材料力学Ⅰ电子教案7

第六章简单的超静定问题§6-1

超静定问题及其解法§6-2

拉压超静定问题§6-3

扭转超静定问题§6-4

简单超静定梁1§6-1超静定问题及其解法Ⅰ.关于超静定问题的概述第六章简单的超静定问题(a)(b)2图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程──一次超静定问题。第六章简单的超静定问题(a)(b)3图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC，但只有三个独立的静力平衡方程──一次超静定问题。

超静定问题(staticallyindeterminateproblem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。第六章简单的超静定问题FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxABqFBFA4Ⅱ.解超静定问题的基本思路例1超静定结构(staticallyindeterminatestructure)解除“多余”约束基本静定系(primarystaticallydeterminatesystem)(例如杆3与接点A的连接)第六章简单的超静定问题5在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统(equivalentsystem)12BCAFFN3FN3AD第六章简单的超静定问题6于是可求出多余未知力FN3。由位移相容条件

，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：第六章简单的超静定问题12BCAFFN3FN3AD7基本静定系ABl补充方程为于是可求出多余未知力FC。第六章简单的超静定问题位移相容条件ΔCq+ΔCFC=0相当系统ABl/2qlFC例2超静定梁yxl/2l/2CABq8Ⅲ.注意事项

(1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。(2)求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。

