第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件

第5章数字滤波概述

5.1数字滤波器与模拟滤波器一般来说，时域信号含有各种频率成分。所谓滤波器是一类系统，它能够使输入信号中的某些频率成分充分地衰减，同时保留那些需要的频率成分。

1比如一个低通滤波器，它将使输入信号中高于某一频率（通常称这一频率为截止频率）的成分尽可能地衰减，而低于这一频率的成分不衰减或者衰减很少。被严重衰减的频率范围称为滤波器的阻带，而被保留的频率范围称为通带。一般情况下，滤波器是一类线性时不变系统。比如一个低通滤波器，它将使输入信号中高于某一频率（通常称这一2根据处理的信号是模拟的还是数字的，滤波器可以分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器要用硬件电路来实现，也就是用由模拟元件（比如电感、电容等）组成的电路来完成滤波的功能。而数字滤波器将输入信号序列通过一定的运算后变换为输出信号序列，从而完成滤波功能。

根据处理的信号是模拟的还是数字的，滤波器可以分为模拟滤波器和3因此，数字滤波器就是一个线性时不变的数字系统（离散系统）。

所以，数字滤波器具有我们前面所讨论的LTI系统的所有性质；并且也是用数字信号处理的三种方式来实现，也即数字硬件电路实现、计算机编程软件方式实现以及DSP方式实现。因此，数字滤波器就是一个线性时不变的数字系统（离散系统）。45.2两大类数字滤波器正如离散系统，数字滤波器也分为递归型和非递归型两大类。递归型的数字滤波器实际上叫做IIR数字滤波器，IIR是无限冲激响应(InfiniteImpulseResponse)的意思，就是说这类滤波器的h(n)是无限长度的；而FIR数字滤波器属于非递归型的数字滤波器，FIR是有限冲激响应(FiniteImpulseResponse)的意思，就是说这类滤波器的h(n)是有限长度的。5.2两大类数字滤波器5h(n)是当输入信号为单位抽样信号δ(n)时离散系统的输出信号，而δ(n)只当n=0时为1，其它时刻均为0。如果滤波器是因果非递归型的，那末其输出只依赖于输入信号，因此如果在n=0时有输入，一般也就有输出h(0)，但是之后输入值就是0了，只是由于滤波器的延时单元的作用，才使得输出h(n)会持续一些时刻，但是终究会变为0，也即h(n)的长度是有限的。

h(n)是当输入信号为单位抽样信号δ(n)时离散系统的输出信6如果滤波器是因果递归型的，那末其输出不仅依赖于输入信号，而且与输出信号有关，这样，只要n=0时输入不为0，并且同时产生了不为0的输出，该输出值就会反馈到输入，即使之后外部的输入值均为0，也会产生输出值，并且输出还会不断地反馈到输入，因而也就不断产生输出，所以这种情况下输出序列h(n)就会无限长。

如果滤波器是因果递归型的，那末其输出不仅依赖于输入信号，而且7当然如果系统是稳定的，h(n)会逐渐趋于0，但是不会完全等于0。IIR数字滤波器与FIR数字滤波器无论在特性方面还是在设计方法方面都很不相同，下面各章将对这两大类滤波器分别进行讨论。当然如果系统是稳定的，h(n)会逐渐趋于0，但是不会完全等于85.3数字滤波器的设计步骤设计一个数字滤波器，大致可分为三步。1.按照实际需要确定滤波器的性能要求，并且将这些性能要求以滤波器指标的形式表示出来。

5.3数字滤波器的设计步骤92．用一个因果稳定的系统函数去逼近这些指标。系统函数分为IIR和FIR两大类，因此，应该先确定采用哪种类型的滤波器，然后再按照这类滤波器的设计方法去设计系统函数H(z)。3.用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。要确定实现方式，选择合适的字长，以及针对滤波器类型选择适当的算法结构等等。2．用一个因果稳定的系统函数去逼近这些指标。系统函数分为I10第一步本教材不讨论，也即我们是在给定滤波器性能指标的条件下去考虑数字滤波器的设计问题。第二步内容将在下面两章中分别对IIR滤波器和FIR滤波器进行讨论。第三步中，实现方式应该根据具体情况来确定，在这里不讨论；字长位数的选择一方面要了解字长效应产生的影响（第9章），另一方面要根据实现的方式以及实际要求和实际条件来确定；算法结构的问题将在第8章中详细讨论。

第一步本教材不讨论，也即我们是在给定滤波器性能指标的条件下去11

第6章IIR数字滤波器的原理及设计6.1概述6.1.1IIR数字滤波器的差分方程和系统函数我们已经知道IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变因果系统，其差分方程可以写为：

（6.1）

第6章IIR数字滤波器的原理及设计12进行z变换，可得：

于是得到IIR数字滤波器的系统函数：(6.2)进行z变换，可得： 136.1.2IIR数字滤波器的设计方法对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有三种方法。6.1.2IIR数字滤波器的设计方法14

1.零极点位置累试法

IIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点处出现谷值,因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。

1.零极点位置累试法152.借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起来方便准确。2.借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器16而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的,因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用了这种方法。

而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的,因此，完173.用优化技术设计系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。

