—没有公共点：α∥β；相交—有一条公共直线：α∩β＝l．【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：已知在平面外，它的三边所在的直线分别交面于,求证：在同一条直线上.证明：∵点P∈平面α，点R∈平面α，∴PR平面α∵点P∈平面ABC，点R∈平面ABC∴PR平面ABC∴平面α∩平面ABC=PR又∵点Q∈平面α，点Q∈平面ABC∴点Q∈PR∴在同一条直线上.变式1：如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则（）（A）EF与GH互相平行（B）EF与GH异面（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上【解析】依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上．选（D）．【点评】本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题．利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点．变式2：在空间中有四点，若其中任意三点都不共线，则经过其中三个点的平面有4个.题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2：已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，，求异面直线与MN所成角的余弦值。变式3：给出下列关于互不相同的直线和平面的三个命题：①若为异面直线，，则；②若，则；③若，则，其中真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0【解析】选C，由异面直线的定义得，两直线可分属两个平面，但是这两个平面不一定平行，命题错误；由面面平行的性质定理得线面平行，不一定得到线线平行，命题错误；由线面平行的性质定理得线线平行，再由线线平行的递推性可得，命题正确．第二节直线、平面平行的判定及其性质【知识点梳理】1、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（记忆口诀：线线平行线面平行）符号表示为：．图形如右图所示．2、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．Pab用符号表示为：Pab图形如右图所示．βa3、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的βa（记忆口诀：线面平行线线平行）用符号表示为：．图形如右图所示．4、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：.其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等．图形如右图所示．【典型例题】题型一、线面平行的判定定理例1：已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面．题型二、面面平行的判定定理例2：如图,正方体中，M,N,E,F分别是棱,,,的中点，求证:平面AMN//平面EFDB.题型三、线面平行的性质定理例3：如图，□EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH．题型四、面面平行的性质定理例4：如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.求证：.ADADαBEβγCF【方法与技巧总结】1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②利用平行四边形．③利用三角形中位线．（3）面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可．（4）掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化．2．求角：（1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是；（2）直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形．【巩固练习】1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是（）A．B．，直线C．D．，且不共线与重合2．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A．如果、n是异面直线，那么B．如果、n是异面直线，那么相交C．如果、n共面，那么D．如果、n共面，那么3．有以下命题，正确命题的序号是．①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行；④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．4．在三棱锥中，分别是的中点．求证：平面．5．如图，在四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点，证明：平面．6．如图所示，在三棱柱中，点为棱的中点，求证：平面．7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，为中点．证明：平面．8．如图，已知∥，2AB=DE，且是的中点，求证：∥平面．9．在棱长为的正方体中,是线段的中点，底面的中心是，求证：∥平面．10.如图，在四棱锥P–ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．巩固练习答案1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】①②4．【答案】 因为，分别为的中点 所以， 又因为，平面，平面 所以，平面5．【答案】 因为，分别是的中点 所有， 由题可得，，即 又因为，平面，平面 所以，平面6．【答案】 连接交于点，连接 在平行四边形中，为中点 又因为为中点 所以， 又因为，平面，平面 所以，平面7．【答案】 证明：连接在平行四边形中，因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以因为平面，平面所以平面．8．【答案】 取中点，连结， ∵为的中点，∴又∴∴为平行四边形，∴．又∵平面，平面∴平面9．【答案】 连接因为，所以为平行四边形，因此在正方形中，为中心，即为中点由于是线段的中点，所以，所以为平行四边形，即因为面，平面，所以∥平面10.【答案】证明：∵O、M分别是AC、PA的中点，连接OM，则OM//PC．∵OM平面PCD，PC平面PCD，∴OM//平面PCB．连结ON，则ON//AB，由AB//CD，知ON//CD．∵ON平面PCD，CD平面PCD，∴ON//平面PCD．又∵OM∩ON=O，∴OM、ON确定一个平面OMN．由两个平面平行的判定定理，知平面OMN与平面PCD平行，即过D、M、N三点的平面与侧面PCD平行．第三节直线、平面垂直的判定及其性质【知识点梳理】1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理（1）判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．amAαn若，，，，，则．amAαn （2）性质定理垂直于同一个平面的两直线平行．若，，则．2、平面与平面垂直的判定定理与性质定理（1）判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．若，，则．（2）性质定理两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．若，，，，则．3、直线和平面所成角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角．斜线与平面所成角（0，）；直线和平面所成角范围：0，4、垂线、斜线与射影（1）垂线：自一点向平面引垂线，垂足叫这点在这个平面上的射影．这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段．（2）斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．（3）射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影．直线与平面平行，直线在平面内的射影是一条直线．直线与平面垂直射影是点．斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上．【典型例题】题型一、线面垂直的判定与性质例题1：如图，直角所在平面外一点，且，点为斜边的中点．（1）求证：平面；（2）若，求证：面．【解析】证明：（1），为的中点，．连结．在中，则．，．又，面．（2），为的中点，．又由（1）知面，．于是垂直于平面内的两条相交直线．面．【点评】线线垂直转化成线面垂直．题型二、平面与平面垂直例题2：设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面.则下列命题中正确的是（填序号）.①m⊥，n，m⊥n⊥②∥，m⊥，n∥m⊥n③⊥，m⊥，n∥m⊥n④⊥，∩=m，n⊥mn⊥【答案】②【点评】①可能与平行，③m可能与n平行，④可能．