(3)无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。第六章简单的超静定问题9

(4)“多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。第六章简单的超静定问题xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq10§6-2拉压超静定问问题Ⅰ.拉压超静定基基本问题例题6-1求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。。杆的拉压刚刚度为EA。解:1.有两个未知约束力FA,FB(见图a)，但只有一个独独立的平衡方方程FA+FB-F=0故为一次超静静定问题。第六章简单单的超静定问问题112.取固定端B为“多余”约约束。相应的的相当系统如如图b，它应满足相容容条件ΔBF+ΔBB=0，参见图c，d。第六章简单单的超静定问问题3.补充方程为由此求得所得FB为正值，表示示FB的指向与假设设的指向相符符，即向上。。12得FA=F-Fa/l=Fb/l。5.利用相当系统统(如图)求得4.由平衡方程FA+FB-F=0第六章简单单的超静定问问题13例题求图a所示结构中杆1,2,3的内力FN1,FN2,FN3。杆AB为刚性杆，杆杆1,2,3的拉压刚度均均为EA。第六章简单单的超静定问问题aaaACDB132EFF(a)a14解：1.共有五个未知知力，如图b所示，但只有有三个独立的的静力平衡方方程，故为二二次超静定问问题。2.取杆1与结点C处的连接以及及杆2与结点D处的连接为多多余约束，得得基本静定系系如图c。CD3(c)第六章简单单的超静定问问题FFAyFAxFN1FN3FN2(b)153.相当系统应满满足的变形相相容条件如图图d所示为FN2DDl2FFCADl1Dl3Dl2FBFN2DFN13(d)第六章简单单的超静定问问题FN1CDl1E4.根据相容条件件，利用物理理方程得补充充方程：即FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3165.将上述二个补补充方程与由由平衡条件ΣMA=0所得平衡方程程联立求解得第六章简单单的超静定问问题FN1=2FN3,FN2=2FN1=4FN3FFAyFAxFN1FN3FN2(b)17Ⅱ.装配应力和温温度应力(1)装配应力超静定杆系(结构)由于存在“多多余”约束，，因此如果各各杆件在制造造时长度不相相匹配，则组组装后各杆中中将产生附加加内力──装配内力，以及相应的的装配应力。第六章简单单的超静定问问题18图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有有长度短了De，装配后各杆的的位置将如图图中虚线所示示。此时，杆杆3在结点A'处受到装配力力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A'处共同承受与与杆3相同的装配力力FN3作用(图b)。第六章简单单的超静定问问题(a)(b)19求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程程由此可得装配配力FN3，亦即杆3中的装配内力力为第六章简单单的超静定问问题(拉力）(a)20至于各杆横截截面上的装配配应力只需将将装配内力(轴力)除以杆的横截截面面积即得得。由此可见，计计算超静定杆杆系(结构)中的装配力和和装配应力的的关键,仍在于根据位位移(变形)相容条件并利利用物理关系系列出补充方方程。而杆1和杆2中的装配内力力利用图b中右侧的图可可知为第六章简单单的超静定问问题21例题6-3两端用刚性块块连接在一起起的两根相同同的钢杆1,2(图a)，其长度l=200mm，直径d=10mm。试求将长度为为200.11mm，亦即De=0.11mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后后(图c)各杆横截面上上的应力。已已知：铜杆3的横截面为20mm××30mm的矩形，钢的的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量量E3=100GPa。第六章简单单的超静定问问题22解：1.如图d所示有三个未未知的装配内内力FN1,FN2,FN3，但对于平行力力系却只有二二个独立的平平衡方程，故故为一次超静静定问题。也也许有人认为为，根据对称称关系可判明明FN1=FN2，故未知内力只有有二个，但要要注意此时就就只能利用一一个独立的静静力平衡方程程：所以这仍然是是一次超静定定问题。第六章简单单的超静定问问题(d)232.变形相容条件件(图c)为这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短短值，不带负负号。3.利用物理关系系得补充方程程：第六章简单单的超静定问问题244.将补充方程与与平衡方程联联立求解得：：所得结果为正正，说明原先先假定杆1,2的装配内力为为拉力和杆3的装配内力为为压力是正确确的。5.各杆横截面上上的装配应力力如下：第六章简单单的超静定问问题（拉应力）（压应力）25(2)温度应力也是由于超静静定杆系存在在“多余”约约束，杆件会会因温度变化化产生的变形形受到限制而而产生温度内内力及温度应应力。铁路上无缝缝线路的长钢钢轨在温度变变化时由于不不能自由伸缩缩，其横截面面上会产生相相当可观的温温度应力。第六章简单单的超静定问问题26例题6-4试求两端与刚刚性支承连接接的等截面杆杆(图a)当温度升高Dt时横截面上的的温度应力。。杆的横截面面面积为A，材料的弹性模模量为E，线膨胀系数为为l。第六章简单单的超静定问问题(a)27解:1.由平衡方程只只能知道杆两两端的轴向支支约束力数值值相等而指向向相反，但不不能给出约束力的值，可见这这是一次超静静定问题。2.以刚性支撑B为“多余”约约束后的基本本静定系由于于温度升高产产生的伸长变变形Dlt和“多余”未未知力FN产生的缩短变变形DlF分别如图所示示。第六章简单单的超静定问问题283.变形相容条件件为4.补充方程为5.由此得多余未未知力6.杆的横截面上上的温度应力力为29若该杆为钢杆而而l=1.2×10-5/(˚C)，E=210GPa，则当温度升高高Dt=40˚时有第六章简单单的超静定问问题（压应力）30§6-3扭转超静定问问题例题6-5两端固定的圆圆截面等直杆杆AB，在截面C处受扭转力偶偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转转刚度为GIp。试求杆两端的的约束力偶矩以及C截面的扭转角角。第六章简单单的超静定问问题(a)31解:1.有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独独立的静力平平衡方程故为一次超静定问问题。第六章简单单的超静定问问题(a)MAMB322.以固定端B为“多余”约约束，约束力偶矩MB为“多余”未未知力。在解解除“多余””约束后基本本静定系上加加上荷载Me和“多余”未未知力偶矩MB，如图b；它应满足的的位移相容条条件为注：这里指的的是两个扭转转角的绝对值相等。第六章简单单的超静定问问题33另一约束力偶矩MA可由平衡方程程求得为3.根据位移相容容条件利用物物理关系得补补充方程：由此求得“多多余”未知力力，亦即约束力偶矩MB为第六章简单单的超静定问问题344.杆的AC段横截面上的的扭矩为第六章简单单的超静定问问题从而有(a)35例题6-6由半径为a的铜杆和外半半径为b的钢管经紧配配合而成的组组合杆，受扭扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢钢管横截面上上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横横截面上切应应力沿半径的的变化情况。。第六章章简简单的的超静静定问问题(a)36解:1.铜杆和和钢管管的横横截面面上各各有一一个未未知内内力矩──扭矩Ta和Tb(图b)，但只有有一个个独立立的静静力平平衡方方程Ta+Tb=Me，故为为一次超静定定问题题。第六章章简简单的的超静静定问问题TaTb(b)2.位移相相容条条件为为373.利用物物理关关系得得补充充方程程为4.联立求求解补补充方方程和和平衡衡方程程得：：第六章章简简单的的超静静定问问题TaTb(b)38第六章章简简单的的超静静定问问题5.铜杆横横截面面上任任意点点的切切应力力为钢管横横截面面上任任意点点的切切应力力为39上图示示出了了铜杆杆和钢钢管横横截面面上切切应力力沿半半径的的变化化情况况。需需要注注意的的是，，由于于铜的的切变变模量量Ga小于钢钢的切切变模模量Gb，故铜杆和钢管在在r=a处切应力并并不相相等，，两者者之比就等等于两两种材材料的的切变变模量量之比比。这这一结结果与与铜杆杆和钢钢管由由于紧紧配合合而在在交界界处切切向的的切应应变应应该相相同是是一致致的。。第六章章简简单的的超静静定问问题40§6-4简单超超静定定梁Ⅰ.超静定定梁的的解法法第六章章简简单的的超静静定问问题解超静定定梁的的基本思思路与与解拉拉压超超静定定问题题相同同。求求解图图a所示一一次超超静定定梁时时可以以铰支支座B为“多多余””约束束，以以约束力力FB为“多多余””未知知力。。解除除“多多余””约束束后的的基本本静定定系为为A端固定定的悬悬臂梁梁。基本静静定系系41基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d)