3.用优化技术设计18第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数，设计过程也就到此完成。

第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参数一组初值19这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算机，因而优化设计又叫做IIR滤波器的计算机辅助设计(CAD)。第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用得最多的第二种方法。

这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计算很复杂，206.1.3借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后由Ha(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。

6.1.3借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理216.2模拟低通滤波特性的逼近

模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。

6.2模拟低通滤波特性的逼近22模拟系统的频率响应Ha(jΩ)是冲激响应ha(t)的傅里叶变换，Ha(jΩ)的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何根据幅频特性指标来设计系统函数。图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2来给出的。

模拟系统的频率响应Ha(jΩ)是冲激响应ha(t)的傅里叶变23Ωc是截止频率，当0≤Ω<Ωc时，|Ha(jΩ)|2=1，是通带；当Ω>Ωc时，|Ha(jΩ)|2=0，是阻带。图6.1中的实的曲线表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。

通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、

Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。

Ωc是截止频率，当0≤Ω<Ωc时，|Ha(jΩ)|2=1246.2.1Butterworth低通滤波特性的逼近对于Butterworth滤波器有：

（6.4）满足此平方幅度特性的滤波器又叫做B型滤波器。这里N为正整数，为B型滤波器的阶次，为截止频率。6.2.1Butterworth低通滤波特性的逼近256.2.1.1B型滤波特性1.最平坦函数

B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在

=0附近以及

很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。

6.2.1.1B型滤波特性262.3db带宽

由(6.4)式可知，当Ω=Ωc

时，=，而

因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。

2.3db带宽27

图6.1Butterworth低通滤波器的平方幅度特性图6.1Butterworth低通滤波283.N的影响在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大，随增大而下降越慢；在阻带内，(Ω/Ωc)>1，故N越大，随增大而下降越快。3.N的影响29因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形形状；而不同的N所对应的特性曲线都经过Ωc处的半功率点。离Ωc越近，幅频特性与理想特性相差越大。

因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形形状；而不306.2.1.2由得到Ha(s),B型滤波器的极点由于Ha(s)是s的实系数有理函数，故有：，令s=jΩ,则有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6)6.2.1.2由得到Ha(s),B型滤波器的极点31

图6.2阶次N对B型特性的影响图6.2阶次N对B型特性32(6.6)式的极点为：p=0,1,…,2N-1

作为–1的2N次方根，αp均匀地分布在单位圆上，幅角间隔为π/N；它们关于实轴对称，却没有一个在实轴上。显然，将的模乘上，再将其按逆时针方向旋转，就得到sp。因此，sp均匀地分布在半径为的圆周上，其位置关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上，这就是说，2N个极点sp在s平面的左、右两半平面各有N个。(6.6)式的极点为：33这2N个极点是Ha(s)Ha(-s)的极点，考虑到系统函数Ha(s)的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平面的N个极点sk（k=0,1,…,N-1)分给Ha(s)，这样，右半平面的N个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：(6.8)这2N个极点是Ha(s)Ha(-s)的极点，考虑到系统函数34这个式子中的常数是为了使(6.5)式满足而加入的。这N个极点s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共轭形式成对出现，当N为奇数时,有一个在实轴上(为-)。这个式子中的常数是为了使(6.5)式满足而加入的。这356.2.1.3一般情况下的B型低通滤波器

图6.3一般情况下低通滤波器的设计指标6.2.1.3一般情况下的B型低通滤波器36此时，应该将角频率标称化，通常以Ω1为基准频率，则标称化角频率为：Ω’=Ω/Ω1。于是通带边界的标称化角频率为Ω1’=1，并且在通带有0≤Ω’≤1，在过渡带和阻带则有’>1。以下为了方便起见，仍用不带撇的表示标称化的角频率。频率标称化后，B型滤波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的参数和N都需要由图6.3给出的指标来确定。

此时，应该将角频率标称化，通常以Ω1为基准频率，则标称37（6.4）式可以写成：(6.10)当Ω=Ω1=1时，上式为：(6.11)令(6.12)则由(6.11)式可得：（6.4）式可以写成：38当时有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再将其代入(6.12)式，即可求得。当时有：396.2.2Chebyshev低通滤波特性的逼近

Chebyshev滤波特性分为两个类型。ChebyshevⅠ型在通带是等波纹波动的，在过渡带和阻带为单调波形；ChebyshevⅡ型则在通带和过渡带为单调波形，而在阻带是等波纹波动的。这里讨论的是ChebyshevⅠ型低通滤波特性。

6.2.2Chebyshev低通滤波特性的逼近40现将低通滤波器的平方幅度特性写成一般形式：（6.15）当f()=0，便有，达到最大值。而B型滤波器在带通内f()的零点都集中于=0处，因而只在=0附近通带特性好。如果将通带内f()的零点分散开，则将在通带内多个点上出现最大值，于是通带内的总体特性就会得到改善。现将低通滤波器的平方幅度特性写成一般形式：41

Chebyshev响应就具有这样的特点，具有这种特性的滤波器又叫做C型滤波器。C型滤波器的平方幅度特性为：(6.16)