例题3：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．【解析】证明：连结AC、BD，交点为F，连结EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．又EF平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD．【点评】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD”与需证结论“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．例题4：如图，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：①平面BDM⊥平面ECA；②平面DEA⊥平面ECA．【解析】证明：①取EC的中点F，连结DF，取AC的中点N，连结MN、BN，则MNCF．∵BDCF，∴MNBD，∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．②∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．题型三、直线与平面所成角例题5：如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角．【解析】连结与交于，连结，∵，，∴平面，∴是与对角面所成的角，在中，，∴．【点评】根据直线与平面所成角的定义找到线面角．【方法与技巧总结】1、三垂线定理：在平面内一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．如图：分别是平面的垂线和斜线，是在平面的射影，．则；2、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．如图：分别是平面的垂线和斜线，是在平面的射影，．则：；【巩固练习】1．给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的命题共有个．2．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列正确命题的序号是．①若m∥，n∥，则m∥n②若⊥，⊥，则∥③若m∥，m∥，则∥④若m⊥，n⊥，则m∥n3．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=，则它的5个面中，互相垂直的面有对．4．a、b表示直线，，，表示平面．①若∩=a，b，a⊥b，则⊥；②若a，a垂直于内任意一条直线，则⊥；③若⊥，∩=a，∩=b，则a⊥b；④若a不垂直于平面，则a不可能垂直于平面内无数条直线；⑤若a⊥，b⊥，a∥b，则∥.上述五个命题中，正确命题的序号是．5．如图，在空间四边形ABCD中，分别是的中点，求证：平面平面．6．四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=AC，∠BDC=90°．求证：BD⊥平面ACD．7．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．巩固练习答案1.答案22.答案④3.答案24.答案②⑤5．证明：为AC中点，所以.同理可证∴面BGD.又易知EF//AC，则面BGD.又因为面BEF，所以平面平面．6．证明：如图所示，取CD的中点G，连接EG、FG、EF.∵E、F分别为AD、BC的中点，∴EGAC，FGBD.又AC=BD，∴EG=FG=AC.∴在△EFG中，EG2+FG2=AC2=EF2.∴EG⊥FG.∴BD⊥AC.又∠BDC=90°，即BD⊥CD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD.7．【解析】（1）证明在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG⊥平面PAD.（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G，所以AD⊥平面PGB，因为PB平面PGB，所以AD⊥PB.（3）解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．高考体验8．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（B）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．(1)证明：//平面；(2)证明：平面；(3)当时，求三棱锥的体积．【解析】（1）在等边三角形中，,在折叠后的三棱锥中也成立，,平面，平面，平面；（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.在三棱锥中，，②；（3）由（1）可知，结合（2）可得.18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高．证明：PH平面ABCD；若PH=1，AD=,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；证明：EF平面PAB．解：（1）证明：因为平面，所以因为为△中边上的高所以因为所以平面（2）连结，取中点，连结因为是的中点，所以因为平面所以平面则（3）证明：取中点，连结，因为是的中点所以因为所以所以四边形是平行四边形所以因为所以因为平面，所以因为所以平面所以平面9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（C） A． B．4 C． D．218．（本小题满分13分） 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点．（1）证明：四点共面；（2）设G为AA′中点，延长\到H′，使得．证明：证明：（1）中点， 连接BO2 直线BO2是由直线AO1平移得到 共面。（2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接// 由平移性质得=HB// 9．如图1，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是(D)18.(本小题满分14分)如图4，是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点，∴点B为圆的圆心又∵E是弧AC的中点，AC为直径，∴即∵平面，平面，∴又平面，平面且∴平面又∵平面，∴（2）解：设点B到平面的距离（即三棱锥的高）为.∵平面,∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形由已知可得，又∴在中，，故,∴,又∵平面，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,∴，在中，,∴,∵即，故,即点B到平面的距离为.理科专题二面角的求法1、二面角的平面角的定义：以二面角的棱上作意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所形成的角就叫二面角的平面角．CBCBAαβa（1）定义法：在二面角的棱a上任取一点O为端点，在面α、β内分别引垂直于棱a的射线OA、OB，则∠AOB就是二面角的平面角．（2）作垂直面法：过二面角的棱上任一点O，作平面γ与该棱垂直（作棱的垂直面），平面γ与平面α、β分别交于OA、OB，则∠AOB就是二面角的平面角．（3）三垂线定理法：在二面角α－a－β的面α内任取一点A，过点A分别作棱a的垂线AO，作面β的垂线AB，连OB；或过A作AB⊥β，过B作BO⊥a，连AO，则∠AOB就是二面角的平面角．例题：正方体的棱长为1，是的中点．求二面角的大小．【解析】过作及的垂线，垂足分别是、，连结、PB∵面，面，∴，又，∴面．又∵，∴，∴为所求二面角的平面角．∵∽，∴．而，，，∴．在中，．∵，∴．在中，，在中，，∴．()来源：()来源：练习：1.设P是60°的二面角—l—内一点，PA⊥平面，PB⊥平面，A、B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为2．P2.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角P形，求二面角P-AB－C的大小。解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2C∴D是△ABC之外心又在BC上C∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，D∴AB⊥AC，又PC⊥面ABCD∴PA⊥AB(三垂线定理)A∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，AB易求∠PAC=30°BSRSRNMOBDPACPO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C的正切值。解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCD∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于S则RN=CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