时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁梁为等等截面面梁，，根据据位移移相容容条件件利用用物理理关系系(参见教教材中中的附附录Ⅳ)所得的的补充充方程程为第六章章简简单的的超静静定问问题42从而解解得““多余余”未未知力力第六章章简简单的的超静静定问问题所得FB为正值值表示示原来来假设设的指指向(向上)正确。。固定定端的的两个个约束力力利用相相当系系统由由静力力平衡衡条件件求得得为43该超静静定梁梁的剪剪力图和和弯矩矩图亦亦可利利用相相当系系统求求得，，如图图所示。思考1.该梁的的反弯弯点(弯矩变变换正正负号号的点点)距梁的的左端端的距距离为为多少少？2.该超静静定梁梁可否否取简简支梁梁为基基本静静定系系求解解？如如何求求解？？第六章章简简单的的超静静定问问题44例题6-7试求图图a所示系系统中中钢杆杆AD内的拉拉力FN。钢梁和和钢杆杆的材材料相相同，，弹性性模量量E已知；；钢杆杆的横横截面面积A和钢梁梁横截截面对对中性性轴的的惯性性矩I亦为已已知。。第六章章简简单的的超静静定问问题45解:1.该系统统共有有三个个未知知力(图b)FN,FB,FC，但平面平平行力力系仅仅有两两个独独立的的平衡衡方程程，故故为一一次超超静定定问题题。2.取杆和和梁在在点A处的连连接铰铰为““多余余”约约束，，相应应的““多余”未未知力力为FN。位移(变形)相容条条件(参见图图b)为wA=DlDA。第六章章简简单的的超静静定问问题463.物理关关系(参见图图c,d)为需要注意，因DlDA亦即图b中的是向下的，故上式中wAF为负的。第六章章简简单的的超静静定问问题474.于是根根据位位移(变形)相容条条件得得补充充方程程：由此求求得第六章章简简单的的超静静定问问题48例题6-8试求图图a所示等等截面面连续续梁的的约束力力FA,FB,FC，并绘出该该梁的剪力图和和弯矩矩图。。已知知梁的的弯曲曲刚度度EI=5×106N·m2。第六章章简简单的的超静静定问问题49解:1.两端铰铰支的的连续续梁其其超静静定次次数就就等于于中间间支座座的数数目。。此梁梁为一一次超超静定定梁。。第六章章简简单的的超静静定问问题502.为便于于求解解，对对于连连续梁梁常取取中间间支座座截面面处阻阻止左左,右两侧侧梁相相对转转动的的内部部角约约束为为“多多余””约束束，从从而以以梁的的中间间支座座截面面上的的弯矩矩作为为“多多余””未知知力，，如图图b。第六章章简简单的的超静静定问问题此时基基本静静定系系为两两跨相相邻的的简支支梁，，它们们除承承受原原超静静定梁梁上的的荷载载外，，在中中间支支座B处的梁梁端还还分别别作用用有等等值反反向的的“多多余””未知知力矩矩───弯矩MB，图b中的““多余余”未未知力力矩为为一对对正弯弯矩。。位移移相容容条件件(参见图图b)为513.利用教教材中中的附附录Ⅳ可得物物理关关系为为应该注意，在列出转角