其中为标称化的角频率，基准频率为通带边界频率，即=1；N为滤波器阶数，它可以是0和正整数；是N阶Chebyshev多项式,为一常数。Chebyshev响应就具有这样的特点，具有这种特性的滤波426.2.2.1Chebyshev多项式从(6.16)式可知，C型滤波器的平方幅度特性主要由Chebyshev多项式CN(Ω)决定，因此，我们首先讨论CN(Ω)的特性。定义为：(6.17)6.2.2.1Chebyshev多项式43这里cosh(x)为双曲余弦函数:(6.18)1.关于在的情形，令，则cosθ=Ω,而cos(π-θ)=-cosθ=-Ω,故有：(6.20)

这里cosh(x)为双曲余弦函数:44于是有：(6.23)于是有：45(6.23)式虽然是对时的定义式推导出的，但可以证明同样对于时的定义式也成立。因此有：(6.24)(6.23)式虽然是对时的定义式推462.关于分界点(6.17)和(6.24)这两个分段表达式意味着与都在分段点|Ω|=1处连续。事实上，可以证明，对于区间的表达式，有；而对于区间的表达式，也有。又由于两段都满足，故在<0时的分界点=-1处也是连续的。

2.关于分界点473.是一个多项式当时，若令，则。而（6.25）(6.26)3.是一个多项式48将(6.25)式和(6.26)式两边分别相加得

于是可得到下面的递推公式：(6.27)由于(6.28)(6.29)将(6.25)式和(6.26)式两边分别相加得49于是由(6.27)式、(6.28)式、(6.29)式就可以得到N为任何非负整数时的，而且显然这些表达式都是多项式。下面列出了0N8时的Chebyshev多项式。

N011

2于是由(6.27)式、(6.28)式、(6.29)式就可以得50345678351看出，的阶次N正好等于多项式的最高幂次，而最高次项的系数即为；并且当N为偶数时，多项式CN(Ω)只含Ω的偶次方项，而当N为奇数时，CN(Ω)只含Ω的奇次方项。上述结果虽然是在时推导出的，但是实际上，上表中的的多项式表达式以及(6.27)的递推公式对于<<均满足。看出，的阶次N正好等于多项式的最高幂次，而最高次项的524.的零点分布当||1即在通带时，根据余弦函数的性质可以证明，共有N个零点；而当||>1，由于实际上是一指数函数，故不再有零点，而且||随||增大而单调上升，N越大上升越快。

4.的零点分布535.关于CN(0)

由余弦函数的性质可以得到：(6.31)5.关于CN(0)546.2.2.2C型低通滤波器的平方幅度特性根据上面对Chebyshev多项式的特性分析以及(6.16)式，可以得到C型低通滤波器的平方幅度特性。1.通带特性在通带即||1范围内，在1与之间等波纹波动，波动的幅度为：(6.32)

6.2.2.2C型低通滤波器的平方幅度特性55此幅度通常用通带内的最小值的分贝损耗来表示，即：（6.33）RWdb是描写C型滤波器特性的一个参数，若RWdb=0.5(对应于=0.3493),我们就叫此滤波器为0.5db滤波器，余此类推。此幅度通常用通带内的最小值的分贝损耗来表示562.边界特性由于=1，因此在通带边界频率1=1处，无论N为何值，总有：（6.34）当=0，由(6.16)式和(6.31)式可以得到：(6.35)2.边界特性573.过渡带和阻带特性以及3db带宽当>1，即在过渡带和阻带，随增大而单调下降，N越大下降越快。3db带宽Ωc并不是C型滤波器的重要参数，它由N和ε决定，有：(6.36)

3.过渡带和阻带特性以及3db带宽58。图6.4C型低通滤波器的平方幅度特性。图6.4C型低通滤波器的平方幅度特性59

对于C型滤波器，，这种滤波器正是将通带内f()的N个零点分散开来实现的，因此通带的总体特性优于B型滤波器。此外，对于同样的阶数N，C型滤波器的过渡带和阻带特性也优于B型滤波器。对于C型滤波器，，这种滤波器正604．ε和N的影响C型滤波器的特性参数是和N。增大会使阻带衰减增大，从而改善阻带特性；但同时通带波动幅度增大，通带特性变坏。加大N可使阻带衰减增大，过渡带变陡；而N的大小只影响通带波动的快慢，并不影响通带波动的幅度，因此应该说不影响通带特性。

4．ε和N的影响61

图6.5一个低通滤波器的指标图6.5一个低通滤波器的指标626.2.2.3根据滤波器所要求的指标确定参数ε和N

下面举例来说明如何确定C型滤波器的参数和N。

例6.1一个低通滤波器的指标如图6.5所示，Ω为标称化的角频率。若用C型滤波特性逼近，求其参数和N。6.2.2.3根据滤波器所要求的指标确定参数ε和N63解：由于通带波动大小只与有关，故应先根据通带要求确定。由,可得到,=0.48432。再根据阻带要求确定N，由所给指标有：

