线性代数教学改革课件

线性代数

教学改革

李尚志教授中国科学技术大学数学系线性代数

教学改革1空间为体,矩阵为用研究对象----几何：线性空间(向量)研究工具----代数：矩阵运算向量(问题)--modeling矩阵语言描述矩阵运算解决向量(解答)与微积分的关系:

非线性--微积分

线性--线性代数空间为体,矩阵为用研究对象----几何：线性空间(向量)2

抽象=?抽象=难得糊涂:忽略差别,提取共同点抽象=?抽象=难得糊涂:3从问题出发

以解决问题为线索

展开教学内容从问题出发

以解决问题为线索

展开教学内容4例:怎样建立向量的坐标有方向和大小的量坐标化n数组向量与坐标运算的对应:

依赖于加法与数乘的运算律(8条公理)不直接依赖于平行四边形法则基：坐标的唯一性—线性无关,存在性—极大无关组向量---坐标:同构坐标变换---数组空间中的坐标变换例:怎样建立向量的坐标有方向和大小的量坐标化n数5例:解线性方程组方程(向量)-----系数组(坐标)互为线性组合(初等变换)同解变形(高斯消去法)只用到四则运算--数域的概念关于方程个数的讨论:例:解线性方程组方程(向量)-----系数组(坐标)6方程个数有真假

—线性无关与线性相关

几个方程?4个?

为何只剩2个?有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关打假到底极大无关组货真价实(秩)2个方程个数有真假

—线性无关与线性相关7秩(方程的真正个数)的唯一性证明只依赖于运算律将方程换成任意向量

秩(方程的真正个数)的唯一性8行列式的性质det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w)det(u,v)=det(u,v+au)行列式的性质det(u,v+w)=det(u,v)=det9几何变换(x,y)(x’,y’)x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)曲线C:x=x(t),y=y(t)

曲线C’:x=f1(x(t),y(t)),y=f2(x(t),y(t))几何变换(x,y)(x’,y’)10线性变换x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.由矩阵决定

画图观察:直线,平行,垂直,长度,角度,圆?

线性变换x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.11

旋转:2022/12/2

旋转:2022/12/112

2022/12/2

2022/12/113

向量方向的变化特征向量2022/12/2

向量方向的变化2022/12/114选取特征向量为基

---矩阵的对角化2022/12/2选取特征向量为基

---矩阵的对角化2022/15射影变换x’=x/(x-1),

y’=y/(x-1).

直线、相交、平行

？相交于x=1

的直线？圆(与x=1相离、切、交)

?射影变换x’=x/(x-1),16相交直线变成平行直线

相交直线变成平行直线

17圆变成圆锥曲线圆变成圆锥曲线18

谢谢！

谢谢！19

线性代数

教学改革

李尚志教授中国科学技术大学数学系线性代数

教学改革20空间为体,矩阵为用研究对象----几何：线性空间(向量)研究工具----代数：矩阵运算向量(问题)--modeling矩阵语言描述矩阵运算解决向量(解答)与微积分的关系:

非线性--微积分

线性--线性代数空间为体,矩阵为用研究对象----几何：线性空间(向量)21

抽象=?抽象=难得糊涂:忽略差别,提取共同点抽象=?抽象=难得糊涂:22从问题出发

以解决问题为线索

展开教学内容从问题出发

以解决问题为线索

展开教学内容23例:怎样建立向量的坐标有方向和大小的量坐标化n数组向量与坐标运算的对应:

依赖于加法与数乘的运算律(8条公理)不直接依赖于平行四边形法则基：坐标的唯一性—线性无关,存在性—极大无关组向量---坐标:同构坐标变换---数组空间中的坐标变换例:怎样建立向量的坐标有方向和大小的量坐标化n数24例:解线性方程组方程(向量)-----系数组(坐标)互为线性组合(初等变换)同解变形(高斯消去法)只用到四则运算--数域的概念关于方程个数的讨论:例:解线性方程组方程(向量)-----系数组(坐标)25方程个数有真假

—线性无关与线性相关

几个方程?4个?

为何只剩2个?有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关打假到底极大无关组货真价实(秩)2个方程个数有真假

—线性无关与线性相关26秩(方程的真正个数)的唯一性证明只依赖于运算律将方程换成任意向量

秩(方程的真正个数)的唯一性27行列式的性质det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w)det(u,v)=det(u,v+au)行列式的性质det(u,v+w)=det(u,v)=det28几何变换(x,y)(x’,y’)x’=f1(x,y),y’=f2(x,y)曲线C:x=x(t),y=y(t)

曲线C’:x=f1(x(t),y(t)),y=f2(x(t),y(t))几何变换(x,y)(x’,y’)29线性变换x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.由矩阵决定

画图观察:直线,平行,垂直,长度,角度,圆?

线性变换x’=a1x+b1y,y’=a2x+b2y.30

旋转:2022/12/2

旋转:2022/12/131

2022/12/2

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向量方向的变化特征向量2022/12/2

向量方向的变化2022/12/133选取特征向量为基

---矩阵的对角化2022/12/2选取特征向量为基

---矩阵的对角化2022/34射影变换x’=x/(x-1),

y’=