(高中数学必修5)基本不等式课件

§3.4基本不等式:§3.4基本不等式:2002年第24届国际数学家大会在北京举行2002年第24届国际数学家大会2002年第24届国际数学家大会在北京举行

会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。2002年第24届国际数学家大会会标的设计源中国ADBCEFGHab你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗正方形ABCD的面积为a2＋b24个直角三角形的面积和为2ab

一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。当EFGH缩为一点，即a=b时，有a2＋b2＝2abADBCEFGHab你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗不等式：

（当且仅当a=b时，等号成立）特别地，如果a>0、b>0,用分别代替a、b得：即：要特别注意条件写成：探究不等式：（当且仅当a=b时，等号成立）特别地，如果a>0、_____要证只要证①显然④是成立的，当且仅当______时，等号成立下面证明不等式：证明：要证②，只要证②③要证③，只要证④分析法_____要证只要证①显然④是成立的，当且仅当______时ABEDCab?由“半径不小于半弦”得：几何解释∵Rt△ACDRt△DCB∽∴CD2=AC·BC∴CD=即当且仅当C与圆心重合，即a=b时，等号成立ABEDCab?由“半径不小于半弦”得：几何解释∵Rt△AC基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：不等式的适用范围。思考的适用范围呢？a,b∈R基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：思考的适用范围1.如果把

看作是正数a、b的等差中项，

看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，

我们称

为a、b的算术平均数，

称

为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，②基本不等式：常用的不等式：①重要不等式：③基本不等式的变形：②基本不等式：常用的不等式：①重要不等式：③基本不等式的变形其中恒成立的是_________利用基本不等式判断大小关系例1：设0<a<1，给出下列不等式(1)应用举例

解:一正二定三相等其中恒成立的是_________利用基本不等式判断大小关系

解:一正二定三相等其中恒成立的是_________例1：设0<a<1，给出下列不等式应用举例利用基本不等式判断大小关系×(1)解:一正二定三相等其中恒成立的是_________归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是_________例1：设0<a<1，给出下列不等式(1)应用举例利用基本不等式判断大小关系（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否

能取“＝”，否则会出现错误归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是________例2：下列各式中，用基本不等式可以得到最小值4的是（）C利用基本不等式求值域应用举例例2：下列各式中，用基本不等式可以得到C利用基本不等式求值域1.(1)已知两个正数a,b的积等于36,则当a=_____,b=_____时,它们的和最小,最小值等于_____？(2)已知两个正数a,b的和等于18,则当a=_____,b=____时,它们的积最大,

最大值等于_____？巩固练习81669912（1）两个正数的积为定值，和有最小值（2）两个正数的和为定值，积有最小值归纳小结1.(1)已知两个正数a,b的积等于36,(2)已知两个2.判断题(1)()(2)()巩固练习(3)()√××一正二定三相等2.判断题(1)

实践创新一正二定三相等实践创新一正二定三相等感受总结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公式的正用、逆用、变形用二定一正三相等感受总结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公布置作业P100A组第1题P101B组第1题选做题：当x<0时，求的最大值布置作业选做题：应用二：解决最大（小）值问题分析：（1）面积一定，求长与宽的和的最小值（2）________一定，求_________的最大值长与宽的和长与宽的积联想：（左右）（左右）例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例应用二：解决最大（小）值问题分析：（1）面积一定，求长与宽的例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m由可得∴2（x+y）≥40当且仅当x=y即x=y=10时，等号成立答(略)一正二定三相等应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(2)设长xm,宽ym,则2(x+y)=36,x+y=18面积为xym2由可得当且仅当x=y即x=y=9时，等号成立答(略)应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩应用二：解决最大（小）值问题归纳小结：（1）两个正数的积为定值，和有最小值（2）两个正数的和为定值，积有最大值应用要点：二定一正三相等例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例应用二：解决最大（小）值问题归纳小结：（1）两个正数的积§3.4基本不等式:§3.4基本不等式:2002年第24届国际数学家大会在北京举行2002年第24届国际数学家大会2002年第24届国际数学家大会在北京举行

会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。2002年第24届国际数学家大会会标的设计源中国ADBCEFGHab你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗正方形ABCD的面积为a2＋b24个直角三角形的面积和为2ab

一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。当EFGH缩为一点，即a=b时，有a2＋b2＝2abADBCEFGHab你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗不等式：

（当且仅当a=b时，等号成立）特别地，如果a>0、b>0,用分别代替a、b得：即：要特别注意条件写成：探究不等式：（当且仅当a=b时，等号成立）特别地，如果a>0、_____要证只要证①显然④是成立的，当且仅当______时，等号成立下面证明不等式：证明：要证②，只要证②③要证③，只要证④分析法_____要证只要证①显然④是成立的，当且仅当______时ABEDCab?由“半径不小于半弦”得：几何解释∵Rt△ACDRt△DCB∽∴CD2=AC·BC∴CD=即当且仅当C与圆心重合，即a=b时，等号成立ABEDCab?由“半径不小于半弦”得：几何解释∵Rt△AC基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：不等式的适用范围。思考的适用范围呢？a,b∈R基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：思考的适用范围1.如果把

看作是正数a、b的等差中项，

看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，

我们称

为a、b的算术平均数，

称

为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，②基本不等式：常用的不等式：①重要不等式：③基本不等式的变形：②基本不等式：常用的不等式：①重要不等式：③基本不等式的变形其中恒成立的是_________利用基本不等式判断大小关系例1：设0<a<1，给出下列不等式(1)应用举例

解:一正二定三相等其中恒成立的是_________利用基本不等式判断大小关系

解:一正二定三相等其中恒成立的是_________例1：设0<a<1，给出下列不等式应用举例利用基本不等式判断大小关系×(1)解:一正二定三相等其中恒成立的是_________归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是_________例1：设0<a<1，给出下列不等式(1)应用举例利用基本不等式判断大小关系（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否

能取“＝”，否则会出现错误归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是________例2：下列各式中，用基本不等式可以得到最小值4的是（）C利用基本不等式求值域应用举例例2：下列各式中，用基本不等式可以得到C利用基本不等式求值域1.(1)已知两个正数a,b的积等于36,则当a=_____,b=_____时,它们的和最小,最小值等于_____？(2)已知两个正数a,b的和等于18,则当a=_____,b=____时,它们的积最大,

最大值等于_____？巩固练习81669912（1）两个正数的积为定值，和有最小值（2）两个正数的和为定值，积有最小值归纳小结1.(1)已知两个正数a,b的积等于36,(2)已知两个2.判断题(1)()(2)()巩固练习(3)()√××一正二定三相等2.判断题(1)

实践创新一正二定三相等实践创新一正二定三相等感受总结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公式的正用、逆用、变形用二定一正三相等感受总结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公布置作业P100A组第1题P101B组第1题选做题：当x<0时，求的最大值布置作业选做题：应用二：解决最大（小）值问题分析：（1）面积一定，求长与宽的和的最小值（2）________一定，求_________的最大值长与宽的和长与宽的积联想：（左右）（左右）例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例应用二：解决最大（小）值问题分析：（1）面积一定，求长与宽的例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大