故可得(6.37)解：由于通带波动大小只与有关，故应先根据通带要求确定。64根据递推公式因,故有已经看到，只要N=3，便可满足(6.37)式。因此所设计的C型滤波器的平方幅度响应为根据递推公式656.2.2.4C型低通滤波器的极点和系统函数由（6.3）式和(6.16)式可得：（6.38）用s代替j，便有：(6.39)6.2.2.4C型低通滤波器的极点和系统函数66故的极点是方程的根。可以证明，这些根共有2N个，它们成复共轭对出现，而且关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上。这2N个极点实际上分布在一个椭圆上，椭圆的短轴半径为a，长轴半径为b，这里：(6.41)而(6.42)故的极点是方程67将左半平面的N个极点分给，设这N个极点为

k=1,2,…,N(6.43)则有(6.44)将左半平面的N个极点分给，设这N个极点为68由于的最高次幂的系数为，因此(6.39)式中Ha(s)的分母多项式的最高次项的系数应为，于是有：(6.46)

椭圆上的这2N个极点还可以由作图法确定，如图6.6所示，图中是N=3的情况。由于的最高次幂的系数为，因此(6.39)69

图6.6C型低通滤波器的极点分布图6.6C型低通滤波器的极点分布70例6.2求ε=0.04,N=4的C型低通滤波器的系统函数。解：

a=(α1/4-α-1/4)/2=(50.021/4-50.02-1/4)/2≈1.142b=(α1/4+α-1/4)/2=(50.021/4+50.02-1/4)/2≈1.518左半平面的极点为：sk=σk+jΩk，其中，，k=1,2,3,4。例6.2求ε=0.04,N=4的C型低通滤波器的系统71可求得系统函数的分母多项式为：Q(s)=(s-s1)(s-s2)(s-s3)(s-s4)=(s+0.437j1.4)(s+1.055j0.581)(s+1.055+j0.581)(s+0.437+j1.4)=s4+2.984s3+5.446s2+5.807s+3.121该C型低通滤波器的系统函数为：可求得系统函数的分母多项式为：Q(72我们看到，B型和C型滤波器的系统函数Ha(s)的分子都是常数，分母都是s的多项式，这样的滤波器叫做全极点滤波器。就幅频特性而言，C型滤波器是最佳的全极点滤波器，当给定允许的通带和阻带的误差容限时，它有最短的过渡带。我们看到，B型和C型滤波器的系统函数Ha(s)的分子都是常数736.2.3Cauer低通滤波特性简介由于全极点滤波器系统函数的零点即衰减极点在s=，因此，全极点滤波器的阻带特性不是很好并且其过渡带也不会太陡；如果要求过渡带较陡较窄，那末全极点滤波器的阶次N就会较大。若是在阻带内有频率有限大的传输零点，并使其靠近通带，这样就会使过渡带的衰减特性变陡。Cauer滤波器就具有这样的特性，其平方幅度函数为：

6.2.3Cauer低通滤波特性简介74（6.47）这里为雅可比椭圆函数，N为滤波器阶次。此滤波器幅度特性主要由雅可比椭圆函数决定，故又叫椭圆（函数）滤波器。这种滤波器的系统函数的分子分母都是s的多项式，其一般形式为：

75N为偶数：N为奇数：由于分子也是s的多项式，因此Ha(s)在s平面的有限远处具有零点。Cauer滤波器在通带和阻带都有等波纹幅度特性，如图6.7所示。N为偶数：76

图6.7Cauer低通滤波器的平方幅度响应图6.7Cauer低通滤波器的平方776.2.4三种滤波器的比较

B型滤波器和C型滤波器都是全极点滤波器，而cauer滤波器不是。这三种滤波器无论在滤波特性、设计方法以及稳定性方面都是不同的，总的来说，C型滤波器在各个方面都介于B型滤波器和Cauer滤波器之间。6.2.4三种滤波器的比较781.关于滤波器的幅度频率特性:Butterworth滤波器在整个频带内都是单调下降的；ChebyshevⅠ型滤波器在通带内等波纹振动，在过渡带和阻带单调下降；Cauer滤波器除了过渡带外，在通带和阻带都等波纹振动。1.关于滤波器的幅度频率特性:Butterworth滤792.关于过渡带的陡度:Cauer滤波器最陡，Butterworth滤波器最差。因此，对于相同要求的过渡带特性，所需的滤波器阶次N，Cauer为最低，Butterworth为最高。3.关于设计的复杂性：B型滤波器最简单，Cauer滤波器最复杂。2.关于过渡带的陡度:Cauer滤波器最陡，Butt804．关于滤波器频率特性对于参数变化的灵敏度：按照对滤波器幅频特性的要求来设计出的系统函数Ha(s)在实现时，各个系数是由电子元件的数值来产生的。而电子元件的精度是有限的，因此所产生的各个系数与所设计的Ha(s)的系数之间就会有误差，

4．关于滤波器频率特性对于参数变化的灵敏度：按照对滤波器81于是所实现的滤波器的频率特性就会与所设计的Ha(s)，继而与所要求的频率特性之间产生误差。在系数的误差范围相同的情况下，所引起的频率特性的变化越小，就意味着滤波器对于参数变化的灵敏度特性越好。关于灵敏度特性，Butterworth滤波器最好，Chebyshev滤波器次之，Cauer滤波器最差。于是所实现的滤波器的频率特性就会与所设计的Ha(s)，继而与82