的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。第六章章简简单的的超静静定问问题524.将物理关关系代入入位移相相容条件件补充方方程，从从而解得得这里的负负号表示示实际的的中间支支座处梁梁截面上上的弯矩矩与图b中所设相相反，即即为负弯弯矩。第六章简简单的的超静定定问题5.利用图b可得约束力：53第六章简简单的的超静定定问题(c)(d)然后绘出出剪力图图和弯矩矩图如图图c,d。54*Ⅱ.支座沉陷陷和温度度变化对对超静定定梁的影影响超静定梁由于有““多余””约束存存在，因因而支座座的不均均匀沉陷陷和梁的的上,下表面温温度的差差异会对对梁的约束力和内力产产生明显显影响，，在工程程实践中中这是一一个重要要问题。。第六章简简单的的超静定定问题55(1)支座不均均匀沉陷陷的影响响图a所示一次次超静定定梁，在在荷载作作用下三三个支座座若发生生沉陷A,B,C，而沉陷陷后的支支点A1,B1,C1不在同一一直线上上时(即沉陷不不均匀时时)，支座约束力和梁的内内力将不不同于支支座均匀匀沉陷时时的值。。而支座座均匀沉沉陷时梁梁的约束力和内力，，由于支支座沉陷陷量与梁梁的跨度度相比是是微小的的，故可可认为与与支座无无沉陷时时相同。。第六章简简单的的超静定定问题(a)56第六章简简单的的超静定定问题(a)现按如图a中所示各各支点沉沉陷B>C>A的情况进进行分析析。此时时，支座座B相对于支支座A,C沉陷后的的点A1,C1的连线有有位移57于是，如如以支座座B1作为“多多余”约约束，以以约束力FB为“多余余”未知知力，则则作为基基本静定定系的简简支梁A1C1(参见图b)在荷载q和“多余余”未知知力FB共同作用用下应满满足的位位移相容容条件就就是第六章简简单的的超静定定问题(b)58于是得补补充方程程由此解得第六章简简单的的超静定定问题其中的wB按叠加原理理有(参见图c,d):59第六章简简单的的超静定定问题再由静力力平衡方程程可得(a)60(2)梁的上,下表面温温度差异异的影响响图a所示两端端固定的的梁AB在温度为为t0时安装就位位，其后后，由于于梁的顶面温度升升高至t1，底面温度升升高至t2，且t2>t1，从而产生生约束力如图中所所示。由于未知知的约束力有6个，而独独立的平平衡方程程只有3个，故为为三次超超静定问问题。第六章简简单的的超静定定问