6.2.5滤波器图表法设计模拟滤波器的理论和设计方法都已经相当成熟，并且有许多现成的图表可以利用，使设计工作非常方便。下面介绍两种与滤波特性的逼近有关的图表设计方法。6.2.5.1用列线图求滤波器的阶数N6.2.5滤波器图表法设计83将幅频响应特性用衰减(db)来表示。（6.49）假设所要设计的低通滤波器的指标如图6.8所示，表示通带所允许的最大衰减，表示阻带所要求的最小衰减，所设计的滤波器的衰减特性曲线不应落入图中阴影部分。将幅频响应特性用衰减(db)来表示。84

图6.8用衰减α来表示的低通滤波器指标图6.8用衰减α来表示的低通滤波器85不同类型的滤波器有各自的列线图，如B型响应列线图、C型响应列线图等，但它们的构造和使用都相同。不同类型的滤波器有各自的列线图，如B型响应列线图、C型响应列86

图6.9用列线图求滤波器的阶数N1图6.9用列线图求滤波器的阶876.2.5.2查表求得滤波器的系统函数Ha(s)求得所要求的滤波器的阶数N后，只需查表就可以得到它的系统函数。对于B型滤波器，系统函数Ha(s)的分母多项式为(6.50)(6.50)式中的系数是以3db带宽为基准频率时的值，即此时=1，因此Ha(s)的分子为1。

6.2.5.2查表求得滤波器的系统函数Ha(s)88第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件89对于C型滤波器，根据不同的RWdb（或〕有多个不同的表格，根据所求得的N在相应的表格中可以查到Ha(S)的分母多项式Q(S)的各系数，Q(s)的表达式仍如(6.50)式所示。注意，在C型滤波器的情形，是以通带边界频率Ω1为基准频率的，即Ω1=1，而Ha(s)的分子则为。对于C型滤波器，根据不同的RWdb（或〕有多个不同的表格90第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件916.3模拟滤波器的变换上面介绍的逼近方法都是针对低通滤波特性的，本节介绍由模拟低通滤波器到模拟高通滤波器以及由模拟低通滤波器到模拟带通滤波器的变换方法。假设已经设计出了模拟低通滤波器的系统函数H(s)，我们将此低通滤波器叫做低通原型滤波器，并且仍用Ω来表示其角频率。变换后的系统函数用F(p)来表示，而其角频率用β来表示。

6.3模拟滤波器的变换92滤波器到滤波器的变换仅是作为自变量的频率或者复频率之间的变换，对于频率响应函数并无影响。也就是说，是在满足|H(jΩ)|=|F(jβ)|的条件下进行的模拟频率之间的变换，而系统函数之间满足关系：(6.51)其中g(p)为变换函数。滤波器到滤波器的变换仅是作为自变量的频率或者复频率之间的变换936.3.1由模拟低通到模拟高通的变换变换函数：s=g(p)=1/p(6.52)对于标称化的角频率，有：Ω=1/β，原型低通滤波器与高通滤波器的通带边界频率的标称值都是1。

6.3.1由模拟低通到模拟高通的变换94例6.3一个高通滤波器的指标如图6.10所示，用B型特性来逼近，求其系统函数。解：令f1为基准频率。高通滤波器：通带边界β1=1，阻带边界β2=f2/f1=3000/6000=1/2；原型低通滤波器：通带边界Ω1=1/β1=1，阻带边界Ω2=1/β2=2。例6.3一个高通滤波器的指标如图6.10所示，用B型特95根据B型特性，有：|H(jΩ1)|2=|H(j1)|2=1/[1+(1/Ωc)2N]=0.82=0.64，因此有(1/Ωc)2N

=(1/0.64)-1=0.5625(6.53)另有：=0.182=0.0324，因此

Ω22N=[(1/0.0324)-1]/(1/Ωc)2N

≈29.9/0.5625≈53.162N=ln53.16/lnΩ2≈5.73根据B型特性，有：|H(jΩ1)|2=|H(j1)|2=96

图6.10一个模拟高通滤波器的指标图6.97取N=3，代入(6.53)式：（1/Ωc）6=0.5625Ωc=1.1。N=3、Ωc=1.1的B型低通滤波器的系统函数：

将s0=jΩcejπ/6=Ωcej2π/3、s1=jΩcejπ/2=Ωcejπ、s2=jΩcej5π/6=Ωcej4π/3代入上式：

取N=3，代入(6.53)式：（1/Ωc）6=0.56298故可得到高通滤波器的系统函数：

故可得到高通滤波器的系统函数：996.3.2由模拟低通到模拟带通的变换对于复频率有(6.54)对于频率有(6.55)这里δ为一正数，并且频率都是标称化值。6.3.2由模拟低通到模拟带通的变换100由(6.55)式可以得到：，由于，因此无论Ω是0、是正还是负，一个Ω值总是对应两个β值，这两个β值可能绝对值不相等，但总是一正一负。图6.11是β>0时Ω与β的关系，看得出，β>0的区间与-∞<Ω<∞的区间是一一对应的。

由(6.55)式可以得到：101图6.11低通频率Ω与带通频率β之间的对应关系图6.11低通频率Ω与带通频率β之间的对应关102在(6.55)式中，如果用1/β代替β，则所得到的Ω仅仅差一个负号。因此如果低通频率Ω1与带通频率β1相互映射，即满足(6.55)式的关系，则–Ω1就与1/β1相互映射；再根据幅频特性的对称性，可以得到：在(6.55)式中，如果用1/β代替β，则所得到的Ω仅仅差一103令β2=1/β1，那末就有β1β2=1，并且有：|F(jβ1)|=|F(jβ2)|。这就是说，变换所得到的带通滤波器的幅频特性具有几何对称性。于是，可以将频响幅度相等的两个频率β1和β2的几何平均：(6.56)令β2=1/β1，那末就有β1β2=1，并且有：|F104作为带通滤波器的中心角频率，并且以此作为带通滤波器的基准频率。实际上，(6.56)式对于标称值和非标称值都成立，因此，在设计带通滤波器时，应该首先根据指标给出的实际频率由(6.56)式求出基准频率，再用此基准频率去标称化其它的频率。作为带通滤波器的中心角频率，并且以此作为带通滤波器的基准频率105对于标称化频率有：β1β2=β02=1；带通的中心频率β0=1,映射为低通的中心频率；低通的通带范围由–Ωp=-1到Ωp=1，映射为带通的通带由βp1到βp2。由(6.55)式有：，因此有：βp1=1/βp2，并且δ=βp2–βp1，

δ就是带通滤波器的通带带宽。

对于标称化频率有：β1β2=β02=1；带通的中心频率β106设低通滤波器的阻带边界频率为Ωz和-Ωz，则它们分别映射为带通滤波器的阻带边界频率βz2和βz1=1/βz2，于是有：(6.58)上面已经得到，低通滤波器的通带边界频率：(6.59)设低通滤波器的阻带边界频率为Ωz和-Ωz，则它们分别映107由(6.58)式和(6.59)式可得：(6.60)在上述变换关系的基础上，得到原型低通滤波器的系统函数H(s)之后，通过变换(6.61)就得到所要求的模拟带通滤波器的系统函数。

由(6.58)式和(6.59)式可得：108例6.4一个模拟带通滤波器的指标如图6.12所示，用C型滤波特性来逼近，求其系统函数。解：带通滤波器的中心频率为：

标称化带宽（也称为相对带宽）：

例6.4一个模拟带通滤波器的指标如图6.12所示，用C109而，，βz1×βz2≈0.285≠1这说明fz1与fz2并不关于f0几何对称，应该增大fz1，即以βz2为准来计算低通的Ωz。而，110

图6.12一个模拟带通滤波器的指标图6.12一个模拟带通滤波器111下面求通带边界Ωp=1、阻带边界Ωz=8.5的C型低通滤波器的参数ε和N。

第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件112

由递推公式：CN+1(8.5)=17CN(8.5)-CN-1(8.5)可以得到：C4(8.5)=17×2431-143.5=41183.5>7906,因此取N=4。

113例6.2已经得到了ε=0.04、N=4的C型低通滤波器的系统函数：

于是所设计的C型带通滤波器的系统函数为：例6.2已经得到了ε=0.04、N=4的C型低通滤波器的系统114只需将δ=0.1543代入就可以算出各个系数。第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件1156.4冲激响应不变法本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)的情况下，如何求相应的数字滤波器的系统函数H(z)。s是模拟复频率，Ha(s)也是模拟滤波器的冲激响应ha(t)的拉氏变换。

6.4冲激响应不变法1166.4.1冲激响应不变法的变换方法模拟滤波器的系统函数通常可以表示为：(6.62)6.4.1冲激响应不变法的变换方法117而且一般都满足M<N，因此，可以将上式化为部分分式之和的形式，即：(6.63)对(6.63)式两边进行拉氏反变换，可得：(6.64)

而且一般都满足M<N，因此，可以将上式化为部分分式之和的形式118令数字滤波器的单位抽样响应：(6.65)对上式进行z变换，便得到数字滤波器的系统函数：令数字滤波器的单位抽样响应：119上式中的幂级数收敛应该满足条件：即

实际上，只要将模拟滤波器的系统函数Ha(s)分解为(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以写出相应的数字滤波器的系统函数H(z)。

上式中的幂级数收敛应该满足条件：即120这一变换方法的关键是：h(n)=Tsha(nTs)，此关系称为冲激响应不变准则，由此准则出发所得到的变换方法就叫做冲激响应不变法。冲激响应不变法所得到的数字滤波器保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，这是这种变换方法的一大优点。

这一变换方法的关键是：h(n)=Tsha(nTs)，此关系1216.4.2模拟滤波器与数字滤波器的频率响应之间的关系已经知道，抽样信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期延拓，即(6.67)而(6.68)6.4.2模拟滤波器与数字滤波器的频率响应之间的关系122其中，和分别为数字角频率和模拟角频率。也就是说，离散信号的频谱既可表示为数字频率的函数也可表示为模拟频率的函数。又知道，对于离散信号的傅里叶变换，有：或：(6.69)由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有：(6.70)其中，和分别为数字角频率和模拟角123(6.70)式左边表示离散信号Tsx(n)的频谱，而Tsx(n)是对模拟信号Ts的抽样。模拟滤波器的冲激响应ha(t)的频谱Ha()(即前面的Ha(jΩ))就是模拟滤波器的频率响应。如果对ha(t)抽样，则由(6.70)式可知，有：(6.71)(6.70)式左边表示离散信号Tsx(n)的频谱，而Tsx124令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的频谱，也就是以h(n)为冲激响应的数字滤波器的频率响应，于是由(6.71)式可得：(6.72）

令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的频谱，125

图6.13模拟滤波器频率响应的周期延拓图6.13模拟滤波器频率响应的周期126因此，用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率响应是原来的模拟滤波器的频率响应的周期延拓。由图6.13可以看出，如果被限制在-与之间，则在此区间内与完全一致。

因此，用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率响应127相反，如果不被足够地限带，则将产生混叠失真。采用冲激响应不变法得到的数字滤波器的频率响应都会有程度不同的混叠失真，而且，这种方法不能用于高通滤波器和带阻滤波器等需要保留高频成分的变换，这是冲激响应不变法的一大缺点。相反，如果不被足够地限带，则将1286.4.3z平面与s平面的映射关系对照(6.63)式和(6.66)式可知，s平面的极点sk与z平面的极点互相映射。将极点的映射关系推广，可以得到冲激响应不变法模拟s平面与数字z平面的映射关系，即：(6.73)6.4.3z平面与s平面的映射关系129令z=rejω，s=+j，代入上式，得：，故有：（6.74）

=Ts(6.75)(6.74)式表示了z平面的模r与s平面的实部σ之间的关系,显然有：当=0,r=1；当>0,r>1；当<0,r<1。

令z=rejω，s=+j，代入上式，得：130(6.75)式既表示了数字角频率与模拟角频率之间的关系，也表示了z平面的幅角ω与s平面的虚部Ω之间的关系。由(6.75)式还可以知道，s平面上由-π/Ts到π/Ts这一条状区域映射到z平面上由-到的区域，即整个z平面；s平面上的水平线Ω=-π/Ts映射到z平面上的射线ω=-π，而当这条射线按逆时针方向旋转时，对应的s平面上的水平线就向上平移。(6.75)式既表示了数字角频率与模拟角频率之间的关系，也131上面所阐述的不仅是模拟域s平面与数字域z平面之间的映射关系，而且也是模拟滤波器的频率与用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率之间的关系。s平面与z平面的映射关系保证了将稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器。上面所阐述的不仅是模拟域s平面与数字域z平面之间的映射关系132图6.14模拟复频率s与数字复频率z之间的映射关系

图6.14模拟复频率s与数字复频率z之133例6.6用冲激响应不变法设计一个三阶Butteworth数字低通滤波器，抽样频率为fs=1.2kHz,截止频率为=400Hz。解：此数字滤波器的截止频率：Ωc=2πfc=2π×400=800π弧度/s这也是模拟滤波器的截止频率，于是可以写出模拟滤波器的系统函数:例6.6用冲激响应不变法设计一个三阶Buttewor134其中，，现在进行部分分式分解，令(*2)第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件135可以得到：

根据(*1)式和(*2)式，再将A、B、C代入，便得到：

可以得到：136上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件1376.5双线性变换法6.5.1双线性变换关系的导出模拟滤波器的系统函数可以变换为：这里为了方便说明，已令M=N。6.5双线性变换法138由此式可以看出，模拟滤波器的基本单元是积分器，因此，只要设法用某种数字网络来代替此基本单元，就能够将模拟滤波器转变成相应的数字滤波器。模拟滤波器基本单元的系统函数为：则其冲激响应为：由此式可以看出，模拟滤波器的基本单元是积分器，因此，只139设有一信号(t≥0）输入到该积分器系统，则其输出也即对的响应为：

设0<t1<t2，有：（6.76）(6.77)设有一信号(t≥0）输入到该积分器系统，则其输出也即对的响应140由于(6.76)式中t1-

0，故；同理，(6.77)式中。因此有：

当t1趋于t2时，有：令t1=nTs-Ts，t2=nTs，则有:

由于(6.76)式中t1-0，故141令,则得到差分方程：(6.78)这样，我们就将模拟积分器转变成了数字网络，上式就是此数字积分器的差分方程。对它进行z变换，得：

令,142于是可得到此数字积分器的系统函数：（6.79）用此数字基本单元来代替模拟滤波器的基本单元1/s,就可以得到与模拟滤波器性能相近的数字滤波器。于是可得到此数字积分器的系统函数：143由上面的推导有：即：(6.80)于是有：(6.81)由上面的推导有：144这种变换关系叫做双线性变换。如果已知模拟滤波器系统函数Ha(s)，则相应的数字滤波器的系统函数为：(6.82)这种变换关系叫做双线性变换。如果已知模拟滤波器系统函数Ha1456.5.2s平面与z平面的映射关系用s=+j,z=rejω代入(6.81)式，可以得到：(6.83)(6.84)6.5.2s平面与z平面的映射关系146

s平面z平面

>0，即右半平面r>1,即单位圆外

=0，即虚轴r=1,即单位圆

<0，即左半平面r<1,即单位圆内s平面147因此，用双线性变换法，稳定的模拟滤波器导出的数字滤波器也必定是稳定的。但是，与冲激响应不变法不同的是，在双线性变换下，模拟滤波器的复频率s与相应的数字滤波器的复频率z之间的映射是一一对应的关系。因此，用双线性变换法，稳定的模拟滤波器导出的数字滤波器也必定148图6.16双线性变换法s平面与z平面之间的映射关系图6.16双线性变换法s平面与z平面之间1496.5.3频率预畸变下面讨论s平面的虚轴与z平面的单位圆的映射关系，也即模拟滤波器的角频率与相应的数字滤波器的角频率之间的关系。在(6.84)式中令=0，便可得到：或（6.85）

6.5.3频率预畸变150图6.17ω与Ω之间的非线性关系图6.17ω与Ω之间的非线性关151与的关系是非线性的，但是，s平面上的虚轴一一对应地映射到了z平面单位圆的一周之上，因此，采用双线性变换法，不存在频域混叠失真的问题。由双线性变换所引起的模拟滤波器频率与数字频率之间的非线性关系，使得所得到的数字滤波器的相位频率特性产生失真；

与的关系是非线性的，但是，s平面上的虚轴一一对应地映射到152但对于幅度频率特性，可以通过频率预畸变来校正。实际上，只要首先根据所要求的数字滤波器的各关键频率，按照(6.85)式转变成相应的模拟频率，再根据这些频率指标来设计模拟滤波器，则最后转换成的数字滤波器的各关键频率就会正好映射到所要求的位置上。

但对于幅度频率特性，可以通过频率预畸变来校正。实际上，只要首1536.5.4双线性变换法的特点1．模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真，因而对模拟滤波器的频率响应函数Ha()无限带要求，而且能够直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型的数字滤波器。

6.5.4双线性变换法的特点1542．与冲激响应不变法中模拟频率与数字频率之间的线性关系ω=ΩTs不同的是，双线性变换法中模拟滤波器的频率与所转换成的数字滤波器的频率之间是非线性关系，但是，如果事先进行频率预畸变，这种非线性关系不会使所设计的数字滤波器的幅频特性受到影响。3．双线性变换方法比较容易，不需要将模拟系统函数进行部分分式分解。2．与冲激响应不变法中模拟频率与数字频率之间的线性关系ω=Ω155因此，双线性变换法是用得很普遍、并且很有效的一种方法；只是，由于频率的非线性关系会产生相频特性失真，所以若对数字滤波器的相位特性要求较严，则不宜采用这种变换方法。因此，双线性变换法是用得很普遍、并且很有效的一种方法；只是，156最后必须强调说明一下用双线性变换法来设计数字滤波器时各种频率之间的关系。我们在考虑一个数字滤波器的频域特性时，所采用的频率变量可以是数字频率，也可以是模拟频率。模拟角频率=2f，f是以赫兹(Hz)为单位的真正具有物理意义的频率变量。与的关系为=Ts，Ts为抽样周期。

最后必须强调说明一下用双线性变换法来设计数字滤波器时各种频157数字滤波器的频率响应=，是的周期函数，以2为周期；是的周期函数，周期为Ωs=2π/Ts。上述这些关系与数字滤波器的设计方法无关。如果数字滤波器是用冲激响应不变法设计的，则模拟滤波器的频率变量也就是数字滤波器的模拟频率变量；如果数字滤波器是用双线性变换法来设计的，那末模拟滤波器的频率变量并不是数字滤波器的模拟频率变量。

数字滤波器的频率响应=，158我们在6.5.2节中所述的双线性变换法s平面与z平面的映射关系实际上是被变换的模拟滤波器的复频率s与所得到的数字滤波器的复频率z之间的关系，(6.85)式中的也是此模拟滤波器的角频率，并不是数字滤波器的模拟角频率。为了便于区分，应该将(6.85)式中的模拟滤波器角频率用Ω’

来表示，即为：；而数字滤波器的数字角频率与其本身的模拟角频率Ω之间仍然是上面所述的那种线性关系，即有：=Ts。我们在6.5.2节中所述的双线性变换法s平面与z平面的映射159例6.8用双线性变换法设计一个三阶Butteworth数字低通滤波器，抽样频率为fs=1.2kHz,截止频率为=400Hz。

解：此数字滤波器的截止频率：

例6.8用双线性变换法设计一个三阶Buttewort160用双线性变换法，则相应的模拟滤波器的截止频率为：该模拟滤波器的系统函数：所要求的数字滤波器的系统函数：用双线性变换法，则相应的模拟滤波器的截止频率为：161将代入，得到

第5章数字滤波概述51数字滤波器与模拟滤波器一般来说课件1626.6数字滤波器的变换一个任意的数字域选频滤波器的设计过程如图6.18所示。按图中路线(1)，如果采用冲激响应不变法来进行模数变换，则不能用来设计高通和带阻滤波器；按图中路线(2)，就不会受到上述限制。因此，一般大多采用路线（2）。本节要讨论如何将原型数字低通